Funzioni inverse

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Esercizio 1

Provare che la funzione

\[ f(x)=\log{(2+3x)} \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Soluzione

L'insieme di definizione della funzione proposta è

\[ \left(-\frac{2}{3},+\infty\right), \]

intervallo in cui l'argomento del logaritmo è strettamente positivo. Per dimostrare che \(f\) è invertibile, basta verificare che è iniettiva, ovvero

\[ \forall x_1,x_2 \in D \qquad f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \]

Imporre \(f(x_1) = f(x_2)\) equivale ad imporre che

\[\begin{align*} \log{(2+3x_1)} &=\log{(2+3x_2)} \\ 2+3x_1 &= 2+3x_2 \\ 3x_1 &= 3x_2 \Longleftrightarrow x_1=x_2 \end{align*}\]

La funzione \(f\) è iniettiva e, conseguentemente, invertibile. Cerchiamo l'espressione analitica della funzione inversa \(f^{-1}\) risolvendo, rispetto alla variabile \(x\), l'equazione

\[ \log{(2+3x)}=y. \]

che è univocamente risolta per

\[ x=\frac{1}{3}(e^{y}-2) \]

Soluzione

La funzione inversa di \(f\) è, più formalmente,

\[ f^{-1}(y)=\frac{1}{3}(e^{y}-2) \]

il cui insieme di definizione è l'immagine della funzione di partenza \(f\), ovvero \(\mathbb{R}\). Quindi \(f:\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\to(-\infty, +\infty)\), mentre \(f^{-1}:(-\infty, +\infty) \to\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\).

I grafici \(y=\log{(2+3x)}\) e \(y=\frac{1}{3}(e^{x}-2)\) sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y=x\):

Esercizio 2

Provare che la funzione

\[ f(x)=\sqrt{1-2x} \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Soluzione

L'insieme di definizione della funzione proposta è

\[ \left(-\infty,\frac{1}{2}\right], \]

intervallo in cui il radicando è non negativo.

Soluzione

Per dimostrare che \(f\) è invertibile, basta verificare che è iniettiva, ovvero

\[ \forall x_1,x_2 \in D \qquad f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \]

Imporre \(f(x_1) = f(x_2)\) equivale ad imporre che

\[\begin{align*} \sqrt{1-2x_1} &=\sqrt{1-2x_2} \\ 1-2x_1 &=1-2x_2 \\ -2x_1 &= -2x_2 \Longleftrightarrow x_1=x_2 \end{align*}\]

La funzione \(f\) è iniettiva e, conseguentemente, invertibile. Cerchiamo l'espressione analitica della funzione inversa \(f^{-1}\) risolvendo, rispetto alla variabile \(x\), l'equazione

\[ \sqrt{1-2x}=y. \]

che, per \(y \geq 0\) (un radicale non è mai negativo in \(\mathbb{R}\)), è univocamente risolta da

\[ x=-\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2} \]

La funzione inversa di \(f\) è, più formalmente,

\[ f^{-1}(y)=-\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2} \]

il cui insieme di definizione è l'immagine della funzione di partenza \(f\), ovvero \([0, +\infty)\). Quindi \(f:\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\to[0, +\infty)\), \(f^{-1}:[0, +\infty) \to\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\).

I grafici \(y=\sqrt{1-2x}\) e \(y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\) sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y=x\):

Esercizio 3

Provare che la funzione

\[ f(x)=e^{2x-3} \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Soluzione

L'insieme di definizione della funzione proposta è

\[ \left(-\infty,+\infty\right), \]

in quanto la funzione esponenziale è definita per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Per dimostrare che \(f\) è invertibile, basta verificare che è iniettiva, ovvero

\[ \forall x_1,x_2 \in D \qquad f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \]

Imporre \(f(x_1) = f(x_2)\) equivale ad imporre che

\[\begin{align*} e^{2x_1-3} &=e^{2x_2-3} \\ 2x_1-3 &=2x_2-3 \\ 2x_1 &= 2x_2 \Longleftrightarrow x_1=x_2 \end{align*}\]

La funzione \(f\) è iniettiva e, conseguentemente, invertibile. Cerchiamo l'espressione analitica della funzione inversa \(f^{-1}\) risolvendo, rispetto alla variabile \(x\), l'equazione

\[ e^{2x-3}=y. \]

Ha senso risolvere tale equazione solo per \(y > 0\), in quanto essa non avrebbe soluzioni nel caso in cui \(y\leq0\) (l'esponenziale non si annulla mai e non è mai negativo). L'equazione è univocamente risolta da

\[ x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\log{y} \]

La funzione inversa di \(f\) è, più formalmente,

\[ f^{-1}(y)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\log{y} \]

il cui insieme di definizione è l'immagine della funzione di partenza \(f\), ovvero \((0, +\infty)\). Quindi \(f:(-\infty,+\infty)\to(0, +\infty)\), \(f^{-1}:(0, +\infty) \to (-\infty,+\infty)\).

