Serie numeriche a termini non negativi

Parte 5 · Serie · Capitolo 2 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Serie numeriche a termini non negativi

Una serie \(\sum a_k\) a termini non negativi (o positivi) è regolare, ovvero o è convergente o è divergente a \(\ip\) (non può essere irregolare come abbiamo dimostrato). Tale serie converge se e solo se la successione delle somme parziali è limitata.

1.1 Criterio del confronto

Teorema 1: del criterio del confronto

Siano \(\{a_k\}\) e \(\{b_k\}\) due successioni a termini non negativi tali che \(a_k \le b_k\), definitivamente, allora:

\[ i)~~~~ \sum b_k {\rm ~~~convergente~} ~~\Rightarrow~~ \sum a_k {\rm ~~~convergente~} \]

\[ ii)~~~~ \sum a_k {\rm ~~~divergente~} ~~\Rightarrow~~ \sum b_k {\rm ~~~divergente~} \]

• La serie \(\sum b_k\) viene detta maggiorante mentre la serie \(\sum a_k\) viene detta minorante.

Dimostrazione

Dato che \(a_k \le b_k\), definitivamente, allora esiste \(m \in \N\) tale che:

\[ a_k \le b_k,~~~ \forall k \ge m \]

Consideriamo ora le somme parziali \(n\)-esime delle code delle due successioni \(\{a_k\}\) e \(\{b_k\}\) con \(n >m\):

\[ s_n^a=\sum_{k=m+1}^n a_k {\rm ~~~~~e~~~~~~}s^b_n=\sum_{k=m+1}^n b_k \]

Poiché \(0\le a_k \le b_k\), \(\forall k \ge m\), abbiamo

\[\begin{equation} 0~~ \le~~ s^a_n~~ \le~~ s^b_n,~~~ \forall n \ge m \label{JJJJ} \end{equation}\]

Le successioni \(\{s^a_n\}\) e \(\{s^b_n\}\) sono regolari, dato che \(\{a_k\}\) e \(\{b_k\}\) sono a termini non negativi. Dunque le tesi \(i)\) e \(ii)\) sono logicamente equivalenti, perciò basta dimostrare la seconda.

Affermare \(\sum a_n\) divergente, per definizione di serie divergente, significa che \(s_n \rr \ip\) per \(n \rr \ip\). Inoltre dato che ogni coda ha lo stesso carattere della serie di partenza abbiamo \(s^a_n \rr \ip\) per \(n \rr \ip\).

Dalla \(\eqref{JJJJ}\), per il teorema del confronto per le successioni, anche \({s}^b_n \rr \ip\) per \(n \rr \ip\). Quindi la coda di \(\{b_k\}\) è divergente e di conseguenza \(\sum b_n\) è divergente. □

Osservazione 1

Dato \(\alpha \le1\), la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}\) è divergente a \(\ip\).

Dimostrazione

Con \(\alpha= 1\) abbiamo la serie armonica che diverge a \(\ip\). Con \(\alpha <1\), la serie è maggiorante della serie armonica, dato che:

\[ \frac{1}{k} \le \frac{1}{k^{\alpha}},~~~~~~~~~\forall k \in \N, k \ge 1 {\rm~~~e~~~} \alpha <1 \]

quindi \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}\) è divergente per il criterio del confronto. □

• Graficamente, ad esempio con \(\alpha= \frac{1}{3}\), abbiamo:

1.2 Criterio del confronto asintotico

Teorema 2: del criterio del confronto asintotico

Siano \(\{a_k\}\) e \(\{b_k\}\) due successioni a termini positivi. Se le successioni sono asintotiche, ovvero se:

\[ a_k \sim b_k {\rm ~~~per~~~} k \rr \ip \]

allora le corrispondenti serie \(\sum a_k\) e \(\sum b_k\) sono regolari e hanno lo stesso carattere, cioè o sono entrambe convergenti o sono entrambe divergenti.

