Serie numeriche a termini di segno variabile

Parte 5 · Serie · Capitolo 3 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Serie a termini di segno variabile

Definizione 1: di serie assolutamente convergente

Una serie \(\sum a_k\) è assolutamente convergente se converge la serie \(\sum |a_k|\).

Teorema 1

Se una serie \(\sum a_k\) converge assolutamente allora converge.

Dimostrazione

Senza perdita di generalità, sia \(n_0=0\) e consideriamo la seguente serie:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \big(|a_k|-a_k \big) \]

È una serie a termini nonnegativi in quanto, per ogni \(k\in\mathbb N\), abbiamo:

\[ \begin{cases} |a_k|-a_k=-2a_k \ge 0 & {\rm se~~} a_k<0\\[2ex] |a_k|-a_k=0 & {\rm se~~} a_k \ge 0 \end{cases} \]

Inoltre per la disuguaglianza triangolare, per ogni \(k\in\mathbb N\), abbiamo:

\[ \underbrace{|a_k|-a_k}_{\ge 0}=\big||a_k|-a_k \big|\le |a_k|+|a_k|=2|a_k| \]

Dunque per il criterio del confronto tra serie a termini non negativi, abbiamo

\[ \sum_{k=0}^\infty |a_k| {\rm~~convergente~} \Longrightarrow \sum_{k=0}^\infty \big(|a_k|-a_k \big){\rm~~convergente~~} \]

Dato che per ogni \(k\in\mathbb N\) abbiamo \(a_k=|a_k|-\big(|a_k|-a_k\big)\) e che le serie \(\sum_{k=0}^\infty |a_k|\) e \(\sum_{k=0}^\infty (|a_k|-a_k)\) convergono, abbiamo:

\[ \sum_{k=0}^\infty a_k=\sum_{k=0}^\infty |a_k|-\sum_{k=0}^\infty \big(|a_k|-a_k\big) \]

ovvero che la serie è data dalla differenza di due serie convergenti. Di conseguenza anche la serie \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) è convergente. □

• La seguente è una dimostrazione alternativa.

Dimostrazione

Senza perdita di generalità, sia \(n_0=0\) e decomponiamo la successione \(\{s_n\}\) delle somme parziali in due successioni, la prima contenente solo i termini positivi e la seconda solo i termini negativi:

\[\begin{align*} s_n^+ = \sum_{\substack{k \in \{0,1,\dots,n\}:~ a_k> 0}} a_k {\rm ~~~~~e~~~~~} s_n^- = \sum_{k\in \{0,1,\dots,n\}:~ a_k< 0} -a_k {\rm ~~~~~quindi~~~~~} s_n = s_n^+ - s_n^- \end{align*}\]

Di conseguenza è sufficiente mostrare che le successioni \(\{s_n^+\}\) e \(\{s_n^-\}\) sono convergenti per concludere che \(\{s_n\}\) converge, e quindi che la serie \(\sum a_k\) converge.

Osserviamo che \(\{s_n^+\}\) e \(\{s_n^-\}\) sono successioni monotone non decrescenti e inoltre, per la disuguaglianza triangolare, abbiamo:

\[\begin{align*} s_n^+ \le \sum_{k=0}^{n} |a_k| {\rm ~~~~~e~~~~~} s_n^- \le \sum_{k=0}^{n} |a_k| \end{align*}\]

D'altro canto, per ipotesi la serie \(\sum a_k\) converge assolutamente, ossia \(\sum |a_k|\) converge, e quindi la quantità \(\sum_{k=0}^n |a_k|\) è limitata; perciò le successioni \(\{s_n^+\}\) e \(\{s_n^-\}\) sono superiormente limitate e non decrescenti, e pertanto convergono, per il teorema di monotonia delle successioni. □

Esempio 1: convergenza assoluta

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^{\alpha}} ~~~~~~ {\rm con~~~} \alpha > 1 \]

Abbiamo:

\[ \left| \frac{(-1)^k}{k^{\alpha}} \right| = \frac{1}{k^{\alpha}}, ~\forall k \in \N, k>1 {\rm ~~~~~~e~~~~~~} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}} {\rm ~~~è~convergente~per~~~} \alpha > 1 \]

Perciò la serie converge assolutamente e quindi converge.

