Funzioni inverse¶
Parte 2 · Funzioni · Capitolo 11 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo
1. Funzioni invertibili e funzioni inverse¶
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Data una funzione reale di variabile reale \(f : D \rightarrow \mathbb{R}\), per ogni ingresso \(x\) nel dominio \(D\) esiste un'unica uscita \(y=f(x)\) nell'immagine del dominio \(f(D)\).
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Se anche per ogni uscita \(y = f(x) \in f(D)\) esiste un unico ingresso \(x \in D\), allora \(f\) si dice invertibile, e realizza una corrispondenza biunivoca tra il dominio \(D\) di \(f\) e l'immagine del dominio \(f(D)\).
Definizione 1: di funzione invertibile
Una funzione \(f : D \rightarrow \mathbb{R}\) è invertibile nel dominio \(D\) se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:
ovvero se \(f\) è iniettiva.
ATTENZIONE: la definizione di funzione invertibile data qui per funzioni reali di variabile reale è diversa dalla solita data per funzioni tra insiemi qualsiasi, che richiede anche la suriettività. In questo caso basta l'iniettività perché definiamo l'inversa sull'immagine di \(f\) e non su tutto il suo codominio.
Definizione 2: di funzione inversa
Data una funzione invertibile \(f : D \rightarrow \mathbb{R}\), la funzione che associa a ogni uscita \(y \in f(D)\) l'unico ingresso \(x \in D\) tale che \(f(x) = y\) si chiama funzione inversa di \(f\) e si indica con il simbolo \(f^{-1}\).
La coppia \(f\) e \(f^{-1}\) si indica:
La scatola nera di \(f^{-1}\) lavora a ritroso rispetto a quella di \(f\), secondo il seguente schema:
La condizione di invertibilità equivale a richiedere che il grafico di \(f\) sia intersecato al massimo in un punto da ogni retta parallela all'asse delle ascisse.
Esempio 1: grafico di funzione invertibile
Grafico di funzione invertibile in \([a,b]\) in quanto ogni retta parallela all'asse delle ascisse o non interseca il grafico di \(f\) o lo interseca esattamente in un punto.
Esempio 2: grafico di funzione non invertibile
Grafico di funzione non invertibile in \([a,b]\) in quanto per il valore di \(\tilde{y}\) indicato esistono più valori \(x\) (precisamente \(x_1\) , \(x_2\) e \(x_3\)) che hanno immagine \(\tilde{y}\).
Teorema 1
Se una funzione \(f : D \rightarrow \mathbb{R}\) è strettamente crescente (decrescente) in \(D\) allora è invertibile in \(D\). Inoltre, la sua funzione inversa è strettamente crescente (decrescente).
Per il caso strettamente crescente, graficamente abbiamo:
Dimostrazione
Consideriamo il caso di una funzione strettamente crescente in \(D\) e due generici valori \(x_1, x_2 \in D\) (il caso strettamente decrescente è analogo).
Se \(x_1 \neq x_2\), allora o \(x_1 < x_2\), oppure \(x_1 > x_2\). Dato che \(f\) è strettamente crescente abbiamo:
In entrambi i casi \(f(x_1) \neq f(x_2)\), perciò \(f\) è invertibile.
Consideriamo la funzione inversa \(f^{-1}\), ovvero \(x = f^{-1} (y)\), e proviamo che sia strettamente crescente. Consideriamo due generici valori \(y_1, y_2 \in f(D)\), con \(y_1 < y_2\).
Se fosse \(f^{-1}(y_1) =x_1 \ge x_2= f^{-1}(y_2)\), poiché \(f\) è strettamente crescente avremmo \(y_1 = f(x_1) \ge f(x_2) =y_2\), ovvero \(y_1 \ge y_2\). Questo caso non può accadere visto che contraddice \(y_1 < y_2\) (assurdo).
Di conseguenza abbiamo \(f^{-1}(y_1) =x_1 < x_2= f^{-1}(y_2)\), ovvero \(f^{-1} (y_1) < f^{-1}(y_2)\), e quindi \(f^{-1}\) è strettamente crescente. □
Una funzione può però essere invertibile anche senza essere strettamente crescente o decrescente.
Esempio 3: funzione invertibile ma non strettamente crescente né decrescente
Ad esempio la seguente funzione definita a tratti è invertibile:
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Due classi di funzioni che sicuramente non risultano invertibili sono:
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le funzioni simmetriche pari, dato che:
\[ f(-x) = f (x) \] -
le funzioni periodiche, dato che:
\[ f(x + T) =f(x) \]
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1.1 Grafico della funzione inversa¶
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Le relazioni tra una funzione invertibile \(f\) e la sua funzione inversa \(f^{-1}\):
\[\begin{equation*} f: \begin{cases} y = f(x)\\ x \in D \end{cases} ~~~~~~~~ f^{-1}: \begin{cases} x = f^{-1}(y)\\ y \in f(D) \end{cases} \end{equation*}\]indicano che se il punto \((x_0, y_0)\) è sul grafico di \(f\) allora il punto \((y_0, x_0)\) è sul grafico di \(f^{-1}\).