Dimostrazione

Le serie \(\sum a_k\) e \(\sum b_k\) sono regolari perché le successioni \(\{a_k\}\) e \(\{b_k\}\) sono a termini positivi. Dato che \(a_k \sim b_k\) per \(k \rr \ip\), allora:

\[ \frac{a_k}{b_k} \rr 1 {\rm ~~per~~} k \rr \ip \]

Quindi, per ogni \(\varepsilon >0\), esiste \(m \in \N\) tale che \(\forall k \ge m\) abbiamo:

\[ 1- \varepsilon < \frac{a_k}{b_k} < 1 +\varepsilon {\rm ~~~~e~quindi~~~~} (1- \varepsilon)\; b_k < a_k < (1 +\varepsilon)\; b_k {\rm ~~~~dato~che~} b_k >0, \forall k \]

Abbiamo quindi dimostrato che \((1- \varepsilon)\; b_k < a_k < (1 +\varepsilon)\; b_k\), definitivamente. Quindi per il teorema del criterio del confronto le serie \(\sum a_k\) e \(\sum b_k\) hanno lo stesso carattere.

La prima delle due disuguaglianze implica che se \(\sum a_k\) è convergente anche \(\sum b_k\) è convergente, mentre la seconda implica che se \(\sum a_k\) è divergente anche \(\sum b_k\) è divergente. □

Osservazione 2

Dato \(\alpha \ge 2\), la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}\) è convergente.

Dimostrazione

Con \(\alpha= 2\) abbiamo:

\[ \frac{1}{k^2} \sim \frac{1}{k \; (k+1)} {\rm ~~~per~~~} k \rr \ip \]

e la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \; (k+1)}\) converge (serie di Mengoli). Quindi per il criterio del confronto asintotico anche \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\) converge.

Con \(\alpha> 2\), la serie è minorante della serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\), dato che:

\[ \frac{1}{k^{\alpha}} \le \frac{1}{k^2},~~~~~~~~~\forall k \in \N, k \ge 1 {\rm~~~e~~~} \alpha >2 \]

quindi \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}\) è convergente per il criterio del confronto. □

• Graficamente, ad esempio con \(\alpha= 2\), abbiamo:

Esempio 1: criterio del confronto asintotico

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5\;k + \cos k}{3 + 2\; k^3} \]

Abbiamo:

\[ \frac{5\;k + \cos k}{3 + 2\; k^3} \sim \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{k^2} {\rm ~~~per~~~} k \rr \ip {\rm ~~~~~e~~~~~} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{k^{2}} {\rm ~~~converge~~~} \]

quindi la serie è convergente per il criterio del confronto asintotico.

Anche se le successioni sono asintotiche le corrispondenti serie potrebbero però non avere la stessa somma.

1.3 Criterio di condensazione

Teorema 3: del criterio di condensazione

Se \(\{a_k\}\) è una successione definitivamente decrescente a termini non negativi, allora le serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) e \(\sum_{k=0}^{\infty} 2^k\; a_{2^k}\) sono regolari e hanno lo stesso carattere cioè o sono entrambe convergenti o sono entrambe divergenti.

• Prima di dimostrare il teorema, consideriamo la successione \(\{\tilde{s}_n\}\) delle somme parziali della successione \(\{2^k \; a_{2^k}\}\), ovvero la successione:

  \[ \tilde{s}_n = \sum_{k=0}^n 2^k \; a_{2^k}\qquad \forall n \ge 0 \]

  e deriviamo due importanti relazioni con la successione \(\{s_n\}\) delle somme parziali della successione \(\{a_{k}\}\), ovvero la successione:

  \[ {s}_n = \sum_{k=1}^n a_{k}\qquad \forall n \ge 1 \]

