Cuspidi, flessi e tangenti

Esercizi · Derivate · con le soluzioni svolte · PDF

Esercizio 1

Utilizzando la definizione di derivata, determinare il comportamento nell'origine della seguente funzione:

\[ f(x)=x^{\frac{4}{3}} \]

Soluzione

Sia

\[ f(x) = x^{\frac{4}{3}} \]

allora per \(x_0=0\)

\[ \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{ h^{4/3}}{h} = h^{1/3} \]

e i limiti sono:

\[ \lim_{h \rr 0^-} {h^{1/3}} = 0 {\rm ~~~e~~~}\lim_{h \rr 0^+} {h^{1/3}} = 0 {\rm ~~~~quindi~~~~} \lim_{h \rr 0} {h^{1/3}} = 0 {\rm ~~~e~~~}f'(0)= 0. \]

La funzione ha un punto a tangente orizzontale in \(x_0=0\). La funzione:

\[ f(h) = h^{\frac{1}{3}} \]

è una potenza a esponente razionale \(\frac{m}{n}\) positivo con \(n\) dispari (quindi definita su tutto \(\R\)) e \(m\) dispari (quindi funzione dispari). Il suo grafico è:

Esercizio 2

Utilizzando la definizione di derivata, determinare il comportamento nell'origine della seguente funzione:

\[ f(x)=x^{\frac{2}{3}} \]

Soluzione

Sia

\[ f(x) = x^{\frac{2}{3}} \]

allora per \(x_0=0\)

\[ \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{ h^{2/3}}{h} = \frac{ 1}{h^{1/3}} \]

e i limiti sono:

\[ \lim_{h \rr 0^-} \frac{ 1}{h^{1/3}} = \im {\rm ~~e~~}\lim_{h \rr 0^+} \frac{ 1}{h^{1/3}} = \ip {\rm ~~~~~quindi~~~~~} f'_-(0)= \im {\rm ~~e~~}f'_+(0)= \ip \]

La funzione ha una cuspide in \(x_0=0\). La funzione:

\[ f(h) = h^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{h^{{1}/{3}}} \]

è una potenza a esponente razionale \(\frac{m}{n}\) negativo con \(n\) dispari (quindi definita su tutto \(\R\)) e \(m\) dispari (quindi funzione dispari). Il suo grafico è:

Esercizio 3

Utilizzando la definizione di derivata, determinare il comportamento nell'origine della seguente funzione:

\[ f(x)=x^{\frac{5}{2}} \]

Soluzione

Sia

\[ f(x) = x^{\frac{5}{2}} \]

allora per \(x_0=0\)

\[ \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{ h^{5/2}}{h} = h^{3/2} \]

e i limiti sono:

\[ \lim_{h \rr 0^+} {h^{3/2}} = 0. \]

La funzione ha un punto a tangente orizzontale in \(x_0=0\). La funzione:

\[ f(h) = h^{\frac{3}{2}} \]

è una potenza a esponente razionale \(\frac{m}{n}\) positivo con \(n\) pari (quindi definita solo su \(\R_+\)). Il suo grafico è:

Esercizio 4

Utilizzando la definizione di derivata, determinare il comportamento nell'origine della seguente funzione:

\[ f(x)=x^{\frac{3}{2}} \]

Soluzione

Sia

\[ f(x) = x^{\frac{3}{2}} \]

allora per \(x_0=0\)

\[ \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{ h^{3/2}}{h} = h^{1/2} \]

e i limiti sono:

\[ \lim_{h \rr 0^+} {h^{1/2}} = 0. \]

La funzione ha un punto a tangente orizzontale in \(x_0=0\). La funzione:

\[ f(h) = h^{\frac{1}{2}} \]

è una potenza a esponente razionale \(\frac{m}{n}\) positivo con \(n\) pari (quindi definita solo su \(\R_+\)). Il suo grafico è: