Ricerca di estremi e punti di estremo locali e globali

Esercizi · Derivate · con le soluzioni svolte · PDF

Esercizio 1

Calcolare tutti i punti di massimo e minimo (globali e locali) della funzione:

\[ f(x)= 5 +54x -2x^3 {\rm ~~~~~nell'intervallo~~} [0,4] \]

Soluzione

1. I valori della funzione agli estremi dell'intervallo sono: \(f(0)=5\) e \(f(4)=93\).

2. La funzione derivata è:

   \[ f'(x)=54-6\;x^2=-6\;(x^2-9)=-6\;(x+3)\;(x-3) \]

   Risolviamo l'equazione:

   \[ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow -6\;(x+3)\;(x-3)=0 \Longleftrightarrow x=\pm 3 \]
   \[ x_1 = 3 \in [0,4]~~~~ {\rm punto~stazionario} \]

3. Abbiamo \(f'(x) \ge 0\) per \(x \in [-3,3]\). Studiando il segno di \(f'\) vicino a \(x = 3\), si deduce che \(x=3\) è un punto di massimo locale e \(f(3)=113\) è un massimo locale.

4. Abbiamo:

   \[ f(3) = 113 > f(0) =5, ~~ f(3) = 113 > f(4) = 93 \]

   Si conclude quindi che:

   • \(f(0)=5\) è il minimo globale e \(x=0\) è punto di minimo globale

   • \(f(3)=113\) è il massimo globale e \(x=3\) è punto di massimo globale

   • \(f(4)=93\) è un minimo locale e \(x=4\) è punto di minimo locale

Esercizio 2

Calcolare tutti i punti di massimo e minimo (globali e locali) della funzione:

\[ f(x)= 2x^3 -3x^2-12x +1 {\rm ~~~~~nell'intervallo~~} [-2,3] \]

Soluzione

1. I valori della funzione agli estremi dell'intervallo sono: \(f(-2)=-3\) e \(f(3)=-8\).

2. La funzione derivata è:

   \[ f'(x)=6\;x^2-6\:x-12=6\;(x^2-x-2)=6\;(x+1)\;(x-2) \]

   Risolviamo l'equazione:

   \[ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow 6\;(x^2-x-2)=0 \Longleftrightarrow x=\frac{1\pm 3}{2} \]
   \[ x_1 = -1 \in [-2,3] {\rm ~~e~~} x_2 = 2 \in [-2,3] ~~~{\rm punti~stazionari} \]

3. Abbiamo \(f'(x) \ge 0\) per \(x \in (\im,-1] \cup [2,\ip)\). Studiando il segno di \(f'\) vicino a \(x = -1\), si deduce che \(x=-1\) è un punto di massimo locale e \(f(-1)=8\) è un massimo locale. Studiando il segno di \(f'\) vicino a \(x = 2\), si deduce che \(x=2\) è un punto di minimo locale e \(f(2)=-19\) è un minimo locale.

4. Abbiamo:

   \[ f(-1) = 8 > f(-2) =-3, ~~ f(-1) = 8 > f(3) = -8 \]
   \[ f(2) = -19 < f(-2) =-3, ~~ f(2) = -19 < f(3) = -8 \]

   Si conclude quindi che:

   • \(f(-2)=-3\) è un minimo locale e \(x=-2\) è punto di minimo locale

   • \(f(-1)=8\) è il massimo globale e \(x=-1\) è punto di massimo globale

   • \(f(2)=-19\) è il minimo globale e \(x=2\) è punto di minimo globale

   • \(f(3)=-8\) è un massimo locale e \(x=3\) è punto di massimo locale

Esercizio 3

Calcolare tutti i punti di massimo e minimo (globali e locali) della funzione:

\[ f(x)= x^3 - 6x^2 + 9x + 2 {\rm ~~~~~nell'intervallo~~} [-1,4] \]

Soluzione

1. I valori della funzione agli estremi dell'intervallo sono: \(f(-1)=-14\) e \(f(4)=6\).

2. La funzione derivata è:

   \[ f'(x)=3\;x^2-12\:x+9=3\;(x^2-4\:x+3)=3\;(x-3)\;(x-1) \]

