Teorema del valore medio, massimi e minimi

Parte 4 · Derivate · Capitolo 5 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Massimi/minimi locali e globali

• Uno degli usi del calcolo differenziale consiste nella ricerca dei massimi e minimi, ovvero nell'ottimizzazione di una funzione definita su un intervallo \(I\) (chiuso/aperto, limitato/illimitato).

Definizione 1: di punto di massimo e massimo

Data una funzione \(f:I \rr \R\), se esiste un punto \(\tilde{x}_M \in I\) tale che:

\[ f(\tilde{x}_M) \ge f(x),~~~ \forall x \in I \]

allora \(\tilde{x}_M\) è punto di massimo (globale) e \(f(\tilde{x}_M)\) è il massimo (globale) di \(f\) in \(I\).

Definizione 2: di punto di minimo e minimo

Data una funzione \(f:I \rr \R\), se esiste un punto \(\tilde{x}_m \in I\) tale che:

\[ f(\tilde{x}_m) \le f(x),~~~ \forall x \in I \]

allora \(\tilde{x}_m\) è punto di minimo (globale) e \(f(\tilde{x}_m)\) è il minimo (globale) di \(f\) in \(I\).

Chiamiamo estremo un massimo o un minimo e punto di estremo un punto di massimo o di minimo. Un estremo se esiste è unico mentre possono esistere più punti di estremo (anche infiniti).

Definizione 3: di punto di massimo locale e massimo locale

Data una funzione \(f:I \rr \R\), se esiste un punto \(\bar{x}_M \in I\) e un intorno \((\bar{x}_M-\delta,\bar{x}_M+\delta)\) con \(\delta >0\), tale che:

\[ f(\bar{x}_M) \ge f(x),~~~ \forall x \in (\bar{x}_M-\delta,\bar{x}_M+\delta) \cap I \]

allora \(\bar{x}_M\) è punto di massimo locale e \(f(\bar{x}_M)\) è il massimo locale di \(f\) in \((\bar{x}_M-\delta,\bar{x}_M+\delta) \cap I\).

Definizione 4: di punto di minimo locale e minimo locale

Data una funzione \(f:I \rr \R\), se esiste un punto \(\bar{x}_m \in I\) e un intorno \((\bar{x}_m-\delta,\bar{x}_m+\delta)\) con \(\delta >0\), tale che:

\[ f(\bar{x}_m) \le f(x),~~~ \forall x \in (\bar{x}_m-\delta,\bar{x}_m+\delta) \cap I \]

allora \(\bar{x}_m\) è punto di minimo locale e \(f(\bar{x}_m)\) è il minimo locale di \(f\) in \((\bar{x}_m-\delta,\bar{x}_m+\delta) \cap I\).

• I punti di estremo globale sono anche punti di estremo locale e gli estremi globali sono anche estremi locali.

Esempio 1: estremi e punti di estremo (globali e locali)

Consideriamo la funzione \(f\) col seguente grafico:

• il massimo globale è \(f (x_2)\) e \(x_2\) è punto di massimo globale (è anche unico); \(f(x_0)\) è massimo locale (non globale) e \(x_0\) è un punto di massimo locale (non globale)

• il minimo globale è \(f (a)\) e \(a\) è punto di minimo globale (è anche unico); \(f(b)\) e \(f(x_1)\) sono due minimi locali (non globali) e \(b\) e \(x_1\) sono due punti di minimo locale (non globale)

Consideriamo ora la funzione \(f\) col seguente grafico:

• il massimo globale non esiste (\(\lim_{x \to a^+} f(x)=\ip\)); \(f(x_1)\) è massimo locale (non globale) e \(x_1\) è punto di massimo locale (non globale)

• il minimo globale è \(f(x_0)\) che è uguale anche a \(f(b)\); \(x_0\) e \(b\) sono due punti di minimo globale

2. Teorema di Fermat e punti stazionari

• In un punto di estremo locale o globale la funzione può non essere derivabile ed essere perfino discontinua. Però il seguente teorema ci dice che se una funzione è derivabile in un punto di estremo locale allora in quel punto la derivata si annulla e quindi la tangente al grafico è orizzontale.