• Osserviamo che, per determinati valori di \(n\), le somme parziali \(s_n\) sono:

  \[\begin{align*} \underbrace{s_1}_{\displaystyle =s_{2^1-1}}&=a_1,\qquad \underbrace{s_3}_{\displaystyle =s_{2^2-1}}=s_1 + a_2+\underbrace{a_3}_{\le a_2} \le a_1 + 2\;a_2\\[1ex] \underbrace{s_7}_{\displaystyle =s_{2^3-1}}&=s_3 + a_4 + \underbrace{a_5}_{\le a_4}+ \underbrace{a_6}_{\le a_4}+ \underbrace{a_7}_{\le a_4} \le a_1 + 2\;a_2 + 4\;a_4\\[1ex] \underbrace{s_{15}}_{\displaystyle =s_{2^4-1}}&=s_7 + a_8 + \underbrace{a_9}_{\le a_8} + \underbrace{a_{10}}_{\le a_8}+ \underbrace{a_{11}}_{\le a_8}+ \underbrace{a_{12}}_{\le a_8}+ \underbrace{a_{13}}_{\le a_8}+ \underbrace{a_{14}}_{\le a_8}+ \underbrace{a_{15}}_{\le a_8} \le a_1 + 2\;a_2 + 4\;a_4 + 8\;a_8 \end{align*}\]

Osservazione 3

Data una successione \(\{a_k\}\) definitivamente decrescente a termini non negativi, abbiamo:

\[\begin{equation} s_{2^n-1} ~~\le~~ \underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} 2^k \; a_{2^k}}_{=\tilde{s}_{n-1}}\qquad \forall n \ge 1 \label{P1} \end{equation}\]

Dimostrazione

Dimostriamo per induzione su \(2^n\) che

\[ s_{2^n-1} ~~\le~~ \sum_{k=0}^{n-1} 2^k \; a_{2^k}\qquad \forall n \ge 1 \]

Primo passo dell'induzione. Sia \(n = 1\). Allora l'asserto diventa \(s_{2^1-1} \le 2^0 \; a_1\) cioè \(a_1 \le a_1\) che è evidentemente vero.

Passo induttivo. Supponiamo che sia vero per \(2^{n-1}\) e proviamolo per \(2^n\). Per ipotesi induttiva, abbiamo \(s_{2^{n-1}-1} ~\le~ \sum_{k=0}^{n-2} 2^k \; a_{2^k}\). Abbiamo inoltre:

\[ s_{2^{n}-1} = s_{2^{n-1}-1} + \underbrace{\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_i}_{\le~ 2^{n-1} \; a_{2^{n-1}}} {\rm ~~~quindi~~~~~} s_{2^{n}-1} ~\le~ \sum_{k=0}^{n-2} 2^k \; a_{2^k} + 2^{n-1} \; a_{2^{n-1}} = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k \; a_{2^k} \]

che è esattamente l'asserto voluto per \(2^n\). □

• Osserviamo ora che i valori di \(\tilde{s}_n\) sono:

  \[\begin{align*} \tilde{s}_0&=a_1 \le 2 \; a_1 = 2\;\underbrace{s_1}_{\displaystyle =s_{2^0}},\qquad \tilde{s}_1=\tilde{s}_0 + 2\;a_2 \le 2\;s_1 + 2 \; a_2 = 2\;\underbrace{s_2}_{\displaystyle =s_{2^1}}\\[2ex] \tilde{s}_2&=\tilde{s}_1 + 4\;a_4 \le 2\;s_2 + 2 \; a_3 + 2 \; a_4 = 2\;\underbrace{s_4}_{\displaystyle =s_{2^2}} ~~~ ({\rm dato~che~} a_4 \le a_3 )\\[2ex] \tilde{s}_3&=\tilde{s}_2 + 8\;a_8 \le 2\;s_4 + 2 \; a_5 + 2 \; a_6 + 2 \; a_7 + 2 \; a_8 = 2\;\underbrace{s_8}_{\displaystyle =s_{2^3}}~~~ ({\rm dato~che~} a_8 \le a_7 \le a_6 \le a_5 ) \end{align*}\]

Osservazione 4

Data una successione \(\{a_k\}\) definitivamente decrescente a termini non negativi, abbiamo:

\[\begin{equation} \underbrace{\sum_{k=0}^{n} 2^k \; a_{2^k}}_{=\tilde{s}_{n}} ~~\le~~ 2\; s_{2^n} \qquad \forall n \ge 0 \label{P2} \end{equation}\]

Dimostrazione

Dimostriamo per induzione su \(2^n\) che

\[ \tilde{s}_{n} ~~\le~~ 2\; s_{2^n}\qquad \forall n \ge 0 \]

Primo passo dell'induzione. Sia \(n = 0\). Allora l'asserto diventa \(\tilde{s}_{0} \le 2 \; s_{2^0} = 2 s_1\) cioè \(a_1 \le 2\;a_1\) che è evidentemente vero.

Passo induttivo. Supponiamo che sia vero per \(n-1\) e proviamolo per \(n\). Per ipotesi induttiva, abbiamo \(\tilde{s}_{n-1} ~\le~ 2 \; s_{2^{n-1}}\). Abbiamo inoltre:

\[ \tilde{s}_{n} = \tilde{s}_{n-1} + \underbrace{ 2^{n} \; a_{2^{n}}}_{\displaystyle \le \sum_{i=2^{n-1}+1}^{2^{n}} 2\; a_i} {\rm ~~~quindi~~~~~} \tilde{s}_{n} ~\le~ 2 \; s_{2^{n-1}} +\sum_{i=2^{n-1}+1}^{2^{n}} 2\; a_i = 2 \; s_{2^{n}} \]

che è esattamente l'asserto voluto per \(n\). □

• Siamo ora in grado di dimostrare il teorema.

Dimostrazione

Dalla relazione \(\eqref{P1}\) abbiamo:

\[ s_{2^n-1} \le \tilde{s}_{n-1} ,~~~ \forall n \ge 1 \]

Quindi se \(\{\tilde{s}_n\}\) è convergente, ovvero se \(\sum_{k=0}^{\infty} 2^k\; a_{2^k}\) è convergente, la sottosuccessione \(\{s_{2^{n}-1}\}\) è limitata. Dato che \(\{s_n\}\) è monotona tutta la successione \(\{s_n\}\) risulta limitata e convergente per il teorema di monotonia delle successioni. Di conseguenza, se \(\sum_{k=0}^{\infty} 2^k\; a_{2^k}\) è convergente anche \(\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\) è convergente.

Dalla relazione \(\eqref{P2}\) abbiamo:

\[ \tilde{s}_{n} \le 2\;s_{2^n},~~~ \forall n \ge 0 \]

Quindi se \(\{{s}_n\}\) è convergente, ovvero se \(\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\) è convergente, allora la sottosuccessione \(\{s_{2^n}\}\) è convergente (dato che \(\{{s}_n\}\) è monotona). Di conseguenza per confronto anche \(\{\tilde{s}_{n}\}\) è convergente ovvero \(\sum_{k=0}^{\infty} 2^k\; a_{2^k}\) converge.

Inoltre dato che \(\{a_k\}\) è a termini non negativi non può essere irregolare, di conseguenza abbiamo anche:

\[\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k {\rm ~~divergente~~} ~~\Longleftrightarrow~~ \sum_{k=0}^{\infty} 2^k\; a_{2^k} {\rm ~~divergente~~} \end{equation*}\]

che completa la dimostrazione del teorema. □

Data una successione \(\{a_k\}\) definitivamente decrescente a termini non negativi, abbiamo dimostrato che:

\[\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k {\rm ~~convergente/divergente~~} ~~\Longleftrightarrow~~ \sum_{k=0}^{\infty} 2^k\; a_{2^k} {\rm ~~convergente/divergente~~} \end{equation*}\]

Quindi la condizione di convergenza/divergenza di \(\sum_{k=0}^{\infty} 2^k\; a_{2^k}\) è una condizione necessaria e sufficiente alla convergenza/divergenza di \(\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\).

1.4 Serie armonica generalizzata

Definizione 1: di serie armonica generalizzata

Dato \(\alpha \in \R\), si dice serie armonica generalizzata la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}\)

Teorema 4: del carattere della serie armonica generalizzata

Dato \(\alpha \in \R\),

\[ {\rm la~serie~armonica~generalizzata~} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}} {\rm ~~~~è~~~~} \begin{cases} {\rm divergente~a~} \ip & {\rm se~} \alpha \le 1\\[2ex] {\rm convergente~} & {\rm se~} \alpha > 1 \end{cases} \]

Dimostrazione

Abbiamo stabilito che diverge per \(\alpha \le 1\). Per \(\alpha >1\), la successione \(\left\{\frac{1}{k^{\alpha}}\right\}\) è una successione decrescente e a termini positivi. Abbiamo:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} = \sum_{k=0}^{\infty} 2^k \frac{1}{(2^k)^{\alpha}} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( 2^{1-\alpha} \right)^k \]

ovvero una serie geometrica di ragione \(2^{1-\alpha}\) che converge se e solo se \(2^{1-\alpha}<1\) ovvero se \(1 -\alpha < 0\). Quindi per \(\alpha >1\), per il criterio di condensazione, la serie converge. □

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.

1.5 Criterio del passaggio dal discreto al continuo

• Gli strumenti utili a stabilire stime asintotiche di funzioni, si possono usare anche per ottenere stime asintotiche di successioni (passaggio dal discreto al continuo) e forniscono strumenti utili per lo studio del carattere di una serie a termini positivi.

Esempio 2: passaggio dal discreto al continuo

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{e^{1/k}-1}{k} \]

Dall'equivalenza asintotica

\[ e^{\varepsilon(x)} - 1 \sim \varepsilon(x) {\rm ~~~~per~~~~} \varepsilon(x) \rr 0 \]

abbiamo

\[ \frac{e^{1/k}-1}{k} \sim \frac{1}{k^2} {\rm ~~~~per~~~~} k \rr \ip \]

Perciò la serie, a termini positivi, per confronto asintotico con la serie di \(1/k^2\) , converge.

Esempio 3: passaggio dal discreto al continuo

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \log \left( \frac{k+3}{k+2} \right) \]

Abbiamo

\[ \frac{k+3}{k+2} = 1 + \frac{1}{k+2}= 1 + \frac{1}{k+2} \]

Dall'equivalenza asintotica

\[ \log (1 + \varepsilon(x)) \sim \varepsilon(x) {\rm ~~~~per~~~~} \varepsilon(x) \rr 0 \]

abbiamo

\[ \log \left( 1 + \frac{1}{k+2} \right) \sim \frac{1}{k+2} \sim \frac{1}{k} {\rm ~~~~per~~~~} k \rr \ip \]

Dunque si tratta di una serie a termini positivi, il cui termine generale è asintotico a \(1/k\). Per confronto con la serie armonica, questa serie diverge a \(\ip\).

Esempio 4: passaggio dal discreto al continuo

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} -\sin \frac{1}{k} \right) \]

Dallo sviluppo di MacLaurin di terzo grado

\[ \sin \big(\varepsilon(x) \big) = \varepsilon(x) - \frac{\big(\varepsilon(x) \big)^3}{3!} + o\bigg(\big(\varepsilon(x) \big)^{3}\bigg) {\rm ~~~~per~~~~} \varepsilon(x) \rr 0 \]

abbiamo

\[ \frac{1}{k} -\sin \frac{1}{k} = \frac{1}{k} - \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{6\;k^3} + o\left(\frac{1}{k^3}\right) \right) \sim \frac{1}{6\;k^3} {\rm ~~~~per~~~~} k \rr \ip \]

Perciò la serie, a termini positivi, per confronto asintotico con la serie di \(1/(6\:k^3)\) , converge.

1.6 Criterio della radice

Teorema 5: del criterio della radice

Sia \(\{a_k\}\) una successione a termini non negativi. Se esiste il limite:

\[ \lim_{k \rr \ip} \sqrt[k]{a_k} = \ell \in \R^* {\rm~~allora~la~serie~} \sum a_k {\rm ~~~~è~~~~} \begin{cases} {\rm convergente~} & {\rm se~} \ell < 1 {\rm ~~o~~} \ell = \im\\[2ex] {\rm divergente~a~} \ip & {\rm se~} \ell > 1 {\rm ~~o~~} \ell = \ip \end{cases} \]

