Derivata seconda

Parte 4 · Derivate · Capitolo 7 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Derivata seconda e funzione derivata seconda

• Possiamo ora chiederci se la funzione \(f' (x)\) sia a sua volta derivabile (in un punto o in un intervallo).

Definizione 1: di derivata seconda

Sia \(f: (a, b) \rr \R\), \(x_0 \in (a, b)\) e \(f':(x_0-\delta, x_0+\delta) \rr \R\) con \(\delta >0\), \(f\) si dice derivabile due volte in \(x_0\) se esiste finito

\[ \lim_{h \rr 0} \frac{f'(x_0 + h) - f'(x_0)}{h} \]

tale limite prende il nome di derivata seconda di \(f\) in \(x_0\).

• Per indicare la funzione derivata seconda si usano le seguenti notazioni:

  \[ \underbrace{f''(x_0)}_{{\rm notazione~di~Lagrange}} \qquad \underbrace{\ddot{f}(x_0)}_{{\rm notazione~di~Newton}} \qquad \underbrace{\frac{d^2f}{dx^2}\bigg\vert _{x=x_0} {\rm~~~~e~~~~~~} \frac{d^2y}{dx^2}\bigg\vert _{x=x_0}}_{{\rm notazione~di~Leibniz}} \]

Definizione 2: di funzione derivata seconda

Se una funzione derivata \(f'\) è derivabile in ogni punto dell'intervallo \((a, b)\), la funzione

\[ f'': (a,b) \rr \R ,~~ f'': x \mapsto f''(x) \]

si chiama funzione derivata seconda di \(f\).

• Per indicare la funzione derivata seconda si usano le seguenti notazioni:

  \[ \underbrace{f''(x)}_{{\rm notazione~di~Lagrange}} \qquad \underbrace{\ddot{f}(x)}_{{\rm notazione~di~Newton}} \qquad \underbrace{ \frac{d^2f}{dx^2} {\rm~~~~,~~~~~~} \frac{d^2f(x)}{dx^2} {\rm~~~~e~~~~~~} \frac{d^2y}{dx^2}}_{{\rm notazione~di~Leibniz}} \]

1.1 Funzione derivata di ordine \(n\)

• In modo del tutto analogo si definisce la derivata di ordine \(n\), o derivata \(n\)-esima, e la funzione derivata \(n\)-esima che sono indicate con i simboli:

  \[ \underbrace{f^{(n)}(x_0),~~~~f^{(n)}(x)}_{{\rm notazione~di~Lagrange}} \qquad \underbrace{\frac{d^nf}{dx^n}\bigg\vert _{x=x_0} {\rm~~e~~~~} \frac{d^ny}{dx^n}\bigg\vert _{x=x_0},~~~~ \frac{d^nf}{dx^n} {\rm~~~~,~~~~~~} \frac{d^nf(x)}{dx^n} {\rm~~e~~~~} \frac{d^ny}{dx^n}}_{{\rm notazione~di~Leibniz}} \]

1.2 Significato geometrico della derivata seconda

Se la derivata prima ha, come significato geometrico quello di pendenza del grafico, la derivata seconda rappresenta la velocità di variazione di tale pendenza e pertanto costituisce una misura del grado di scostamento del grafico dall'andamento rettilineo.

• Cominciamo considerando la famiglia di funzioni che soddisfano le condizioni:

  \[ f (0) = f' (0) = 0,~~ f'' (0) \ge 0 \]

  e la famiglia di semicirconferenze con centro sull'asse \(y\) tangente al grafico di \(f\) nell'origine

  \[ c_r(x) = r - \sqrt{r^2 - x^2},\qquad {\rm dove~~} {r > 0} {\rm ~~è~il ~raggio} \]

  Per ogni \(r \in \R_+\), abbiamo:

  \[ c'_r(0)=c_r(0)=0 {\rm ~~dato~che~~} c'_r(x) = \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \]

  Ad esempio la funzione \(f(x)= 1 -\cos x\) con \(f(0)=f'(0)=0\) e i cerchi con raggi \(r \in \{0.5,1,1.5\}\) sono:

  

• Tra queste semicirconferenze vogliamo selezionare quella che, non soltanto, ha la stessa tangente in \(x =0\) ma anche la stessa velocità di variazione della pendenza in \(x = 0\). Ovvero vogliamo scegliere \(r\) in modo che:

  \[\begin{equation} \label{XX} c_r''(0) = f''(0) \end{equation}\]

  Abbiamo:

  \[ c_r'(x) = \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} {\rm ~~~~e~~~~} c_r''(x) = \frac{r^2}{\left(r^2 - x^2\right)^{3/2}} \]

  quindi se vogliamo che sia soddisfatta la \(\eqref{XX}\) occorre scegliere \(r\) in modo che:

  \[\begin{equation} \label{YY} \underbrace{\frac{1}{r}}_{=c_r''(0)} = f''(0) \end{equation}\]

  La \(\eqref{YY}\) esprime il significato geometrico della derivata seconda in \(x=0\) per la famiglia di funzioni che soddisfano le condizioni \(f (0) = f' (0) = 0,~~ f'' (0) \ge 0\). Ovvero \(f'' (0)\) rappresenta il reciproco del raggio della semicirconferenza che meglio approssima \(f\) in \(x = 0\).

• Riprendiamo la funzione \(f(x)= 1 -\cos x\), abbiamo

  \[ f'(x)=\sin x {\rm ~~~e~~~} f''(x)=\cos x \]

  quindi

  \[ f''(0)=1 {\rm ~~~e~~~} \frac{1}{r}=1 {\rm ~~quindi~~} r=1 \]

  

Ripetendo un'analoga costruzione in un punto generico \(\big(x,f(x)\big)\) del grafico di \(f\) (senza supporre a priori \(f(x) = f'(x) =0\)) si trova che il cerchio che meglio approssima il grafico della funzione nel punto ha raggio \(r(x)\) dato da:

\[\begin{equation} \label{ZZ} \frac{1}{r(x)} ~~=~~ \frac{|f''(x)|}{\left(1 + \big(f'(x)\big)^2\right)^{3/2}} \end{equation}\]

Il valore \(\frac{1}{r(x)}\) prende il nome di curvatura (del grafico) di \(f\) in \(x\) e il valore \(r(x)\) è il raggio di curvatura.

Esempio 1: raggio di curvatura e curvatura

Consideriamo la parabola (parametrica):

\[ f(x) = a\; x^2 {\rm ~~con~~} a \in \R {\rm ~~abbiamo~~} f'(x)=2\;a\;x {\rm ~~~~~~~e~~~~~~~} f''(x)=2\;a \]

e la seguente curvatura:

\[ \frac{1}{r(x)} ~~=~~ \frac{2\:|a|}{\left(1 + 4\;a^2 x^2\right)^{3/2}} \]

Si noti che la curvatura è massima per \(x =0\) cioè nel vertice.

Consideriamo ora la la parabola

\[ y = 2\; x^2 \]

e ci calcoliamo il raggio del cerchio \(r(x)\) che meglio approssima il grafico nel punto di ascissa \(x=0\) e \(x=\frac{1}{2}\). Abbiamo:

\[ \frac{1}{r(0)} ~~=~~ \frac{2\:|2|}{\left(1 + 4\;2^2 0^2\right)^{3/2}} ~~=~~ 4 ~~ {\rm ~~~~quindi~~~~} r(0) = \frac{1}{4} \]

\[ \frac{1}{r\left(\frac{1}{2}\right)} ~~=~~ \frac{2\:|2|}{\left(1 + 4\;2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} ~~=~~ \frac{4}{5^{3/2}} ~~\approx~~ 0.3577 ~~ {\rm ~~~~quindi~~~~} r\left(\frac{1}{2}\right) \approx 2.7950 \]

2. Derivata seconda, concavità e convessità

• Vedremo ora come rendere più preciso, qualitativamente e quantitativamente, questa idea di curvatura del grafico attraverso il concetto di convessità.

2.1 Insiemi convessi

Definizione 3: di insieme convesso

Un insieme \(F \subseteq \R^2\) (porzione dello spazio euclideo) è convesso se per ogni coppia di punti \(P_a,P_b \in F\) il segmento che congiunge \(P_a\) a \(P_b\) (chiamato corda) è interamente contenuto in \(F\).

Dati due punti \(P_a\) e \(P_b\) e un valore \(\lambda\) compreso tra 0 e 1, i.e., \(0\le \lambda \le 1\), il punto:

\[ P_c = \lambda\; P_a + (1-\lambda)\: P_b \]

si chiama combinazione (lineare) convessa dei punti \(P_a\) e \(P_b\). I punti \(P_c\) al variare di \(\lambda\) si muovono sul segmento che congiunge \(P_a\) a \(P_b\).

Definizione 4: di insieme convesso – definizione equivalente

Un insieme \(F \subseteq \R^2\) è convesso se:

\[ \forall P_a, P_b \in F,~~0\le \lambda \le 1,\qquad P_c=\lambda\; P_a + (1-\lambda)\: P_b \in F \]

Esempio 2: insieme convesso

Consideriamo ad esempio il seguente insieme convesso dato dall'intersezione di 4 semi-piani:

\(F = \big\{ ~~(x,y) \in \R^2:\)	\(x\)	+	\(y\)	\(\ge\)	3,	\(x\)	+	\(y\)	\(\le\)	9,
	-   \(x\)	+	\(y\)	\(\le\)	3,	-   \(x\)	+	\(y\)	\(\ge\)	-3   \(\big\}\)

Esempio 3: insieme non convesso

Consideriamo ora il seguente insieme:

L'insieme non è convesso in quanto ad esempio la combinazione convessa dei punti \((5,3)\) e \((3,5)\) con \(\lambda=\frac{1}{2}\), ovvero il punto:

\[ \left(~\frac{1}{2}\cdot 5 + \frac{1}{2}\cdot 3 ~~,~~ \frac{1}{2}\cdot 3 + \frac{1}{2}\cdot 5 ~\right) = (~4~~,~~4~) \]

non appartiene all'insieme.

2.2 Funzioni convesse/concave

Definizione 5: di epigrafo (o sopragrafico)

Consideriamo una funzione \(f: I \rr \R\). Si chiama epigrafico (o sopragrafico) di \(f\) l'insieme:

\[ \epi f = \big\{(x,y) \in \R^2:~~x\in I {\rm ~~e~~} y \ge f(x) \big\} \]

Esempio 4: epigrafo

Definizione 6: di funzione convessa (concava)

Una funzione \(f: I \rr \R\) è convessa in \(I\) se il suo epigrafo è un insieme convesso. Una funzione è concava in \(I\) se \(-f\) è convessa in \(I\).

Esempio 5: funzione convessa

Esempio 6: funzione concava

Definizione 7: di funzione convessa (concava) – definizione equivalente

Una funzione \(f: I \rr \R\) è convessa (concava) in \(I\) se per ogni coppia di punti \(x_1,x_2 \in I\) il segmento (“corda”) di estremi \(\big(x_1, f (x_1)\big)\), \(\big(x_2, f (x_2)\big)\) non ha punti sotto (sopra) il grafico di \(f\).

La definizione di funzione convessa si traduce nella disuguaglianza analitica:

\[ f\big(\lambda \; x_1 + (1-\lambda)\; x_2\big) \le \lambda \; f(x_1) + (1-\lambda)\; f(x_2), \qquad \forall x_1,x_2 \in I, 0\le \lambda \le 1 \]

• Se nella precedente disuguaglianza vale sempre il \(<\) (con \(\lambda \neq 0,1\)) la funzione si dice strettamente convessa. Per le funzioni concave (o strettamente concave) varrà una analoga disuguaglianza col verso \(\ge\) (o > ).

• Si osservi che al variare di \(0\le \lambda \le 1\): il punto \(\lambda \; x_1 + (1-\lambda)\; x_2\) percorre il segmento \([x_1,x_2]\) sull'asse \(x\); il punto \(\lambda \; f(x_1) + (1-\lambda)\; f(x_2)\) percorre il segmento \([f(x_1),f(x_2)]\) sull'asse \(y\); il punto:

  \[ \bigg(\lambda \; x_1 + (1-\lambda)\; x_2,~ f\big(\lambda \; x_1 + (1-\lambda)\; x_2\big) \bigg) \]

  percorre il grafico della funzione; il punto:

  \[ \big(\lambda \; x_1 + (1-\lambda)\; x_2,~ \lambda \; f(x_1) + (1-\lambda)\; f(x_2)\big) \]

  percorre il segmento di estremi \(\big(x_1,f(x_1)\big)\) e \(\big(x_2,f(x_2)\big)\).