   Risolviamo l'equazione:

   \[ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow 3\;(x^2-4\:x+3)=0 \Longleftrightarrow x=\frac{4\pm 2}{2} \]
   \[ x_1 = 1 \in [-1,4] {\rm ~~e~~} x_2 = 3 \in [-1,4] ~~~{\rm punti~stazionari} \]

3. Abbiamo \(f'(x) \ge 0\) per \(x \in (\im,1] \cup [3,\ip)\). Studiando il segno di \(f'\) vicino a \(x = 1\), si deduce che \(x=1\) è un punto di massimo locale e \(f(1)=6\) è un massimo locale. Studiando il segno di \(f'\) vicino a \(x = 3\), si deduce che \(x=3\) è un punto di minimo locale e \(f(3)=2\) è un minimo locale.

4. Abbiamo:

   \[ f(1) = 6 > f(-1) =-14, ~~ f(1) = 6 \ge f(4) = 6 \]
   \[ f(3) = 2 > f(-1) =-14, ~~ f(3) = 2 < f(4) = 6 \]

   Si conclude quindi che:

   • \(f(-1)=-14\) è il minimo globale e \(x=-1\) è punto di minimo globale

   • \(f(1)=6\) è il massimo globale e \(x=1\) è punto di massimo globale

   • \(f(3)=2\) è un minimo locale e \(x=3\) è punto di minimo locale

   • \(f(4)=6\) è il massimo globale e \(x=4\) è punto di massimo globale

Esercizio 4

Calcolare tutti i punti di massimo e minimo (globali e locali) della funzione:

\[ f(x)=x^4 - 2x^2 + 3 {\rm ~~~~~nell'intervallo~~} [-2,3] \]

Soluzione

1. I valori della funzione agli estremi dell'intervallo sono: \(f(-2)=11\) e \(f(3)=66\).

2. La funzione derivata è:

   \[ f'(x)=4\;x^3-4\:x=4\;x\;(x^2-1) \]

   Risolviamo l'equazione:

   \[ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow 4\;x\;(x^2-1)=0 \Longleftrightarrow x=\pm 1 {\rm ~~e~~} x=0 \]
   \[ x_1 = -1 \in [-2,3],~~x_2 = 0 \in [-2,3] {\rm ~~e~~} x_3 = 1 \in [-2,3] ~~~{\rm punti~stazionari} \]

3. Abbiamo \(f'(x) \ge 0\) per \(x \in [-1,0] \cup [1,\ip)\). Studiando il segno di \(f'\) vicino a \(x = -1\), si deduce che \(x=-1\) è un punto di minimo locale e \(f(-1)=2\) è un minimo locale. Studiando il segno di \(f'\) vicino a \(x = 0\), si deduce che \(x=0\) è un punto di massimo locale e \(f(0)=3\) è un massimo locale. Studiando il segno di \(f'\) vicino a \(x = 1\), si deduce che \(x=1\) è un punto di minimo locale e \(f(1)=2\) è un minimo locale.

4. Abbiamo:

   \[ f(-1) = 2 < f(-2) =11, ~~ f(-1) = 2 < f(3) = 66 \]
   \[ f(0) = 3 < f(-2) =11, ~~ f(0) = 3 < f(3) = 66 \]
   \[ f(1) = 2 < f(-2) =11, ~~ f(1) = 2 < f(3) = 66 \]

   Si conclude quindi che:

   • \(f(-2)=11\) è un massimo locale e \(x=-2\) è punto di massimo locale

   • \(f(-1)=2\) è il minimo globale e \(x=-1\) è punto di minimo globale

   • \(f(0)=3\) è un massimo locale e \(x=0\) è punto di massimo locale

   • \(f(1)=2\) è il minimo globale e \(x=1\) è punto di minimo globale

   • \(f(3)=66\) è il massimo globale e \(x=3\) è punto di massimo globale

Questi sono i grafici della funzione \(f(x)= 5 +54x -2x^3\) e della derivata nell'intervallo \([0,4]\):

Questi sono i grafici della funzione \(f(x)= 2x^3 -3x^2-12x +1\) e della derivata nell'intervallo \([-2,3]\):

Questi sono i grafici della funzione \(f(x)= x^3 - 6x^2 + 9x + 2\) e della derivata nell'intervallo \([-1,4]\):

Questi sono i grafici della funzione \(f(x)= x^4 - 2x^2 + 3\) e della derivata nell'intervallo \([-2,3]\):