Teorema 1: di Fermat

Data una funzione \(f: (a,b) \rr \R\) derivabile in \(x_0 \in (a,b)\), se \(f\) ha un estremo locale in \(x_0\) allora \(f'(x_0) = 0\).

Dimostrazione

Consideriamo il caso \(x_0\) punto di massimo locale. Allora:

\[ \exists (x_0-\delta,x_0+\delta) {\rm ~~con~~} \delta >0:~~~ f(x_0) \ge f(x) , ~~\forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap (a,b) \]

Perciò per ogni \(x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap (a,b)\) abbiamo:

\[ x < x_0 \Rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge 0 {\rm ~~~~e~quindi~~~~} f'_{-}(x_0)=\lim_{x\rr x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge 0 \]

dove per la non-negatività del limite abbiamo utilizzato il teorema di permanenza del segno. D'altra parte:

\[ x > x_0 \Rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \le 0 {\rm ~~~~e~quindi~~~~} f'_{+}(x_0)=\lim_{x\rr x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \le 0 \]

Essendo \(f\) derivabile in \(x_0\), si ha:

\[ f'(x_0) = f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) =0 \]

Per il caso \(x_0\) punto di minimo locale si ragiona in maniera analoga. □

Dimostrazione

Se per assurdo fosse \(f'(x_0) > 0\), allora per il teorema della permanenza del segno si dovrebbe avere \(\frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0} >0\) definitivamente per \(x \rr x_0\). Tenuto conto del segno di \(x - x_0\), questo implica che \(f(x) > f(x_0)\) definitivamente per \(x \rr x_0^+\) e \(f(x) < f(x_0)\) definitivamente per \(x \rr x_0^-\). Ma questo contrasta con l’ipotesi che \(x_0\) sia un punto di estremo locale per \(f\). Analogamente si esclude il caso \(f'(x_0) < 0\). Deve quindi essere \(f'(x_0) = 0\). □

Definizione 5: punto stazionario

Un punto \(x_0\) si dice punto stazionario di \(f\) se \(f\) è derivabile in \(x_0\) e \(f'(x_0) = 0\).

Il Teorema di Fermat dice che per una funzione \(f: (a, b) \rr \R\) derivabile in \(x_0 \in (a,b)\) abbiamo:

\[\begin{equation} x_0 {\rm ~~è~punto~di~estremo~locale} ~~~\Rightarrow~~~ \underbrace{x_0 {\rm ~~è~punto~stazionario}}_{ f'(x_0)=0} \label{BBB} \end{equation}\]

Quindi “\(x_0\) è punto di estremo locale” è condizione sufficiente a “\(x_0\) è punto stazionario”. Ma il viceversa non è vero. Un controesempio è dato dalla funzione \(f(x) = x^3+1, \forall x \in \R\) che ha come funzione derivata \(f'(x) = 3\:x^2, \forall x \in \R\). Con \(x_0=0\) abbiamo \(f'(0)=0\) ma \(x_0= 0\) non è punto di estremo locale.

Quindi abbiamo:

\[ \underbrace{x_0 {\rm ~~è~punto~stazionario}}_{ f'(x_0)=0} ~~~\nRightarrow~~~ x_0 {\rm ~~è~punto~di~estremo~locale} \]

Infine, dalla contronominale di \(\eqref{BBB}\), abbiamo:

\[ x_0 {\rm ~~non~è~punto~stazionario} ~~\Rightarrow~~ x_0 {\rm ~~non~è~punto~di~estremo~locale~} \]

3. Teorema del valor medio o di Lagrange

Teorema 2: del valore medio o di Lagrange

Data una funzione \(f\) derivabile in \((a, b)\) e continua in \([a, b]\), allora:

\[\begin{equation} \exists~ c \in (a,b) ~~:~~ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \label{VVV} \end{equation}\]

Nel caso \(f(b) = f(a)\), il teorema ci dice che esiste \(c \in (a,b)\) tale che \(f'(c)=0\), ovvero che esiste almeno un punto in cui la derivata si annulla. Questo corollario del teorema di Lagrange è chiamato teorema di Rolle.