Esempio 7: grafico di funzione convessa

Consideriamo la funzione convessa \(f(x) = (x-2)^2+1\) di dominio \(\left[\frac{1}{2},3\right]\) e prendiamo ad esempio l'intervallo \(x_1=1\) e \(x_2=\frac{5}{2}\) e \(\lambda= \frac{1}{3}\). Abbiamo la seguente combinazione (lineare) convessa:

\[ \left(~\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}~~,~~ \frac{1}{3}\cdot 2 + \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4} ~\right) = \left(~2~~,~~\frac{3}{2}~\right) \]

• Si noti che la definizione di funzione convessa non richiede a priori che la funzione sia continua o derivabile in un intervallo.

Teorema 1

Una funzione convessa (o concava) su un intervallo \(I\) è continua in \(I\) salvo al più negli estremi dell'intervallo. Inoltre possiede derivata destra e sinistra in ogni punto interno dell'intervallo.

Dimostrazione

Omessa □

• I punti angolosi all'interno dell'intervallo e punti di discontinuità agli estremi dell'intervallo sono i soli comportamenti irregolari permessi ad una funzione convessa o concava, come mostrato dai seguenti esempi:

3. Convessità e derivate

• Se sappiamo a priori che la funzione è derivabile una volta o due volte nell'intervallo considerato, allora la convessità è legata alla derivata prima e seconda della funzione.

Teorema 2

Sia \(f: (a, b) \rr \R\).

1. Se \(f\) è derivabile in \((a,b)\), allora \(f\) è convessa (concava) in \((a, b)\) se e solo se \(f'\) è crescente (decrescente) in \((a, b)\).

2. Se \(f\) è derivabile due volte in \((a,b)\), allora \(f\) è convessa (concava) in \((a, b)\) se e solo se:

   \[ f'' (x) \ge 0~~ (\le 0), ~~~\forall x \in (a, b) \]

• Il teorema si modifica in maniera ovvia per le funzioni strettamente convesse o concave.

Dimostrazione

Non dimostriamo il punto (a). Il punto (b) segue da (a) per il test di monotonia applicato ad \(f'\). □

Come conseguenza di questo teorema, lo studio del segno della derivata seconda ci permette di decidere della convessità o concavità di una funzione (controllare).

Esempio 8: convessità delle funzioni esponenziali

Le funzioni esponenziali

\[ f(x) = a^x \]

sono convesse in \(\R\), per qualunque base \(a >0, a \neq 1\) dato che:

\[ f'(x) = a^x \log a; ~~~~ f''(x) = a^x \log^2 a >0,~~~~ \forall x \in \R, \forall a >0, a \neq 1 \]

Esempio 9: convessità/concavità delle funzioni logaritmiche

Le funzioni logaritmiche

\[ f(x) = \log_a x \]

sono concave in \((0,\ip)\) se \(a >1\) e convesse in \((0,\ip)\) se \(0 < a < 1\), dato che:

\[ f'(x) = \frac{1}{x\; \log a}; ~~~~ f''(x) = - \frac{1}{x^2\; \log a} ~~ \begin{cases} < 0, ~ \forall x >0, & {\rm se}~~ a >1\\[2ex] > 0, ~ \forall x >0, & {\rm se}~~ 0 < a < 1 \end{cases} \]

Esempio 10: convessità/concavità delle funzioni potenza

Le funzioni potenza a esponente reale \(\alpha\):

\[ f(x) = x^{\alpha} \]

sono convesse in \((0,\ip)\) se \(\alpha >1\) oppure \(\alpha < 0\) e concave in \((0,\ip)\) se \(0 < \alpha < 1\), dato che:

\[ f'(x) = \alpha \; x^{\alpha-1}; ~~~~ f''(x) = \alpha \; (\alpha-1) x^{\alpha-2} \]

che ha, per ogni \(x >0\), il segno di \(\alpha \; (\alpha-1)\).

4. Convessità e rette tangenti

• Un'utile caratterizzazione geometrica della convessità coinvolge le rette tangenti al grafico della funzione

Teorema 3

Una funzione \(f: (a, b) \rr \R\), derivabile in \((a, b)\), è convessa (concava) in \((a, b)\) se e solo se comunque si scelga un punto \(x_0 \in (a, b)\) si ha che il grafico di \(f\) si mantiene in tutto \((a, b)\) sopra (sotto) il grafico della sua retta tangente in \(\big(x_0, f(x_0)\big)\).

Dimostrazione

Omessa □

Esempio 11: rette tangenti e grafici di funzioni convesse

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = e^x, ~~f'(x) = e^x, ~~f''(x) = e^x {\rm ~~~è~convessa~su~tutto~~~} \R \]

La retta tangente al grafico di \(f\) ad esempio in \(x = 0\), ovvero nel punto \((0,1)\) è:

\[ y = 1 + x {\rm ~~~~quindi~~~~} e^x \ge 1+x,~~ x \in \R \]

La retta tangente al grafico di \(f\) ad esempio in \(x = 1\), ovvero nel punto \((1,e)\) è:

\[ y = e + e\;(x-1) {\rm ~~~~quindi~~~~} e^x \ge e\:x,~~ x \in \R \]

Una funzione (derivabile) convessa sta sopra le proprie rette tangenti e contemporaneamente sta sotto le proprie corde (definizione di convessità).

• Questo permette di concludere che, presi due punti qualsiasi sul grafico di una funzione convessa, il grafico tra quei due punti cade tutto nel triangolo che ha per lati la corda che li unisce e le rette tangenti al grafico nei due punti.

Esempio 12: rette tangenti/corde e grafici di funzioni convesse

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = x^2, ~~f'(x) = 2\:x, ~~f''(x) = 2 {\rm ~~~è~convessa~su~tutto~~~} \R \]

Le tangenti al grafico di \(f\) ad esempio nei punti \(x_1 = -0.5\) e \(x_2 = 1\) sono:

\[ y = \frac{1}{4}-\left(x+\frac{1}{2}\right) {\rm ~~~~e~~~~} y = 1 + 2\: (x-1) \]

5. Punti di flesso

• Il verso della concavità di una funzione (ossia il fatto che sia convessa o concava) può cambiare, nel suo insieme di definizione; questo ci conduce al concetto di punto di flesso.

Definizione 8: di punto di flesso

Sia \(f : (a, b) \rr \R\) una funzione e \(x_0 \in (a, b)\) sia un punto di derivabilità per \(f\), oppure sia \(f' (x_0) = \pm \infty\). Il punto \(x_0\) si dice di flesso per \(f\) se esiste un intorno destro \((x_0, x_0 + h)\), \(h > 0\), in cui \(f\) è convessa (concava) e un intorno sinistro \((x_0 - h, x_0)\), \(h > 0\), in cui \(f\) è concava (convessa).

• Attraversando un punto di flesso, la derivata seconda di \(f\) (se esiste) cambia segno. Ci aspettiamo allora che in questo punto \(f''\) si annulli.

Teorema 4

Sia \(x_0\) un punto di flesso per \(f\); se esiste \(f'' ( x_0)\), allora \(f'' ( x_0) = 0\).

Dimostrazione

Notiamo che, se sapessimo che \(f''\) esiste in un intorno di \(x_0\) ed è continua in \(x_0\), allora la tesi del teorema seguirebbe dal teorema dei valori intermedi per le funzioni continue (applicato ad \(f''\)). Il teorema si può dimostrare anche senza queste ipotesi ulteriori (omessa). □

L'implicazione opposta a quella enunciata dal teorema non è vera, un punto in cui la derivata seconda si annulla può non essere di flesso.

Esempio 13: punti a derivata seconda nulla ma non di flesso

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = x^4, ~~f'(x) = 4\:x^3, ~~f''(x) = 12\;x^2 {\rm ~~~è~convessa~su~tutto~~~} \R \]

Poiché \(f' (x) >0\) per \(x > 0\), la funzione è crescente per \(x > 0\), decrescente per \(x < 0\) e ha un punto di minimo in \(x = 0\). Abbiamo \(f''(0)=0\), ma la funzione è convessa su tutto \(\R\) quindi \(x=0\) non è un punto di flesso.

• Il significato geometrico dei punti di flesso è chiarito dal seguente teorema.

