Operazioni sui grafici

Parte 2 · Funzioni · Capitolo 9 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Operazioni sui grafici

• Conoscendo il grafico di una funzione \(y = f (x)\) mediante semplici trasformazioni geometriche è possibile disegnare il grafico delle seguenti funzioni:

\[\begin{align} y_1 &= f(x) + a, \quad a \in \mathbb{R}\\[2ex] y_2 &= f(x + a), \quad a \in \mathbb{R}\\[2ex] y_3 &= k \: f(x), \quad k \in \mathbb{R}\\[2ex] y_4 &= f(k \:x), \quad k \in \mathbb{R}\\[2ex] y_5 &= |f(x)| \\[2ex] y_6 &= f(|x|) \end{align}\]

• Pertanto, a partire dalle funzioni elementari, è possibile costruire, mediante queste operazioni, una grande varietà di nuove funzioni. Queste operazioni creano traslazioni, dilatazioni e riflessioni della funzione originale.

1.1 Operazioni relative a \(y_1= f(x) +a\)

Esempio 1: Operazioni sui grafici relative a \(y_1= f(x) +a\)

Consideriamo \(y = \ln x\). Allora

\[ y_1 = \ln (x) +a ~~~~(x > 0). \]

• Il grafico di \(y_1\) si ottiene da quello di \(y\) con una traslazione di \(a\) unità verso l'alto se \(a> 0\), verso il basso se \(a < 0\).

1.2 Operazioni relative a \(y_2= f(x +a)\)

Esempio 2: Operazioni sui grafici relative a \(y_2= f(x +a)\)

Consideriamo ancora \(y = \ln x\). Allora

\[ y_2 = \ln (x +a). \]

Essendo \(\ln x\) definito per \(x > 0\), \(\ln(x +a)\) sarà definito per \(x +a > 0\) e cioè per \(x > - a\). Poiché \(\ln x =0\) se \(x = 1\), si ha \(\ln(x +a) =0\) per \(x +a= 1\) e cioè \(x = 1 - a\).

• Il grafico di \(y_2\) si ottiene da quello di \(y\) con una traslazione di \(a\) unità a sinistra se \(a > 0\), a destra se \(a < 0\).

1.3 Operazioni relative a \(y_3 = k\: f(x)\)

• Il grafico di \(y_3 = k \: f ( x)\) si ottiene da quello di \(f\) moltiplicando per \(k\) tutte le ordinate \(f(x)\).

• In particolare se \(k = -1\) le ordinate sono semplicemente cambiate di segno, cosicché il grafico di \(y_3\) è simmetrico, rispetto \(x\), a quello di \(f\).

• Osserviamo che se \(k > 1\), il grafico si “stira” nella direzione verticale, dilatando verso l'alto le ordinate positive e verso il basso quelle negative.

• Al contrario, se \(0 < k < 1\) il grafico si “contrae”, sempre in direzione verticale.

• Perciò l'operazione di moltiplicazione di \(f ( x)\) per \(k\) ha il significato geometrico di dilatazione (se \(|k| > 1\)) o contrazione (se \(|k| < 1\)) sull'asse delle \(y\), eventualmente accompagnata da una riflessione rispetto all'asse \(x\), se \(k < 0\).

Esempio 3: Operazioni sui grafici relative a \(y_3= k\: f( x)\)

Consideriamo \(y = \sin x\), allora \(y_3 = k\: \sin(x).\)

1.4 Operazioni relative a \(y_4= f(k\:x)\)

• Il grafico di \(y_4 = f ( k\:x)\) si ottiene da quello di \(f(x)\) con un cambiamento di scala sull'asse delle \(x\).

• Se \(k > 1\), \(k \:x\) cresce più rapidamente di \(x\) e perciò il grafico di \(y_4\) sarà simile a quello di \(f\) ma con oscillazioni più rapide, ovvero sarà “compresso” in direzione orizzontale, di un fattore \(\frac{1}{k}\).

• Analogamente se \(0 < k < 1\) il grafico apparirà “dilatato” in direzione orizzontale, con oscillazioni più dolci.

• Se \(k < 0\), oltre ad una compressione (se \(|k| > 1\)) o dilatazione (se \(|k|< 1\)) sull'asse delle x ci sarà una riflessione rispetto all'asse delle \(y\).

Esempio 4: Operazioni sui grafici relative a \(y_4 = f(k\: x)\)

Consideriamo \(y = \sin x\), allora \(y_4 = \sin(k\: x).\) Con \(k=\frac{1}{2}\) e \(k=2\) abbiamo:

Esempio 5: Operazioni sui grafici relative a \(y_4= f(k\: x)\)

Consideriamo \(y = \ln x\), allora \(y_4 = \ln(k\: x).\) Con \(k=-1\) abbiamo:

1.5 Operazioni relative a \(y_5=|f(x)|\)

Valore assoluto di \(f(x)\):

\[ |f(x)|= \begin{cases} f(x) & {\rm if~~} f(x)\ge0,\\ -f(x) \: & {\rm if~~} f(x)<0 \end{cases} \]

• Nel passare dal grafico \(y=f(x)\) a \(y_5=|f(x)|\) i punti a ordinata non negativa rimangono inalterati mentre quelli a ordinata negativa vengono trasformati nei loro simmetrici rispetto all'asse \(x\).

• Il grafico \(y_5=|f(x)|\) si ottiene da quello di \(f\) “ribaltando” simmetricamente rispetto all'asse delle ascisse la parte del grafico di \(f\) che si trova nel semipiano inferiore e lasciando inalterato il resto.

Esempio 6: Operazioni sui grafici relative a \(y_5= |f(x)|\)

Consideriamo \(y = x\) allora \(y_5 = |x|\)

Esempio 7: Operazioni sui grafici relative a \(y_5= |f( x)|\)

Consideriamo \(y = \sin x\) allora \(y_5 = |\sin x|\)

1.6 Operazioni relative a \(y_6=f(|x|)\)

• Infine, per tracciare il grafico \(y_6 =f(|x|)\), osserviamo che: \(|x| = x\) per \(x \ge 0\), e quindi nel semipiano destro i due grafici coincidono

• Abbiamo \(|-x|=|x|\), e quindi \(y_6\) è una funzione pari, perciò simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.

• Di conseguenza il grafico \(y_6 = f(|x|)\) verrà tracciato lasciando inalterato il grafico di \(f\) nel semipiano destro e ribaltandolo simmetricamente rispetto all'asse delle ordinate.

Esempio 8: Operazioni sui grafici relative a \(y_6=f(|x|)\)

Consideriamo \(y = e^x\) allora \(y_6 = e^{|x|}\)

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.