La convergenza assoluta implica la convergenza ordinaria, detta anche convergenza semplice:

\[\begin{equation} \label{BBBB} \sum |a_k| {\rm ~convergente~~} ~~\Rightarrow~~ \sum a_k {\rm ~convergente~~} \end{equation}\]

ma il viceversa non è vero (daremo più avanti un controesempio):

\[\begin{equation} \label{LLLL} \sum a_k {\rm ~convergente~~} ~~\nRightarrow~~ \sum |a_k| {\rm ~convergente~~} \end{equation}\]

Quindi la convergenza assoluta è condizione sufficiente ma non necessaria alla convergenza ordinaria.

1.1 Serie a termini di segno alternato e criterio di Leibniz

• Tra le serie a termini di segno variabile, un caso particolarmente semplice è costituito dalle serie a segni alterni, per le quali vale il seguente criterio di convergenza.

Teorema 2: del criterio di Leibniz

Sia data la serie

\[ \sum_{k=n_0}^{\infty} (-1)^k \; a_k {\rm ~~~con~~~} a_k\ge 0, \forall k \]

Se la successione \(\{a_k\}\) è decrescente e \(a_k \rr 0\) per \(k \rr \ip\), allora la serie è convergente. Inoltre:

\[ s_{2n} = \sum_{k=n_0}^{2n} (-1)^k \; a_k \; \downarrow \; s {\rm ~~~~~~e~~~~~~} s_{2n+1} = \sum_{k=n_0}^{2n+1} (-1)^k \; a_k \; \uparrow \; s {\rm ~~~~~per~~} n \rr \ip \]

• Le somme parziali di indice pari approssimano la somma \(s\) per eccesso e quelle di indice dispari per difetto.

• Il criterio di Leibniz può chiaramente essere applicato anche se i termini sono definitivamente di segno alterno e la successione \(\{a_k\}\) è definitivamente decrescente.

Esempio 2: criterio di Leibniz

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \; \frac{1}{k} \]

La successione \(a_k = \frac{1}{k}\) è decrescente e non-negativa. Inoltre \(\frac{1}{k}\rr 0\) per \(k \rr \ip\) quindi rispetta le due condizioni del teorema del criterio di Leibniz. Di conseguenza, la serie è convergente.

La serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}\) converge ed è un controesempio di \(\eqref{LLLL}\), ovvero di serie che converge ma non converge assolutamente dato che:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} {\rm ~~~~~e~~~~~} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} {\rm ~~diverge~(serie~armonica)} \]

Dimostrazione

Consideriamo la successione delle somme parziali \(\{s_n\}\) con \(n_0=0\) e le due successioni, estratte da questa, \(\{ s_{2n}\}\), e \(\{s_{2n+1}\}\).

Per \(\{ s_{2n}\}\) abbiamo:

\[ s_0=a_0,~~~ s_2= s_0 - a_1 + \underbrace{a_2}_{\le a_1} \le s_0,~~~s_4= s_2 - a_3 + \underbrace{a_4}_{\le a_3} \le s_2, ~~~\dots \]

quindi la successione \(\{ s_{2n}\}\) è monotona decrescente.

Per \(\{ s_{2n+1}\}\) abbiamo:

\[ s_1=a_0-a_1,~~~ s_3= s_1 + a_2 - \underbrace{a_3}_{\le a_2} \ge s_1,~~~s_5= s_3 + a_4 - \underbrace{a_5}_{\le a_4} \ge s_3, ~~~\dots \]

quindi la successione \(\{s_{2n+1}\}\) è monotona crescente.

Inoltre abbiamo:

\[ s_1\le s_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1} \le s_{2n} \le s_0 \]

perciò \(\{s_{2n+1}\}\) è superiormente limitata e \(\{ s_{2n}\}\) è inferiormente limitata. Le due successioni sono quindi convergenti, per il teorema di monotonia delle successioni.

Le due successioni convergono allo stesso limite, perché

\[ 0 \le s_{2n} - s_{2n+1} \le a_{2n+1} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

Chiamato \(s\) questo limite, dato che \(\{ s_{2n}\}\) è monotona decrescente e \(\{ s_{2n+1}\}\) è monotona crescente abbiamo:

\[ s_{2n} = \sum_{k=n_0}^{2n} (-1)^k \; a_k \; \downarrow \; s {\rm ~~~~~~e~~~~~~} s_{2n+1} = \sum_{k=n_0}^{2n+1} (-1)^k \; a_k \; \uparrow \; s {\rm ~~~~~per~~} n \rr \ip \]