• La derivabilità è richiesta solo nell'intervallo aperto \((a,b)\) per includere anche funzioni continue in uno degli estremi ma non derivabili. Come ad esempio, con \(a=0\):

  \[ f(x) = \begin{cases} \sin \left(\frac{1}{x} \right) \; x & {\rm se~~} x \in (0,b)\\ 0 & {\rm se~~} x = 0 \end{cases} ~~~{\rm ~~oppure~~~} g(x) = \sqrt{x} \]

• Geometricamente, considerando il grafico di \(f\) abbiamo :

  1. \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) è la pendenza della retta passante per \(\big(a, f(a)\big)\) e \(\big(b,f(b)\big)\)

  2. \(f'(c)\) è la pendenza della retta tangente al grafico di \(f\) nel punto \(\big(c,f(c)\big)\)

  Il teorema del valore medio esprime dunque il fatto che nel punto \(\big(c,f(c)\big)\) la tangente al grafico di \(f\) è parallela alla retta passante per \(\big(a, f(a)\big)\) e \(\big(b,f(b)\big)\). I punti con questa caratteristica possono essere più di uno come mostra la seguente figura:

  

• La figura mostra anche la funzione

  \[ w(x) = f(x) - \left( f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \;(x-a) \right) \]

  data dalla differenza fra i valori della funzione e la retta passante per i punti \(\big(a, f(a)\big)\) e \(\big(b,f(b)\big)\) che ha equazione:

  \[ y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \; (x-a) \]

  La funzione \(w(x)\) è alla base della dimostrazione del teorema.

  Dimostrazione

  Consideriamo la funzione:

  \[ w(x) = f(x) - \left( f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \;(x-a) \right) \]

  Chiaramente \(w(a)=w(b)=0\), inoltre \(w\) è continua in \([a,b]\) e derivabile in \((a,b)\). Poiché

  \[ w'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} {\rm ~~~allora~~~} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \Longleftrightarrow \exists c\in (a,b): w' (c) = 0 \]

  Essendo \(w\) continua in \([a, b]\), per il teorema di Weierstrass esistono due punti \(x_1\) e \(x_2\) in \([a, b]\) tali che:

  \[ w(x_1) = M, {\rm ~il~massimo~di~} w {\rm~in~} [a, b];~~~w(x_2) = m, {\rm ~il~minimo~di~} w {\rm~in~} [a, b]. \]

  Se \(M = m\), allora \(w(x)\) è costante in \([a,b]\), e quindi \(w'(x) =0, \forall x \in (a,b)\).

  Se \(M > m\), almeno uno dei due punti \(x_1\) o \(x_2\) non si trova agli estremi dell'intervallo, essendo \(w(a) = w(b) = 0\). Il teorema di Fermat implica allora che nel punto di massimo o minimo che risulta interno (eventualmente entrambi) la derivata di \(w\) si annulla e il teorema è così dimostrato. □

Esempio 2: utilizzo del teorema dei valori medi

Sia \(f(x) = x^2\). Allora \(f'(x) = 2\:x\) e il teorema dei valori medi afferma che in ogni intervallo \([a, b]\) esiste un numero \(c\) tale che:

\[ \frac{b^2-a^2}{b-a}=2\:c {\rm ~~~~da~cui~~~~} c= \frac{a+b}{2} \qquad ({\rm media~aritmetica}) \]

Ovvero ogni corda \(AB\) della parabola \(y = x^2\) è parallela alla tangente nel punto di ascissa uguale alla media aritmetica delle ascisse di \(A\) e \(B\). Prendendo ad esempio l'intervallo \([0.2,1]\) (\(a=0.2,b=1\) e \(c=0.6\)), abbiamo:

Esempio 3: utilizzo del teorema dei valori medi

Sia \(f(x) = \frac{1}{x}\). Allora \(f'(x) = - \frac{1}{x^2}\) e il teorema dei valori medi afferma che in ogni intervallo \([a, b]\) esiste un numero \(c\) tale che:

\[ \frac{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}{b-a}=- \frac{1}{c^2} {\rm ~~~~da~cui~~~~} c= \sqrt{a \cdot b} \qquad ({\rm media~geometrica}) \]

Ovvero ogni corda \(AB\) della iperbole \(y = \frac{1}{x}\) è parallela alla tangente nel punto di ascissa uguale alla media geometrica delle ascisse di \(A\) e \(B\). Prendendo ad esempio l'intervallo \([0.5,2]\) (\(a=0.5,b=2\) e \(c=1\)), abbiamo:

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.