Dimostrazione

Supponiamo che \(\lim_{k \rr \ip} \sqrt[k]{a_k} = \ell < 1\). Poiché \(\sqrt[k]{a_k} \rr \ell \in \R\), allora per ogni \(\varepsilon >0\), esiste \(m \in \N\) tale che \(\forall k \ge m\):

\[ \sqrt[k]{a_k} ~\le~ \ell + \frac{\varepsilon}{2} \]

Inoltre, dato che \(\ell < 1\), abbiamo \(\ell < 1 - \varepsilon\) per un \(\varepsilon > 0\) opportuno. Per questo \(\varepsilon\) si ha dunque che, definitivamente:

\[ \sqrt[k]{a_k} ~\le~ \ell + \frac{\varepsilon}{2} < (1 - \varepsilon) + \frac{\varepsilon}{2} = 1 - \frac{\varepsilon}{2} {\rm ~~~~quindi~~~~} a_k < \left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right)^k,~~ \forall k \ge m \]

Abbiamo quindi dimostrato che \(a_k < \left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right)^k\), definitivamente. La serie geometrica:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \left(1 - \frac{\varepsilon}{2}\right)^k {\rm ~~~è ~convergente~dato~che~~} 1 - \frac{\varepsilon}{2} <1 \]

Quindi per il teorema del criterio del confronto la serie di partenza converge.

Supponiamo che \(\lim_{k \rr \ip} \sqrt[k]{a_k} = \ell > 1\). Poiché \(\sqrt[k]{a_k} \rr \ell \in \R\), allora per ogni \(\varepsilon >0\), esiste \(m \in \N\) tale che \(\forall k \ge m\):

\[ \sqrt[k]{a_k} ~\ge~ \ell - \frac{\varepsilon}{2} \]

Inoltre, dato che \(\ell > 1\), abbiamo \(\ell > 1 + \varepsilon\) per un \(\varepsilon > 0\) opportuno. Per questo \(\varepsilon\) si ha dunque che, definitivamente:

\[ \sqrt[k]{a_k} ~\ge~ \ell - \frac{\varepsilon}{2} > (1 + \varepsilon) - \frac{\varepsilon}{2} = 1 + \frac{\varepsilon}{2} {\rm ~~~~quindi~~~~} a_k > \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right)^k,~~ \forall k \ge m \]

Abbiamo quindi dimostrato che \(a_k > \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right)^k\), definitivamente. La serie geometrica:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right)^k {\rm ~~~è ~divergente~dato~che~~} 1 + \frac{\varepsilon}{2} >1 \]

Quindi per il teorema del criterio del confronto la serie di partenza diverge. □

Chiaramente questi ragionamenti rimangono rispettivamente validi anche se \(\ell = \im\) oppure \(\ip\).

Osservazione 5

\[ {\rm La~serie~~~~} \sum_{k=1}^{\infty} k^\beta \cdot b^k {\rm ~~con~~~} \beta \in \R,b \ge 0 {\rm ~~~~è~~~~~~} \begin{cases} {\rm convergente~} & {\rm se~} b < 1\\[2ex] {\rm divergente} & {\rm se~} b > 1 \\[2ex] {\rm convergente} & {\rm se~} b = 1 {\rm ~~e~~} \beta < -1 \\[2ex] {\rm divergente} & {\rm se~} b = 1 {\rm ~~e~~} \beta \ge -1 \end{cases} \]

Dimostrazione

È una serie a termini non negativi, abbiamo:

\[ \sqrt[k]{k^\beta \cdot b^k} = b \cdot k^{\beta/k} {\rm ~~~~~e~~~~} \lim_{k \rr \ip} k^{\beta/k} = \lim_{k \rr \ip} \exp \left( \underbrace{\frac{\beta}{k} \cdot \log k}_{\rr 0} \right) = 1 \]

quindi, per il criterio della radice, con \(b < 1\) converge e con \(b > 1\) diverge. Se \(b=1\), la serie diventa:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} k^\beta = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{-\beta}} \]

ovvero una serie armonica generalizzata; con \(\beta < -1\) è convergente, mentre con \(\beta \ge -1\) è divergente. □