Teorema 5

Se \(f : (a, b) \rr \R\) è derivabile in \((a, b)\) e \(x_0 \in (a, b)\) è un punto di flesso allora il grafico di \(f (x)\) attraversa la propria retta tangente in \(\big(x_0, f (x_0)\big)\).

Dimostrazione

Tracciamo la retta tangente al grafico di \(f(x)\) nel punto di ascissa \(x_0\). Se \(f\) è (ad esempio) concava in \((a, x_0)\), poiché \(f\) è derivabile, il grafico di \(f\) sta sotto la retta in \((a, x_0)\); d'altra parte \(f\) è convessa in \((x_0, b)\), perciò il suo grafico sta sopra la retta in \(( x_0, b)\). Di conseguenza in \(x_0\) il grafico attraversa la retta tangente. □

Esempio 14: punti di flesso (a tangente orizzontale)

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = x^3, ~~f'(x) = 3\:x^2, ~~f''(x) = 6\;x \]

Poiché \(f' (x) >0\) per \(x \neq 0\), la funzione è crescente su tutto \(\R\). Ha un punto stazionario per \(x = 0\), che non sarà però punto di massimo o minimo, perché la funzione è sempre crescente.

Abbiamo \(f''(0)=0\). Inoltre \(f''(x)<0\) per \(x < 0\) quindi è concava per \(x < 0\) e \(f''(x)>0\) per \(x > 0\) quindi è convessa per \(x > 0\). Di conseguenza il punto \(x_0\) è un punto di flesso a tangente orizzontale, e il grafico della funzione attraversa la propria retta tangente in \(\big(0, 0\big)\), ovvero la retta \(y =0\).

Esempio 15: punti di flesso

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = e^{-x^2}, ~~f'(x) = -2\;x\;e^{-x^2}, ~~f''(x) = \;e^{-x^2}\;(4\;x^2-2) \]

Abbiamo \(f' (x) > 0\) per \(x < 0\), quindi la funzione cresce per \(x \le 0\); e \(f' (x) < 0\) per \(x > 0\), quindi decresce per \(x \ge 0\) e inoltre \(f' (0) = 0\). Perciò ha un punto di massimo relativo in \(x = 0\).

Abbiamo:

\[ f''(x) = \;e^{-x^2}\;(4\;x^2-2)\ge 0 {\rm ~~per~~} x^2 \ge \frac{1}{2} {\rm ~~~ovvero~~~} x \in \left(\im,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt{2}}, \ip\right) \]

La funzione è convessa per questi valori, concava per \(-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}\). Ha quindi punti di flesso in \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\), con retta tangente di pendenza:

\[ f'\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\mp \sqrt{\frac{2}{e}} {\rm ~~~in~quanto~} -2\;\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\;e^{-\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \mp \sqrt{2} \cdot {\frac{1}{\sqrt{e}}} \]

Le rette tangenti sono:

\[ y= \frac{1}{\sqrt{e}} + \sqrt{\frac{2}{e}}\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) {\rm ~~~~e~~~~~} y= \frac{1}{\sqrt{e}} - \sqrt{\frac{2}{e}}\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]

Esempio 16: punti di flesso (a tangente verticale)

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = x^{1/3}, ~~f'(x) = \frac{1}{3\;x^{2/3}}, {\rm ~~ per~~} x >0, ~~f''(x) = -\frac{2}{9\;x^{5/3}}, {\rm ~~ per~~} x >0 \]

Per \(x_0=0\), abbiamo visto che \(f'(0)= \ip\). In questo caso però \(f''(0)\) non esiste e la funzione ha flesso a tangente verticale.

Esempio 17: punti di flesso (a tangente orizzontale)

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = x \; |x|, {\rm ~~con~~} x \neq 0,~~ f(x)=\left\{\begin{array}{lr} x^2, &x>0\\ \\ -x^2, & x < 0 \end{array}\right.

f'(x)=\left\{\begin{array}{lr} 2\;x, &x>0 \\
\\
-2\;x, & x< 0 \end{array}\right.

f''(x)=\left\{\begin{array}{lr} 2, &x>0 \\ \\ -2, & x< 0 \end{array}\right. \]

Quindi, per \(x>0\) la funzione è convessa e per \(x<0\) è concava e \(f'(0)=0\), quindi \(x_0\) è un punto di flesso (ma \(f''(0)\) non esiste).

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.