Esercizio 4

Provare che la funzione

\[ f(x)=\arctan(2x-1) \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Soluzione

La funzione arcotangente, che ricordiamo essere la funzione inversa della restrizione di \(y=\tan(x)\) all'intervallo \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), presenta le seguenti caratteristiche:

• ha come dominio l'insieme \(\mathbb{R}\);

• ha come immagine l'intervallo \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\);

• è una funzione monotona strettamente crescente.

In virtù del suo essere monotona strettamente crescente, la funzione \(f\) è invertibile (si noti come questa sia una condizione solo sufficiente). Cerchiamo l'espressione analitica della funzione inversa \(f^{-1}\) risolvendo, rispetto alla variabile \(x\), l'equazione

\[ \arctan(2x-1)=y, \]

dove \(y \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). L'equazione diviene

\[\begin{align*} 2x-1 &=\tan(y) \\ x &= \frac{1}{2}+\frac{\tan(y)}{2} \end{align*}\]

La funzione inversa di \(f\) è, più formalmente,

\[ f^{-1}(y)=\frac{1}{2}+\frac{\tan(y)}{2} \]

il cui insieme di definizione è l'immagine della funzione di partenza \(f\), ovvero \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Quindi \(f:\mathbb{R}\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), mentre \(f^{-1}:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}\)

Esercizio 5

Provare che la funzione

\[ f(x)=\frac{x-1}{x+2} \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Soluzione

L'insieme di definizione della funzione proposta è

\[ (-\infty, -2)\cup(-2,+\infty), \]

in quanto definita \(\forall x \in \mathbb{R}, \, x \neq -2\). Per dimostrare che \(f\) è invertibile, basta verificare che è iniettiva, ovvero

\[ \forall x_1,x_2 \in D \qquad f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \]

Per facilitare successivamente i calcoli, conviene riscrivere la funzione \(f\) come:

\[ f(x)=\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2} \]

Imporre \(f(x_1) = f(x_2)\) equivale ad imporre che

\[\begin{align*} 1-\frac{3}{x_1+2} &=1-\frac{3}{x_2+2} \\ \frac{3}{x_1+2} &=\frac{3}{x_2+2} \\ x_1+2 &= x_2+2 \Longleftrightarrow x_1=x_2 \end{align*}\]

La funzione \(f\) è iniettiva e, conseguentemente, invertibile. Cerchiamo l'espressione analitica della funzione inversa \(f^{-1}\) risolvendo, rispetto alla variabile \(x\), l'equazione

\[ \frac{x-1}{x+2}=y. \]

Riscrivendo nuovamente la funzione come prima

\[ 1-\frac{3}{x+2}=y \]

otteniamo

\[ x=\frac{3}{1-y}-2=\frac{2y+1}{1-y} \]

La funzione inversa di \(f\) è, più formalmente,

\[ f^{-1}(y)=\frac{2y+1}{1-y} \]

il cui insieme di definizione è l'immagine della funzione di partenza \(f\), ovvero \((-\infty, 1)\cup(1,+\infty)\). Quindi \(f:(-\infty, -2)\cup(-2,+\infty)\to(-\infty, 1)\cup(1,+\infty)\), \(f^{-1}:(-\infty, 1)\cup(1,+\infty) \to (-\infty, -2)\cup(-2,+\infty)\).

Esercizio 6

Provare che la funzione

\[ f(x)=e^{1+x^2} \]

è invertibile in una restrizione del suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Soluzione

L'insieme di definizione della funzione proposta è

\[ \left(-\infty,+\infty\right), \]

in quanto la funzione esponenziale è definita per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Risulta chiaro come \(f\) non sia invertibile su tutto \(\mathbb{R}\), in quanto è una funzione pari, cioè simmetrica rispetto all'asse \(y\):

\[ f(-x)=e^{1+(-x)^2}=e^{1+x^2}=f(x) \]

Ciò implica che qualsiasi retta orizzontale interseca il grafico della funzione in due punti. La funzione non è iniettiva, dunque non invertibile su \(\mathbb{R}\). Tuttavia, è possibile operare una restrizione del dominio considerando unicamente il semiasse positivo delle ascisse compresa l'origine, cioè l'insieme

\[ [0, +\infty) \]

Verifichiamo che, in tale dominio ristretto, la funzione \(f\) è iniettiva. A tale scopo, imponiamo \(f(x_1) = f(x_2)\), ovvero

\[\begin{align*} e^{1+x_1^2} &=e^{1+x_2^2} \\ 1+x_1^2 &=1+x_2^2 \\ x_1^2 &= x_2^2 \Longleftrightarrow x_1=x_2 \end{align*}\]

dove l'ultima doppia implicazione è vera in quanto \(x \in [0, +\infty)\), ovvero \(x \geq 0\), rimanendo esclusa la soluzione \(x_1=-x_2\). Abbiamo così dimostrato che la funzione \(f\) è iniettiva sul dominio ristretto e, conseguentemente, invertibile in \([0, +\infty)\).

Cerchiamo l'espressione analitica della funzione inversa \(f^{-1}\) risolvendo, rispetto alla variabile \(x\), l'equazione

\[ e^{1+x^2}=y. \]

L'equazione è risolta da

\[ x=\pm \sqrt{\log{(y)}-1} \]

in cui, tuttavia, appare ora chiaro come si debba escludere la soluzione negativa, in quanto \(x\) varia nella restrizione \([0, +\infty)\).

Soluzione

La funzione inversa di \(f\) è, più formalmente,

\[ f^{-1}(y)=\sqrt{\log{(y)}-1} \]

il cui insieme di definizione è l'immagine della funzione di partenza \(f\), ovvero \([e, +\infty)\). Quindi \(f:[0,+\infty)\to[e, +\infty)\), \(f^{-1}:[e, +\infty) \to [0,+\infty)\).

Esercizio 7

Provare che la funzione

\[ f(x)=\frac{4}{5^{3x}} \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Soluzione

L'insieme di definizione della funzione proposta è

\[ \left(-\infty,+\infty\right), \]

in quanto il denominatore è sempre diverso da zero (l'esponenziale non si annulla mai). Per dimostrare che \(f\) è invertibile, basta verificare che è iniettiva, ovvero

\[ \forall x_1,x_2 \in D \qquad f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \]

Imporre \(f(x_1) = f(x_2)\) equivale ad imporre che

\[\begin{align*} \frac{4}{5^{3x_1}} &=\frac{4}{5^{3x_2}} \\ 5^{3x_1} &= 5^{3x_2} \\ 3x_1 &= 3x_2 \Longleftrightarrow x_1=x_2 \end{align*}\]

La funzione \(f\) è iniettiva e, conseguentemente, invertibile. Cerchiamo l'espressione analitica della funzione inversa \(f^{-1}\) risolvendo, rispetto alla variabile \(x\), l'equazione

\[ \frac{4}{5^{3x}}=y, \]

con \(y >0\), che è univocamente risolta per

\[ x=\frac{1}{3}\log_5{\left(\frac{4}{y}\right)}=-\frac{1}{3}\log_5{\left(\frac{y}{4}\right)} \]

Soluzione

La funzione inversa di \(f\) è, più formalmente,

\[ f^{-1}(y)=-\frac{1}{3}\log_5{\left(\frac{y}{4}\right)} \]

il cui insieme di definizione è l'immagine della funzione di partenza \(f\), ovvero \((0, +\infty)\). Quindi \(f:\mathbb{R}\to(0, +\infty)\), mentre \(f^{-1}:(0, +\infty) \to\mathbb{R}\).

Esercizio 8

Provare che la funzione

\[ f(x)=-1+\sqrt[5]{1+x} \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Soluzione

L'insieme di definizione della funzione proposta è

\[ \left(-\infty,+\infty\right), \]

in quanto i radicali con indice dispari sono sempre definiti. Per dimostrare che \(f\) è invertibile, basta verificare che è iniettiva, ovvero

\[ \forall x_1,x_2 \in D \qquad f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \]

Imporre \(f(x_1) = f(x_2)\) equivale ad imporre che

\[\begin{align*} -1+\sqrt[5]{1+x_1} &=-1+\sqrt[5]{1+x_2} \\ \sqrt[5]{1+x_1} &= \sqrt[5]{1+x_2} \\ 1+x_1 &= 1+x_2 \Longleftrightarrow x_1=x_2 \end{align*}\]

La funzione \(f\) è iniettiva (è anche strettamente crescente) e, conseguentemente, invertibile. Cerchiamo l'espressione analitica della funzione inversa \(f^{-1}\) risolvendo, rispetto alla variabile \(x\), l'equazione

\[ -1+\sqrt[5]{1+x}=y, \]

che è univocamente risolta per

\[ x=-1+(y+1)^5 \]

Soluzione

La funzione inversa di \(f\) è, più formalmente,

\[ f^{-1}(y)=-1+(y+1)^5 \]

il cui insieme di definizione è l'immagine della funzione di partenza \(f\), ovvero \(\mathbb{R}\). Quindi \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), e anche \(f^{-1}:\mathbb{R} \to\mathbb{R}\).

Esercizio 9

Provare che la funzione

\[ f(x)=\frac{1-3x}{x+1} \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

(Suggerimento: effettuare la divisione fra \(1-3x\) e \(x+1\)).

Esercizio 10

Provare che la funzione

\[ f(x)=3^{x^2} \]

è invertibile in una restrizione del suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\) sulla restrizione. Specificare il dominio di \(f^{-1}\).

Esercizio 11

Provare che la funzione

\[ f(x)=\sqrt{\log{\left(\frac{x-1}{x}\right)}} \]

è invertibile nel suo dominio e determinare l'espressione analitica dell'inversa \(f^{-1}\). Specificare il dominio di \(f^{-1}\).