Osservazione 6

La serie \(\sum_{k=1}^{\infty} b^k / k^k\) con \(b \ge 0\) è convergente

Dimostrazione

È una serie a termini non negativi, abbiamo:

\[ \sqrt[k]{\frac{b^k}{k^k}} = \frac{b}{k} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} k \rr \ip \]

quindi la serie converge per il criterio della radice. □

1.7 Criterio del rapporto

Teorema 6: del criterio del rapporto

Sia \(\{a_k\}\) una successione a termini positivi. Se esiste il limite:

\[ \lim_{k \rr \ip} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \ell \in \R^* {\rm~~allora~la~serie~} \sum a_k {\rm ~~~~è~~~~} \begin{cases} {\rm convergente~} & {\rm se~} \ell < 1 {\rm ~~o~~} \ell = \im\\[2ex] {\rm divergente~a~} \ip & {\rm se~} \ell > 1 {\rm ~~o~~} \ell = \ip \end{cases} \]

Dimostrazione

Supponiamo che \(\lim_{k \rr \ip} a_{k+1}/ a_k = \ell<1\). Ragionando come nella dimostrazione del criterio della radice, esiste \(m \in \N\) tale che \(\forall k \ge m\):

\[ \frac{a_{k+1}}{a_k} < \left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right) \]

per un opportuno \(\varepsilon >0\). Ciò implica, ragionando iterativamente, che:

\[ a_{k+1} < \left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right) \; a_k < \left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right) \; \left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right) \; a_{k-1} < {\rm \dots} < \left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right)^{k-m+1} a_m \]

Abbiamo quindi dimostrato che \(a_k < \left(1 - \frac{\varepsilon}{2} \right)^{k-m} \; a_m\), definitivamente. La serie geometrica:

\[ \sum_{k=m}^{\infty} \left(1 - \frac{\varepsilon}{2}\right)^{k-m}\; a_m {\rm ~~~è ~convergente~dato~che~~} 1 - \frac{\varepsilon}{2} <1 \]

Quindi per il teorema del criterio del confronto la serie di partenza converge.

Supponiamo che \(\lim_{k \rr \ip} a_{k+1}/a_k = \ell>1\). Ragionando come nella dimostrazione del criterio della radice, esiste \(m \in \N\) tale che \(\forall k \ge m\):

\[ \frac{a_{k+1}}{a_k} > \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right) \]

per un opportuno \(\varepsilon >0\). Ciò implica, ragionando iterativamente, che:

\[ a_{k+1} > \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right) \; a_k > \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right) \; \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right) \; a_{k-1} > {\rm \dots} > \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right)^{k-m+1} a_m \]

Abbiamo quindi dimostrato che \(a_k > \left(1 + \frac{\varepsilon}{2} \right)^{k-m} \; a_m\), definitivamente. La serie geometrica:

\[ \sum_{k=m}^{\infty} \left(1 + \frac{\varepsilon}{2}\right)^{k-m}\; a_m {\rm ~~~è ~divergente~dato~che~~} 1 + \frac{\varepsilon}{2} >1 \]

Quindi per il teorema del criterio del confronto la serie di partenza diverge. □

Chiaramente questi ragionamenti rimangono rispettivamente validi anche se \(\ell = \im\) oppure \(\ip\).

Osservazione 7

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e \]

Dimostrazione

Abbiamo

\[ \frac{1/(k+1)!}{1/k!} = \frac{1}{k+1} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} k \rr \ip \]

Perciò la serie a termini non negativi converge per il criterio del rapporto. La dimostrazione che la somma della serie è uguale ad \(e\) verrà data in seguito utilizzando le serie di funzioni. □

1.8 Serie numeriche a termini non positivi

• Sappiamo che il carattere di una serie non cambia se ne alteriamo un numero finito di termini. Di conseguenza, i criteri per le serie a termini non negativi, si applicano anche alle serie con termini definitivamente non negativi.

• Raccogliendo un segno meno dall'intera serie poi, si vede che questi criteri si possono applicare anche alle serie a termini non positivi, e quindi alle serie a termini definitivamente non positivi.

In sintesi, quindi, i criteri visti si applicano alle serie che hanno tutti i termini (tranne un numero finito) dello stesso segno.