4. Teorema del criterio differenziale di monotonia

!!! teorema "Teorema 3: del Criterio Differenziale di Monotonia"

Data una funzione $f:I \rr \R$, continua in $I$ e derivabile nei punti interni di $I$, allora:

\begin{align}
\label{C1} f'(x) \ge 0,~ \forall x {\rm ~interno~a~} I &~~~\Longleftrightarrow~~~  f {\rm ~è~non~decrescente~in~} I\\[2ex]
\label{C2} f'(x) \le 0,~ \forall x {\rm ~interno~a~} I &~~~\Longleftrightarrow~~~  f {\rm ~è~non~crescente~in~} I\\[2ex]
\label{C3} f'(x) > 0,~ \forall x {\rm ~interno~a~} I &~~~\Longrightarrow~~~  f {\rm ~è~crescente~in~} I\\[2ex]
\label{C4} f'(x) < 0,~ \forall x {\rm ~interno~a~} I &~~~\Longrightarrow~~~  f {\rm ~è~decrescente~in~} I
\end{align}

Dimostrazione

• (\(\Rightarrow\)) Presi due punti \(x_1 < x_2\) nell’intervallo \(I\), si può applicare il teorema di Lagrange nell’intervallo \([x_1,x_2]\) e quindi esiste \(c \in (x_1, x_2)\) tale che

  \[ f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \]

  Se \(f'(c) \ge 0\) (risp. > 0), allora si ha \(f(x_2) \ge f(x_1)\) (risp. \(f(x_2) > f(x_1)\)). Per l’arbitrarietà di \(x_1\) e \(x_2\) abbiamo dimostrato che \(f\) è non decrescente (risp. crescente) in \(I\). Se \(f'(c) \le 0\) (risp. < 0) si ragiona in maniera analoga.

• (\(\Leftarrow\)) Se \(f\) è non decrescente, allora abbiamo

  \[ \frac{f(z)-f(x)}{z-x} \ge 0 {\rm ~~~per~ogni~}z,x \in I, z \neq x \]

  e, per il teorema della permanenza del segno, è non negativo anche il suo limite del rapporto per \(z \rr x\), che per ipotesi esiste e vale \(f'(x)\) per ogni \(x\) interno a \(I\). Se \(f\) è non crescente si ragiona in maniera analoga.

□

Il Teorema del Criterio Differenziale di Monotonia dice che per una funzione \(f: I \rr \R\) derivabile nei punti interni di \(I\) abbiamo:

\[ f'(x) \ge 0,~ \forall x {\rm ~interno~a~} I ~~~\Longleftrightarrow~~~ f {\rm ~è~non~decrescente~in~} I \]

Quindi “\(f'(x) \ge 0,~ \forall x\) interno a \(I\)” è condizione necessaria e sufficiente a “\(f\) è non decrescente in \(I\)”. Lo stesso vale per il caso di funzioni non crescenti.

Il Teorema del Criterio Differenziale di Monotonia dice che per una funzione \(f: I \rr \R\) derivabile nei punti interni di \(I\) abbiamo:

\[ f'(x) > 0,~ \forall x {\rm ~interno~a~} I ~~~\Longrightarrow~~~ f {\rm ~è~crescente~in~} I \]

Quindi “\(f'(x) > 0,~ \forall x\) interno a \(I\)” è condizione sufficiente a “\(f\) è crescente in \(I\)”. Ma il viceversa non è vero. Un controesempio è dato dalla funzione \(f(x) = x^3+1, \forall x \in \R\) che è crescente e derivabile in \(\R\), ma \(f'(x) = 3\;x^2\) si annulla in \(x_0 = 0\).

Quindi abbiamo:

\[ f {\rm ~è~crescente~in~} I ~~~\nRightarrow~~~ f'(x) > 0,~ \forall x {\rm ~interno~a~} I \]

Infine, dalla contronominale di \(\eqref{C3}\), abbiamo:

\[ f {\rm ~non~è~crescente~in~} I ~~\Rightarrow~~ ~ \exists x {\rm ~interno~a~} I: f'(x) \le 0, \]

Controllare. Lo stesso vale per il caso di funzioni decrescenti.

• Segue immediatamente dal teorema che con \(I=(a,b)\) abbiamo:

  \[\begin{align*} f'(x) = 0,~ \forall x \in (a, b) &~~~\Longrightarrow~~~ f {\rm ~~costante~in~} (a, b) \end{align*}\]

  L'implicazione inversa è ovvia. Abbiamo allora

  \[\begin{align} \label{C5} f'(x) = 0,~ \forall x \in (a, b) &~~~\Longleftrightarrow~~~ f {\rm ~~costante~in~} (a, b) \end{align}\]

  Quindi “\(f'(x) = 0,~ \forall x \in (a, b)\)” è condizione necessaria e sufficiente a “\(f\) costante in \((a,b)\)”.

Esempio 4: funzioni a derivata nulla

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = \arctan x + \arctan \frac{1}{x},~~~ \forall x \neq 0 \]

abbiamo

\[ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \; \left(-\frac{1}{x^2}\right)=0,~~~ \forall x \neq 0 \]

L'implicazione \(\eqref{C5}\) permette di dire che \(f\) è costante nell'intervallo \((-\infty,0)\) e nell'intervallo \((0,\infty)\). Per sapere quanto vale, è sufficiente calcolare \(f\) in un punto di ciascun intervallo, per esempio:

\[ f(1) = \arctan (1) + \arctan (1) = 2 \; \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} \]

\[ f(-1) = \arctan (-1) + \arctan (-1) = -\frac{\pi}{2} \]

Abbiamo quindi dimostrato che:

\[ \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \begin{cases} \frac{\pi}{2} & {\rm ~~se~~} x>0\\[2ex] -\frac{\pi}{2} & {\rm ~~se~~} x<0 \end{cases} \]

• Tanto nel Teorema del Criterio Differenziale di Monotonia quanto nella implicazione \(\eqref{C5}\) è fondamentale che l'insieme \(I\) sia un intervallo. Per esempio, la funzione

  \[ f(x) = \frac{1}{x},~~ \forall x \in \R \setminus \{0\} \]

  ha derivata

  \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0,~~ \forall x \in \R \setminus \{0\} \]

  ma la funzione non è decrescente nel suo dominio. La funzione è decrescente nell'intervallo \((-\infty,0)\) e nell'intervallo \((0,\infty)\), come mostra la figura:

  

5. Ricerca di massimi e minimi

Supponiamo di avere una funzione \(f:[a, b] \rr \R\) e di volerne cercare i massimi e i minimi locali e globali in \([a,b]\). Se \(f\) è derivabile in \((a,b)\) si può procedere nel modo seguente:

1. Si calcolano \(f(a)\) e \(f(b)\).

2. Si calcola \(f'(x)\) e si risolve l'equazione \(f'(x)=0\). In tal modo si trovano i punti stazionari, tra i quali vi sono gli eventuali punti di estremo locale nell'intervallo \((a,b)\).

3. Se non vi sono punti stazionari, \(f(a)\) o \(f(b)\) sono estremi globali e \(a\) e \(b\) sono punti di estremo globale. Altrimenti occorre stabilire la natura dei punti stazionari trovati. La funzione \(f\) ha un estremo locale in un punto stazionario se e solo cambia il segno se studiando il segno di \(f'\) in un loro intorno. Abbiamo i seguenti casi:

1. Trovati gli eventuali punti di estremo locale si calcola il valore di \(f\) in questi punti e lo si confronta con \(f(a)\) e \(f(b)\) per capire se siano o meno punti di estremo globale e si determinano così gli estremi globali.

