Studio di funzioni

Parte 4 · Derivate · Capitolo 9 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Grafico di funzioni reali di variabile reale

• Il calcolo infinitesimale e differenziale sviluppato fin qui ci permette di affrontare in modo completo il problema di tracciare il grafico di una funzione \(f\), ovvero effettuare lo studio di funzione.

I passi dello studio di funzione:

1. Determinare l'insieme di definizione o dominio (massimale) di \(f\).

2. Calcolare i limiti alla frontiera del dominio. Determinare eventuali asintoti orizzontali/verticali e punti di discontinuità. Studiare il segno della funzione e i punti in cui si annulla (possibile solo per funzioni relativamente semplici).

3. Se per \(x \rr \infty\) la funzione tende a \(\infty\), si determinano gli eventuali asintoti obliqui.

4. Calcolare la funzione derivata \(f'\) , nei punti in cui esiste. Studiare i punti in cui \(f\) è continua ma non derivabile e stabilirne la natura (punti angolosi, flessi a tangente verticale o cuspidi). In punti angolosi o agli estremi del dominio è utile il calcolo di derivate destre o sinistre che determinano la pendenza del grafico in quei punti.

5. Studiare il segno di \(f'\) (sul suo insieme di definizione), per ottenere le informazioni sulla monotonia di \(f\) e sui suoi punti di massimo e minimo relativi. Determinare quindi i punti di massimo e minimo assoluti.

Informazioni aggiuntive:

1. Può essere utile determinare una stima asintotica all'infinito che ci dica se la funzione tende a \(\infty\) in modo sopra o sottolineare o in modo lineare (e in tal caso può avere asintoto obliquo). La stima asintotica all'infinito dà normalmente anche un'informazione sulla concavità di \(f\) all'infinito.

2. Calcolare la funzione derivata seconda \(f''\) e studiarne il segno, per dedurne informazioni sulla concavità e i flessi di \(f\).

3. Determinare un'eventuale simmetria di \(f\) (funzioni pari o dispari) e restringere lo studio a \(x \ge 0\).

4. Determinare un'eventuale periodicità di \(f\) (funzioni periodiche) e restringere lo studio a un periodo.

2. Esempi

Esempio 1: Studio e grafico di funzione

Studiamo e tracciamo il grafico della funzione:

\[ f(x) = e^{-|x|} \; \sqrt{x^2-5\;x+6} \]

Ci aspettiamo un punto angoloso in \(x=0\) per la presenza di \(|x|\) e punti a tangente verticale dove si annulla il radicando.

Punto 1. Il dominio (massimale) di \(f\) è:

\[ x^2-5\;x+6 \ge 0,~~(x-3)(x-2)\ge 0 {\rm ~~~ovvero~~~} x \in (\im,2] \cup [3, \ip) \]

Punto 2. I limiti alla frontiera sono:

\[\begin{align*} \lim_{x \rr \ip} e^{-|x|} \; \sqrt{x^2-5\;x+6} &= \lim_{x \rr \ip} \frac{\sqrt{x^2-5\;x+6}}{e^x} = 0^+\\[2ex] \lim_{x \rr \im} e^{-|x|} \; \sqrt{x^2-5\;x+6} & = \lim_{x \rr \im} \sqrt{e^{2\:x} \big(\:x^2-5\;x+6 \big)} = \lim_{y \rr \ip} \sqrt{\frac{y^2+5\;y+6}{e^{2\:y}}} =0^+\\[2ex] \lim_{x \rr 3^+} e^{-|x|} \; \sqrt{x^2-5\;x+6} &= \lim_{x \rr 3^+} e^{-x} \; \sqrt{(x-3)(x-2)} = 0^+\\[2ex] \lim_{x \rr 2^-} e^{-|x|} \; \sqrt{x^2-5\;x+6} &= \lim_{x \rr 2^-} e^{-x} \; \sqrt{(x-3)(x-2)}= 0^+ \end{align*}\]

Quindi la retta \(y=0\) è asintoto orizzontale per \(x \rr \pm \infty\) e non ci sono asintoti verticali. Nel dominio non ci sono punti di discontinuità. Abbiamo \(f(x) \ge 0\) per ogni \(x\) nel dominio e \(f(x)=0\) per \(x=2\) e \(x=3\).

Punto 3. La funzione non ha asintoti obliqui.

Punto 4. Calcoliamo la funzione derivata per \(x \neq 0\):

\[\begin{align*} f'(x) &= e^{-|x|} \left(-\sgn(x) \; \sqrt{x^2-5\;x+6} + \frac{2\;x -5}{2\; \sqrt{x^2-5\;x+6}}\right)\\[2ex] &= \frac{e^{-|x|}}{2\; \sqrt{(x-3)(x-2)}} \bigg( -2\; \sgn(x) \; (x^2-5\;x+6) + 2\;x-5\bigg) \end{align*}\]

O in maniera equivalente:

\[ f'(x) = \begin{cases} \displaystyle e^{-x} \cdot \frac{ -2\;x^2+12\;x-17 }{2\; \sqrt{(x-3)(x-2)}} ~~ & {\rm ~~~se~~} x >0\\[3ex] \displaystyle e^{x} \cdot \frac{ 2\;x^2-8\;x+7 }{2\; \sqrt{(x-3)(x-2)}} ~~& {\rm ~~~se~~} x <0 \end{cases} \]

Esempio 2: Studio e grafico di funzione

Calcoliamo la derivata destra e sinistra in \(x=0\):

\[ f'_+(0)= \lim_{x \rr 0^+} \frac{e^{-x}\; ~~\big( -2\;x^2+12\;x-17 \big)}{2\; \sqrt{(x-3)(x-2)}} = -\frac{17}{2\; \sqrt{6}} \]

\[ f'_-(0)= \lim_{x \rr 0^-} \frac{e^{x}\; ~~\big( 2\;x^2-8\;x+7 \big)}{2\; \sqrt{(x-3)(x-2)}} = \frac{7}{2\; \sqrt{6}} \]

quindi \(x=0\) è un punto angoloso, ovvero \(f'(0)\) non esiste. Calcoliamo il limite destro in \(x=3\) e il limite sinistro \(x=2\) della funzione derivata:

\[ f'_+(3)= \lim_{x \rr 3^+} \frac{e^{-x} \; ~~\overbrace{\big( -2\;x^2+12\;x-17 \big)}^{\rr 1}}{2\; \sqrt{(x-3)(x-2)}} = \ip \]

\[ f'_-(2)= \lim_{x \rr 2^-} \frac{e^{-x}\; ~~\overbrace{\big( -2\;x^2+12\;x-17 \big)}^{\rr -1}}{2\; \sqrt{(x-3)(x-2)}} = \im \]

Quindi la funzione ha punti a tangente verticale in \(x=2\) e \(x=3\).

Punto 5. Studiamo il segno della funzione derivata:

• Per \(x>0\) abbiamo:

  \[ f'(x) \ge 0 {\rm ~~~~se~~~~} 2\;x^2-12\;x+17 \le 0, {\rm ~~~~ovvero~~~~} x \in \left[\underbrace{\frac{6-\sqrt{2}}{2}}_{\approx 2.3}, \underbrace{\frac{6+\sqrt{2}}{2}}_{\approx 3.7} \right] \]

  quindi:

  \[ f {\rm ~~è~decrescente~per~~} x \in [0,2] \cup \left[\frac{6+\sqrt{2}}{2},\ip \right], ~~~~~ f {\rm ~~è~crescente~per~~} x \in \left[3,\frac{6+\sqrt{2}}{2} \right] \]

  Abbiamo \(f'\left(\frac{6+\sqrt{2}}{2}\right) =0\) quindi, \(x=\frac{6+\sqrt{2}}{2}\) è punto di massimo relativo. Il massimo relativo è \(f\left(\frac{6+\sqrt{2}}{2}\right) \approx 0.027\)

• Per \(x<0\) abbiamo:

  \[ f'(x) \ge 0 {\rm ~~~~se~~~~} 2\;x^2-8\;x+7 \ge 0, {\rm ~~~~ovvero~se~~~} x \in \left[\im,\frac{4-\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{4+\sqrt{2}}{2},\ip\right] \]

  quindi \(f(x)\) è crescente per \(x<0\).

Possiamo dedurre che \(x = 0\) (in cui \(f\) non è derivabile) è punto di massimo assoluto; il massimo assoluto è \(\sqrt{6} \approx 2.44\).

Ci sono anche due punti di flesso, uno in \((0, 2)\) e uno in \(( 3, \ip)\) ottenibili con lo studio del segno della derivata seconda.

Esempio 3: Studio e grafico di funzione

Esempio 4: Studio e grafico di funzione

Studiamo e tracciamo il grafico della funzione:

\[ f(x) = x \cdot \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) \]

Punto 1. Il dominio (massimale) di \(f\) è:

\[ x \in \R \setminus \{1\} \]

Punto 2. I limiti alla frontiera sono:

\[ \lim_{x \rr \ip} x \cdot \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) = \ip \]

\[ \lim_{x \rr \im} x \cdot \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) = \im \]

\[ \frac{x+2}{x-1} \rr \ip {\rm ~~per~~} x \rr 1^+,~~~~{\rm quindi~~} \lim_{x \rr 1^+} x \; \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) = \ip \]

\[ \frac{x+2}{x-1} \rr \im {\rm ~~per~~} x \rr 1^-,~~~~{\rm quindi~~} \lim_{x \rr 1^-} x \; \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) = 0 \]

Quindi non ci sono asintoti orizzontali e \(x=1\) è un punto di discontinuità. Inoltre \(x=1\) è asintoto verticale per \(x \rr 1^+\). Abbiamo \(f(x) \ge 0\) per \(x \ge 0\) e \(f(x)=0\) per \(x=0\).