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Essendo i punti \((x_0, y_0)\) e \((y_0, x_0)\) simmetrici rispetto alla bisettrice di equazione \(y = x\), il grafico di \(f^{-1}\) si ricava da quello di \(f\) per simmetria rispetto alla bisettrice.
Se è nota l'espressione analitica di \(f\), ed è invertibile, l'espressione analitica di \(f^{-1}\) si trova cercando di risolvere rispetto a \(x\) l'equazione:
Attenzione che non è sempre possibile trovarla anche nei casi in cui la funzione inversa esiste!
Dati \(a,b \in \R, a \neq 0\), abbiamo :
Esempio 4: funzione inversa di una funzione affine
La funzione \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2 \: x +3\) è strettamente crescente quindi invertibile su \(\mathbb{R}\) e l'equazione
dà per \(f^{-1}\) l'espressione analitica:
ovvero la funzione: \(f^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto \frac{y-3}{2}\).
I grafici \(y=2 \: x +3\) e \(y=\frac{x-3}{2}\) sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y = x\)
Abbiamo:
Esempio 5: funzione inversa di \(f(x)=x^2\)
La funzione \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2\) è strettamente crescente nell'intervallo \([0,+\infty)\) quindi invertibile, l'equazione
dà per \(f^{-1}\) l'espressione analitica
ovvero la funzione: \(f^{-1}: [0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto \sqrt{y}\).
I grafici \(y=x^2\) e \(y=\sqrt{x}\) sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y = x\)
Dato \(a \in \R_+, a \neq 1\), abbiamo :
Esempio 6: funzione inversa di \(f(x)=e^x\)
La funzione \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto e^x\) è strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\) e quindi invertibile, l'equazione
dà per \(f^{-1}\) l'espressione analitica
ovvero la funzione: \(f^{-1}: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto \log{y}\).
I grafici \(y=e^x\) e \(y=\log {x}\) sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y = x\)
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Consideriamo ora la funzione:
\[ f(x)= x + e^x \]Essendo somma di due funzioni strettamente crescenti in tutto \(\mathbb{R}\), \(f(x)\) è strettamente crescente e quindi invertibile su tutto \(\mathbb{R}\) (vedere Teorema Teorema 1). Tuttavia, cercheremmo inutilmente di risolvere rispetto a \(x\) l'equazione \(x + e^x = y\). In altre parole, \(f^{-1}\) esiste, ma non si sa scrivere esplicitamente.
1.2 Le funzioni potenze inverse¶
Dato \(\alpha \in \mathbb{R},\alpha \neq 0\), abbiamo :
Se \(\alpha > 0\) abbiamo:
Se \(\alpha=\frac{m}{n} \in \Q\), \(m \in \Z, n \in \N_+\) dispari e coprimi, abbiamo:
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Le potenze pari:
\[ x^{2\:n} {\rm~~~~con~} n = 1, 2, \dots \]non sono invertibili su tutta la retta, ma solo sulla semiretta \(x \ge 0\).
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Le potenze dispari:
\[ x^{2\:n+1} {\rm~~~~con~} n = 1, 2, \dots \]e le potenze a esponente razionale
\[ x^{\frac{m}{n}} {\rm~~con~~} n,m {\rm~~interi ~positivi~e~dispari} \]essendo monotone strettamente crescenti sono invertibili da \(-\infty\) a \(+\infty\).
1.3 Le funzioni trigonometriche inverse¶
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Essendo periodiche, le funzioni trigonometriche non possono essere invertibili. Infatti, per esempio, l'equazione
\[ y = \sin x \]ha infinite soluzioni se \(- 1 \le y \le 1\) (l'uscita \(y\) corrisponde a infiniti ingressi) oppure non ha soluzioni reali se \(|y| > 1\).
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Per parlare di funzioni inverse di seno, coseno e tangente occorrerà restringersi a intervalli nei quali queste funzioni siano strettamente monotone e perciò invertibili.
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Un intervallo nel quale la funzione seno è invertibile è \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
Definizione 3: di arcoseno
La funzione inversa del seno nell'intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) è l'arcoseno:
Abbiamo:
- Il grafico dell'arcoseno si ottiene dall'arco di sinusoide del seno ristretto all'intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) (strettamente monotono), per simmetria rispetto alla bisettrice \(y = x\),
- Un intervallo nel quale la funzione coseno è invertibile è \([0,\pi]\).
Definizione 4: di arcocoseno
La funzione inversa del coseno nell'intervallo \([0,\pi]\) è l'arcocoseno:
Abbiamo:
- Il grafico dell'arcocoseno si ottiene dall'arco di sinusoide del coseno ristretto all'intervallo \([0,\pi]\) (strettamente monotono), per simmetria rispetto alla bisettrice \(y = x\),
- Osserviamo che nell'intervallo \(( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) la tangente è strettamente monotona e quindi invertibile. La funzione inversa si chiama arcotangente (\(\arctan\)), ed è definita in \(\mathbb{R}\).
Definizione 5: di arcotangente
La funzione inversa della tangente nell'intervallo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) è l'arcotangente:
Abbiamo:
- Il grafico dell'arcotangente si ottiene da quello della tangente ristretto all'intervallo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) (strettamente monotono), per simmetria rispetto alla bisettrice \(y = x\),
- Per mezzo delle funzioni trigonometriche inverse, possiamo esprimere le soluzioni di un'equazione o disequazione trigonometrica, quando questa coinvolge angoli non notevoli.
Esempio 7: Equazioni/disequazioni trigonometriche
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Le soluzioni di:
\[ \sin x = \frac{1}{4} \]sono:
\[ (i) ~~~~~~ x = \arcsin \frac{1}{4} + 2\: k \: \pi; ~~~~~~(ii) ~~~~~~ x = \pi - \arcsin \frac{1}{4} + 2\: k \: \pi \qquad (k \in \mathbb{Z}) \]
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Le soluzioni di:
\[ \cos x < \frac{1}{5} \]sono:
\[ \arccos \frac{1}{5} + 2\: k \: \pi ~~<~~ x ~~<~~ 2 \: \pi - \arccos \frac{1}{5} + 2\: k \: \pi \qquad (k \in \mathbb{Z}) \]
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Le soluzioni di:
\[ \tan x \ge 3 \]sono:
\[ \arctan \:3 + k \: \pi ~~\le~~ x ~~<~~ \frac{\pi}{2} + k \: \pi \qquad (k \in \mathbb{Z}) \]
1.4 Le funzioni iperboliche inverse¶
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Consideriamo la funzione seno iperbolico:
\[ y =\sinH x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]È definita e strettamente crescente in tutto \(\mathbb{R}\), perciò è invertibile.
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Per risolvere l'equazione rispetto alla \(x\), moltiplicando ambo i membri per \(e^x\) otteniamo:
\[\begin{align*} 0 & = e^x \: y - e^x \: \frac{e^x - e^{-x}}{2}\\[2ex] & = 2\: e^x \: y - (e^x \: e^x - \underbrace{e^x \: e^{-x}}_{=e^{x-x}=e^0})\\[2ex] & = 2\:y\: e^x - e^{2\:x} + 1 \\[2ex] & = e^{2\:x} - 2\: y \:e^x -1 \end{align*}\]che è un'equazione di secondo grado nell'incognita \(e^x\). Ponendo \(t=e^x\) otteniamo
\[ 0 = t^{2} - 2\: y \: t -1 \]Ricaviamo:
\[ t = y \pm \sqrt{y^2+1} {\rm~~~~~e~risostituendo~~~~~} e^x = y \pm \sqrt{y^2+1} \]poiché \(e^x > 0\), la soluzione col segno meno va scartata. Rimane dunque:
\[ e^x = \underbrace{y + \sqrt{y^2+1}}_{>0, \forall y \in \R} {\rm~~~~e~quindi~~~~} x = \log \left(y + \sqrt{y^2+1}\right) \] -
Questa è l'espressione analitica della funzione inversa di \(\sinH x\), che prende il nome di settore seno iperbolico, e si indica anche con \(\setsinH\). È definita per ogni \(y\) reale.
Definizione 6: di settore seno iperbolico
La funzione inversa del seno iperbolico è il settore seno iperbolico:
Abbiamo:
- Il grafico del settore seno iperbolico si ottiene da quello del seno iperbolico su \(\mathbb{R}\) (strettamente monotono), per simmetria rispetto alla bisettrice \(y = x\)
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Consideriamo la funzione coseno iperbolico:
\[ y =\cosH x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]È definita in tutto \(\mathbb{R}\), strettamente crescente per \(x \ge 0\), decrescente per \(x \le 0\). Perciò non è invertibile su tutto \(\mathbb{R}\).
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La sua restrizione a \(x \ge 0\) però lo è. Vogliamo determinare l'espressione analitica della funzione inversa di questa restrizione.
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Procedendo come prima, otteniamo:
\[ e^x = y \pm \sqrt{y^2-1} \] -
Questa volta entrambi i numeri \(y \pm \sqrt{y^2-1}\) sono positivi; ricordiamo però che stiamo ragionando solo per \(x \ge 0\), che equivale a scegliere il segno più. Pertanto:
\[ x = \log \left(y + \sqrt{y^2-1}\right) \]Questa è l'espressione analitica della funzione inversa di \(\cosH x\), che prende il nome di settore coseno iperbolico, e si indica anche con \(\setcosH\). Si noti che è definita per \(y \ge 1\).
Definizione 7: di settore coseno iperbolico
La funzione inversa del coseno iperbolico nell'intervallo \([0,+\infty)\) è il settore coseno iperbolico:
Abbiamo:
- Il grafico del settore coseno iperbolico si ottiene da quello del coseno iperbolico su \([0,+\infty)\) (strettamente monotono), per simmetria rispetto alla bisettrice \(y = x\).
Esempio 8: Equazioni iperboliche
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L'equazione:
\[ \sinH x = 2 \]ha l'unica soluzione:
\[ x = \setsinH 2 = \log (2 + \sqrt{5}) \] -
L'equazione:
\[ \cosH x = 3 \]ha due soluzioni:
\[ x = \pm \setcosH 3 = \pm \log(3 + 2\:\sqrt{2}) \]