Esempio 5: ricerca di massimi e minimi

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = x \; e^{-x^2}, {\rm ~~con~~} x \in [0,2] \]

Passo 1:

\[ f(0)=0,~~f(2)=2\; e^{-4} \]

Esempio 6: ricerca di massimi e minimi

Passo 2:

\[ f'(x) = e^{-x^2} + x \; e^{-x^2} \; (-2\:x) = e^{-x^2} \;(1 - 2\:x^2) \]

Abbiamo \(e^{-x^2} > 0, \forall x \in \R\), quindi:

\[ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow (1 - 2\:x^2)=0 \Longleftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Solo \(\frac{1}{\sqrt{2}} \in [0,2]\) e quindi abbiamo il punto stazionario \(x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Passo 3:

Studiamo il segno di \(f'\), vicino a \(x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Abbiamo \(f'(x) \ge 0\) per \(2\:x^2 \le 1\), ovvero per \(-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Si conclude quindi che:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} {\rm ~~è~un~punto~di ~massimo~locale~~~e~~~} f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \; e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2\: e}} {\rm ~~è ~un~massimo~locale} \]

Notiamo inoltre che:

\[ \lim_{x \rr 0^+} \frac{x \; e^{-x^2}}{x} = \lim_{x \rr 0^+} \frac{1 }{e^{x^2}} = 1 {\rm ~~~~~quindi~~~~~} f(x) \sim x {\rm ~~per~~} x \rr 0^+ \]

Esempio 7: ricerca di massimi e minimi

Passo 4:

\[ \frac{1}{\sqrt{2\: e}} > f(0) =0, ~~ \frac{1}{\sqrt{2\: e}} > f(2) = 2\:e^{-4} \]

Si conclude quindi che:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} {\rm ~~è~il~punto~di ~massimo~globale~(unico)~~~e~~~} 0 {\rm ~~è~il~punto~di~minimo~globale~(unico)} \]

\[ \frac{1}{\sqrt{2\: e}} {\rm ~~è~il~massimo~globale~~~e~~~} 0 {\rm ~~è~il~minimo~globale} \]

5.1 Passaggio dal discreto al continuo

Il passaggio “dal discreto al continuo” per le successioni (cioè dai numeri naturali ai reali) è un modo per avere a disposizione gli strumenti del calcolo differenziale

Esempio 8: dimostrazione di monotonia per successioni col passaggio al continuo

Consideriamo la successione

\[ a_n = \frac{\log n}{n}, {\rm ~~~~abbiamo~}~~a_n \ge 0, \forall n \in \N_{>0} {\rm ~~e~~} a_n \rr 0 {\rm ~~per~~} n \rr \ip \]

Per dimostrare che la successione è definitivamente monotona non crescente una strada è utilizzare la definizione e provare che:

\[ a_n \ge a_{n+1} ,~~~ \forall n \in \N_{>0} {\rm ~~~~~ovvero~~~~~~} \frac{\log n}{n} \ge \frac{\log (n+1)}{n+1},~~~ \forall n \in \N_{>0} \]

Poiché al crescere di \(n\) sia il numeratore che il denominatore crescono, non è facile provare questa disuguaglianza per via algebrica.

Effettuiamo il passaggio dal discreto al continuo e definiamo la funzione

\[ f(x) = \frac{\log x}{x},~~~ \forall x > 1 \]

Abbiamo

\[ f'(x) = \frac{1-\log x}{x^2} \le 0,~~~ \forall x \ge e \]

e segue che \(f\) è non crescente \(\forall x \ge e\). Di conseguenza la successione \(a_n\) è non crescente per \(n \ge 3\) (il primo numero naturale \(> e\)).

• Attenzione a non usare indiscriminatamente il passaggio dal discreto al continuo. Ad esempio non si può effettuare il passaggio per le successioni \(\frac{n!}{2^n}\) o \(\frac{n^2+(-1)^n \; n}{n^3+1}\) in quanto sono definite soltanto per i numeri naturali.