Confronto degli infiniti
Parte 3 · Limiti di funzioni e continuità · Capitolo 5 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo
1. Confronto degli infiniti per funzioni
Teorema 1: Confronto tra infiniti
Dati \(\alpha,\beta, \lambda > 0,~ a,b >1\), abbiamo
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{\log_a^{\beta} x}{x^{\alpha}}=0 {\rm ~~~~~~e~~~~~~} \lim_{x \rr \ip} \frac{x^{\alpha}}{b^{\lambda x}}=0
\]
Dimostrazione
Il teorema sarà dimostrato con gli strumenti del calcolo differenziale. □
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Qualunque potenza con esponente positivo è un infinito di ordine superiore a qualunque potenza di logaritmi a base \(> 1\) e
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Qualunque esponenziale a base \(> 1\) è un infinito di ordine superiore a qualunque potenza con esponente positivo.
Esempio 1: Confronto fra infiniti
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{\log^2 x}{x^{(16/7)}} = 0, \qquad \lim_{x \rr \ip} \frac{x^3}{(5/2)^{3/2\;x}} = 0
\]
Se una funzione \(\eta(x) \rr \ip\) per \(x \rr c \in \R^*\), abbiamo dal teorema del confronto degli infiniti:
\[
\lim_{x \rr c} \frac{\bigg(\log_a \big(\eta(x)\big)\bigg)^{\beta}}{\big(\eta(x)\big)^{\alpha}}=0 {\rm ~~~~~~e~~~~~~} \lim_{x \rr c} \frac{\big(\eta(x)\big)^{\alpha}}{b^{\lambda \;\eta(x)}}=0\quad {\rm ~~con~~} \alpha, \beta, \lambda > 0,~ a,b >1
\]
Esempio 2: Confronto degli infiniti
\[
\lim_{x \rr 0} \frac{\log \left( \frac{1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x^2}} = 0
\]
dato che con \(\eta(x) = \frac{1}{x^2}\), abbiamo \(\eta(x) \rr \ip\) per \(x \rr 0\).
Osservazione 1
\[
\lim_{x \rr 0^+} x^{\alpha} \; \log^{\beta}_a x =0 \qquad (\alpha >0,\beta = \frac{m}{n}, ~n,m \in \N, ~n {~~\rm dispari},~ a>1)
\]
Dimostrazione
Dati \(\alpha,\beta >0,a>1\) abbiamo:
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{\log_a^{\beta} x}{x^{\alpha}} =0 {\rm ~~~~~e~~~~} \frac{\log_a^{\beta} x}{x^{\alpha}} = \left(\frac{1}{x}\right)^{\alpha} \left( - \log_a \left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\beta}
\]
Ponendo \(t = \frac{1}{x}\), \(x \rr \ip\) equivale a \(t \rr 0^{+}\), e sostituendo si ha:
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{\log_a^{\beta} x}{x^{\alpha}}= (-1)^{\beta} \; \lim_{t \rr 0^+} t^{\alpha} \; \log_a^{\beta} t=0
\]
□
Esempio 3: Confronto degli infiniti
\[
\lim_{x \rr 0^+} x^{1/2} \: \log x = 0^-
\]
dato che abbiamo \(\alpha=\frac{1}{2}>0, \beta=1>0\) e \(a=e >1\).
\[
\lim_{x \rr 0^+} x^{\sqrt{x}} = 1^{-}
\]
dato che
\[
\lim_{x \rr 0^+} x^{\sqrt{x}} = \lim_{x \rr 0^+} \underbrace{e^{x^{1/2} \: \log x}}_{=\exp(x^{1/2} \: \log x)} = e^{0^-} = 1^{-}
\]
Se una funzione \(\varepsilon(x)\) tende \(0^+\) per \(x \rr c \in \R^*\), segue dalla precedente osservazione che:
\[
\lim_{x \rr c} \big(\varepsilon(x)\big)^{\alpha} \; \big( \: \log_a \big(\varepsilon(x)\big)\big)^{\beta} =0 \quad (\alpha>0,\beta = \frac{m}{n}, ~n,m \in \N, ~n {~~\rm dispari},~ a>1)
\]
Esempio 4: Confronto degli infiniti
\[
\lim_{x \rr \frac{\pi}{2}^-} - \cos x \; \log \big( \cos x \big) = 0^+
\]
dato che, con \(\varepsilon(x) = \cos x\), abbiamo \(\varepsilon(x) \rr 0^+\) per \(x \rr \frac{\pi}{2}^-\) e \(\alpha=\beta=1\).
