Funzioni composte

Parte 2 · Funzioni · Capitolo 10 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Funzioni composte

Definizione 1: di funzione composta

Date due funzioni:

\[ f: E \rightarrow \mathbb{R} {\rm~~~~e~~~~} g: F \rightarrow \mathbb{R}, \]

se \(f (E) \subseteq F\) (cioè se per ogni \(x \in E\) si ha che \(f ( x) \in F)\) si può definire la funzione \(h : E \rightarrow \mathbb{R}\) composta di \(f\) e \(g\) (nell'ordine), denotata col simbolo \(g \circ f\), mediante la formula

\[ h(x) = (g \circ f) (x) = g[f(x)] \]

• Lo schema di composizione è il seguente:

  

Esempio 1: di funzione composta

La funzione \(x \mapsto |f(x)|\) è in realtà “composta” di due funzioni:

1. dato \(x\), si calcola \(f(x)\)

2. calcolato \(f(x)\), si calcola \(|f(x)|\)

Si tratta di operare in serie con due scatole nere, la prima corrispondente a \(f\), la seconda al suo valore assoluto, secondo lo schema seguente:

• Può accadere che risultino ben definite sia la composizione \((g \circ f)\) che \((f \circ g)\) ma in generale

  \[ (f \circ g) \neq (g \circ f) \]

  In altre parole non vale la proprietà commutativa.

Esempio 2: di composizione di funzioni

Consideriamo le funzioni:

\[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f: x \mapsto x^2 {\rm ~~~~~e~~~~~} g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g: x \mapsto \cos x \]

ovvero \(f(x)= x^2\) e \(g(x)= \cos x\).

1. Poiché \(g\) è definita su tutto \(\mathbb{R}\), \(h = g \circ f\) è ben definita su \(\mathbb{R}\) e vale la formula

   \[ h(x) = (g \circ f) (x) = g[f(x)] = \cos x^2 \]

   

2. Poiché \(f\) è definita su tutto \(\mathbb{R}\), \(k = f \circ g\) è ben definita su \(\mathbb{R}\) e vale la formula

   \[ k(x) = (f \circ g) (x) = f[g(x)] = \cos^2 x \]

   

Esempio 3: di composizione di funzioni

Consideriamo le funzioni:

\[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f: x \mapsto e^x \qquad g: [0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad g: x \mapsto \sqrt{x} \]

ovvero \(f(x)= e^x\) e \(g(x)= \sqrt{x}\).

1. Poiché \(g\) è definita su \([0,+\infty)\) e \(f(x) > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), \(h = g \circ f\) è ben definita su \(\mathbb{R}\) e vale la formula

   \[ h(x) = (g \circ f) (x) = g[f(x)] = \sqrt{e^x} \]

   

2. Poiché \(g\) è definita solo su \([0,+\infty)\), \(k = f \circ g\) è ben definita solo su \(\mathbb{R}_+\) e vale la formula

   \[ k(x) = (f \circ g) (x) = f[g(x)] = e^{\sqrt{x}} \]

   

• L'operazione di composizione si può estendere a tre o più fattori. Si verifica che se la composizione \((f \circ g) \circ r\) esiste, allora esiste anche \(f \circ (g \circ r)\) e sono uguali

  \[ (f \circ g) \circ r = f \circ (g \circ r) \]

  In altre parole vale la proprietà associativa.

• Se una funzione \(f : D \rightarrow \mathbb{R}\) è tale che \(f ( D) \subseteq D\), allora si può comporre con sé stessa

  \[ f^2 = f \circ f {\rm~~ossia~~} f^2(x) = f[f(x)] \]

  \(f^2\) viene detta iterata seconda di \(f\). Analogamente, \(f^n\) si dice funzione iterata \(n\)-esima di \(f\).