Funzioni iperboliche¶
Parte 2 · Funzioni · Capitolo 8 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo
1. Funzioni iperboliche¶
Definizione 1: funzione seno iperbolico e funzione coseno iperbolico
Le funzioni iperboliche:
\[\begin{align}
\label{seno_iper} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~~~ f: x \mapsto \sinH x =\frac{e^x-e^{-x}}{2} \\[2ex]
\label{coseno_iper}
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~~~ f: x \mapsto \cosH x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
\end{align}\]
si chiamano seno iperbolico e coseno iperbolico.
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Il seno iperbolico è una funzione dispari mentre il coseno iperbolico è una funzione pari. Abbiamo quindi:
\[ \sinH(-x)=-\sinH x, ~~~\forall x \in \R {\rm ~~~~e~~~~} \cosH(-x)=\cosH x, ~~~\forall x \in \R \] -
Abbiamo le relazioni fondamentali:
\[\begin{align} \cosH^2 x - \sinH^2 x = 1,~~~\forall x \in \mathbb{R} {\rm ~~~~~~~e~~~~~~~} \sinH x \le \frac{e^x}{2} \le \cosH x,~~~ \forall x \in \mathbb{R} \end{align}\]
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Per la positività e monotonicità della funzione seno iperbolico abbiamo:
\[ \sinH x = 0 \Longleftrightarrow x = 0 \qquad \begin{cases} \sinH x > 0 & {\rm se~~~} x >0 \\[3ex] \sinH x < 0 & {\rm se~~~} x <0 \end{cases} \]\[ f {\rm ~~è~crescente ~~~~} \forall x \in \R \] -
Per la positività e monotonicità della funzione coseno iperbolico abbiamo:
\[ \cosH x > 0,~~~~ \forall x \in \R \]\[ \begin{cases} {\rm se~~~} x < 0 & f {\rm ~~è~decrescente} \\[3ex] {\rm se~~~} x > 0 & f {\rm ~~è~crescente} \end{cases} \]
La funzione iperbolica:
\[\begin{align}
\label{tangente_iper} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~~~ f: x \mapsto \tanH x= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
\end{align}\]
si chiama tangente iperbolica ed è una funzione dispari.
2. Principali formule iperboliche¶
Addizione
\[\begin{align}
\sinH ( x_1 + x_2) &= \sinH x_1 \: \cosH x_2 + \sinH x_2 \: \cosH x_1\\[2ex]
\cosH ( x_1 + x_2) &= \cosH x_1 \: \cosH x_2 + \sinH x_1 \: \sinH x_2\\[2ex]
\tanH ( x_1 + x_2) &= \frac{\tanH x_1 + \tanH x_2}{1 + \tanH x_1 \: \tanH x_2}
\end{align}\]
Duplicazione
\[\begin{align}
\sinH ( 2 \: x) &= 2 \: \sinH x \: \cosH x\\[2ex]
\cosH ( 2 \: x) &= \cosH^2 x + \sinH^2 x
\end{align}\]