Punto 3. Calcoliamo una stima asintotica, abbiamo:

\[ \frac{x+2}{x-1} \rr 1 {\rm ~~per~~} x \rr \ip,\qquad \frac{x+2}{x-1} \rr 1 {\rm ~~per~~} x \rr \im \]

quindi

\[ x \cdot \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) \sim x \cdot e {\rm ~~~~per~~~~} x \rr \pm \infty {\rm ~~perciò~~} f {\rm ~~ha~crescita~lineare} \]

Verifichiamo quindi la presenza di asintoti obliqui. Cerchiamo di calcolare il seguente limite:

\[ \lim_{x \rr \pm \infty} \bigg( x \cdot \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) - x \; e \bigg) = \lim_{x \rr \pm \infty} x \cdot e \cdot \bigg( \exp \left(\frac{x+2}{x-1}-1\right) - 1 \bigg) \]

Abbiamo

\[ \frac{x+2}{x-1}-1 = \frac{3}{x-1} \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr \pm \infty \]

perciò

\[ \exp \left(\frac{x+2}{x-1}-1\right) - 1 \sim \frac{3}{x-1} {\rm ~~per~~} x \rr \pm \infty; ~~~~ x \cdot e \cdot \bigg( \exp \left(\frac{x+2}{x-1}-1\right) - 1 \bigg) \sim \frac{3\cdot x \cdot e}{x-1} {\rm ~~per~~} x \rr \pm \infty \]

di conseguenza:

\[ \lim_{x \rr \pm \infty} \bigg( x \cdot \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) - x \cdot e \bigg) = \lim_{x \rr \pm \infty} \frac{3\cdot x \cdot e}{x-1} = 3\cdot e \]

Quindi la funzione ha asintoto obliquo: \(y = e\;x +3\;e~\) per \(x \rr \pm \infty\).

Esempio 5: Studio e grafico di funzione

Punto 4. Calcoliamo la funzione derivata per \(x \neq 1\):

\[\begin{align*} f'(x) &= \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) \cdot \left( 1 + x \cdot \frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2} \right) = \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) \cdot \frac{ (x-1)^2- 3\;x }{(x-1)^2} \\[2ex] &= \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) \cdot \frac{ x^2 - 5\;x +1 }{(x-1)^2} \end{align*}\]

Per ogni \(x\neq 1\), \(f'\) è definita. Calcoliamo il limite sinistro in \(x=1\):

\[ f'_-(1)=\lim_{x \rr 1^-} \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) \cdot \frac{ x^2 - 5\;x +1 }{(x-1)^2} = 0 \]

l'esponenziale va a zero più rapidamente di \((x - 1)^2\); il grafico quindi arriva in \(x = 1\) con tangente orizzontale, da sinistra.

Punto 5. Studiamo il segno della funzione derivata:

\[ f'(x) \ge 0 {\rm ~~~~per~~~~} x^2 - 5\;x +1 \ge 0 {\rm ~~~~ovvero~~~~} x \in \left[\im,\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right] \cup \left[\frac{5+\sqrt{21}}{2},\ip\right] \]

quindi \(x=\frac{5+\sqrt{21}}{2}\) è punto di minimo relativo e \(x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\) di massimo relativo.

C'è un punto di flesso in \(\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}, 1\right)\) ottenibile con lo studio del segno della derivata seconda.

Esempio 6: Studio e grafico di funzione

Abbiamo \(f'_-(1)=0\) dato che:

\[ f'_-(1)=\lim_{x \rr 1^-} \exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right) \cdot \frac{ x^2 - 5\;x +1 }{(x-1)^2} = \lim_{x \rr 1^-} \frac{\exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right)}{(x-1)^2} \cdot \underbrace{(x^2 - 5\;x +1)}_{\rr -3 {\rm ~~per~~} x \rr 1^-} \]

facendo il cambio di variabile: \(y=\frac{x+2}{x-1}\), se \(x \rr 1^-\) allora \(y \rr \im\), inoltre:

\[ y=\frac{x+2}{x-1},~~~~ y=\frac{x-1+3}{x-1},~~~~ y=1+\frac{3}{x-1} {\rm ~~e~~} x=1+\frac{3}{y-1} \]

quindi abbiamo:

\[ \lim_{x \rr 1^-} \frac{\exp \left(\frac{x+2}{x-1}\right)}{(x-1)^2} = \lim_{y \rr \im} \frac{e^y}{\left(\frac{3}{y-1}\right)^2} = \frac{1}{9} \; \lim_{y \rr \im} e^y \cdot \underbrace{(y-1)^2}_{\sim y^2 {\rm ~~per~~} y \rr \im} \]

facendo un secondo cambio di variabile: \(z=-y\), se \(y \rr \im\) allora \(z \rr \ip\) e abbiamo

\[ \frac{1}{9} \; \lim_{y \rr \im} e^y \cdot y^2 = \frac{1}{9} \; \lim_{z \rr \ip} e^{-z} \cdot (-z)^2= \frac{1}{9} \; \lim_{z \rr \ip} \frac{z^2}{e^{z}} = 0 \]

per il teorema della gerarchia degli infiniti.