Dal teorema di confronto degli infiniti segue che:
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{x^{\alpha}}{\log_a^{\beta} x}=+\infty {\rm ~~~~e~~~~} \lim_{x \rr \ip} \frac{b^{\lambda \: x}}{x^{\alpha}}=+\infty
{\rm ~~~~con~~~~} \alpha, \beta,\lambda > 0,~~ a,b >1
\]
Osservazione 2
\[
\lim_{x \rr 0^+} x^{\alpha} \; b^{\lambda/x} = \ip \qquad (\alpha, \lambda >0,~ b>1)
\]
Dimostrazione
Dati \(\alpha, \lambda >0,b>1\), abbiamo:
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{b^{\lambda \: x}}{x^{\alpha}}=\ip
\]
Ponendo \(t = \frac{1}{x}\), \(x \rr \ip\) equivale a \(t \rr 0^{+}\), e sostituendo si ha:
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{b^{\lambda \: x}}{x^{\alpha}}= \lim_{x \rr \ip} \left(\frac{1}{x}\right)^{\alpha} \; b^{\lambda \: x}= \lim_{t \rr 0^+} t^{\alpha} \; b^{\lambda/t} = \ip
\]
□
Esempio 5: Confronto degli infiniti
\[
\lim_{x \rr 0^+} x\; e^{\frac{1}{x}} = \ip
\]
dato che abbiamo \(\alpha=\lambda=1\) e \(b=e>1\)
Osservazione 3
\[
\lim_{x \rr 0^+} x^{-\alpha} \; b^{-\lambda/x} = 0 \qquad (\alpha, \lambda >0,~ b>1)
\]
Dimostrazione
Dati \(\alpha, \lambda >0,b>1\) abbiamo:
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{x^{\alpha} }{b^{\lambda \: x}} =0
\]
Ponendo \(t =\frac{1}{x}\), \(x \rr \ip\) equivale a \(t \rr 0^+\), e sostituendo si ha:
\[
\lim_{x \rr \ip}\frac{x^{\alpha} }{b^{\lambda \: x}} = \lim_{x \rr \ip} \left( \frac{1 }{x} \right)^{-\alpha} \frac{1}{b^{\lambda \: x}} = \lim_{t \rr 0^+} t^{-\alpha} \; b^{-\lambda/t} = 0
\]
□
Esempio 6: Confronto degli infiniti
\[
\lim_{x \rr 0^+} x^{-3/2} \: e^{-1/x} = 0
\]
dato che abbiamo \(\alpha=\frac{3}{2}, \lambda=1\) e \(b=e>1\).
Osservazione 4
\[
\lim_{x \rr \im} x^{\alpha} \; b^{\lambda \: x} = 0 \qquad \left(\alpha = \frac{m}{n} >0, ~n,m \in \N, ~n {~~\rm dispari}, m \neq 0, ~ \lambda >0, ~ b>1 \right)
\]
Dimostrazione
Dati \(\alpha, \lambda >0,b>1\) abbiamo:
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{x^{\alpha} }{b^{\lambda \: x}} =0
\]
Ponendo \(t =-x\), \(x \rr \ip\) equivale a \(t \rr \im\), e sostituendo si ha:
\[
\lim_{x \rr \ip}\frac{x^{\alpha} }{b^{\lambda \: x}} =\lim_{t \rr \im} \frac{(-t)^{\alpha} }{b^{-\lambda \: t}} = (-1)^\alpha \lim_{t \rr \im} t^{\alpha} \; b^{\lambda \: t} = 0
\]
□
Esempio 7: Confronto degli infiniti
\[
\lim_{x \rr \im} x^2 \; e^{x} = 0
\]
dato che abbiamo \(\alpha=2, \lambda=1\) e \(b=e>1\).