Quindi la serie è convergente dato che \(s_{2n+1} \rr s~\) e \(s_{2n} \rr s~\) per \(n \rr \ip\) e di conseguenza abbiamo:

\[ s_n \rr s {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

□

Corollario 1: del teorema del criterio di Leibniz

Data una serie che rispetta le ipotesi del teorema del criterio di Leibniz, abbiamo:

\[ \underbrace{ |s-s_{m}|}_{=\left| \sum_{k=m+1}^{\infty} (-1)^k \; a_k \right|} \le a_{m+1}, ~~~\forall m \in \N \]

• Per ogni \(m\), l'errore che si commette approssimando \(s\) con \(s_m\) è, in valore assoluto, maggiorato dal valore del primo termine omesso. In altre parole, la coda della serie tende a un valore minore o uguale a \(a_{m+1}\).

Dimostrazione

Poiché

\[ s_{2n+1} \; \uparrow \; s {\rm ~~~~~~e~~~~~~} s_{2n} \; \downarrow \; s {\rm ~~~per~~} n \rr \ip \]

abbiamo quindi per ogni \(n \in \N\):

\[ s_{2n-1} \le s \le s_{2n} {\rm ~~~~~~e~~~~~~} s_{2n+1} \le s \le s_{2n} \]

da cui si deduce

\[ 0 \le s - s_{2n-1} \le s_{2n} - s_{2n-1} = a_{2n} {\rm ~~~~~~e~~~~~~} 0 \le s_{2n} - s \le s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1} \]

Perciò per ogni \(m\), sia pari che dispari, si ha:

\[ |s-s_{m}|=\left| \sum_{k=m+1}^{\infty} (-1)^k \; a_k \right| \le a_{m+1} \]

□

Esempio 3: criterio di Leibniz

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \; \frac{k-1 }{k^2+k} \]

Abbiamo:

\[ a_k=\frac{k-1 }{k^2+k} = \frac{k-1 }{k\;(k+1)} \ge 0, \forall k \in \N, k \ge 1 \qquad{\rm e}\qquad \frac{k-1 }{k\;(k+1)} \sim \frac{1}{k} \rr 0 {\rm ~~per~~} k \rr \ip \]

quindi la serie non converge assolutamente. La serie però è decrescente per \(k \ge 2\) dato che:

\[ \underbrace{\frac{k}{(k+1)(k+2)}}_{= a_{k+1}} \le \underbrace{\frac{k-1 }{k\;(k+1)}}_{= a_k} \Longleftrightarrow k^2 \le k^2 + k -2 \Longleftrightarrow k \ge 2 \]

quindi la serie converge per il criterio di Leibniz dato che è decrescente definitivamente.

Esempio 4: criterio di Leibniz

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \; \frac{\log k}{k} \]

Abbiamo:

\[ a_k= \frac{\log k}{k} \ge 0, \forall k \ge 2 {\rm ~~~~~e~~~~~} \frac{\log k}{k} \rr 0 {\rm ~~per~~} k \rr \ip \]

inoltre

\[ \frac{\log k}{k} > \frac{1}{k} {\rm ~~~per~~} k \ge 3 {\rm ~~~~~e~~~~~} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} {\rm ~~~~diverge} \]

quindi la serie non converge assolutamente. Dimostrare che la successione \(\{a_k\}\) è decrescente per via algebrica è complicato, eseguiamo invece il passaggio dal discreto al continuo. Abbiamo, per \(x \in \R\) e \(x \ge 2\):

\[ f(x) = \frac{\log x}{x} {\rm ~~~~e~~~~} f'(x) = \frac{1-\log x}{x^2} \le 0 {\rm ~~~per~~~} x \ge e \]

Ne segue che \(f\) è decrescente per \(x \ge e\); di conseguenza la successione \(a_k = f ( k)\) è decrescente per \(k \ge 3\) (il primo intero \(> e\)). Quindi la serie converge per il criterio di Leibniz.

\[ {\rm se~~} \sum a_k {\rm ~converge~~~e~~~~} \sum b_k {\rm ~converge~~~~~allora~~} \sum (a_k+b_k) {\rm ~converge} \]

\[ {\rm se~~} \sum a_k {\rm ~converge~~~e~~~~} \sum b_k {\rm ~diverge~~~~~allora~~} \sum (a_k+b_k) {\rm ~diverge} \]

si verifica vedendo la serie come limite della successione delle somme parziali, e applicando il teorema sul limite della somma.

Esempio 5: criterio di Leibniz

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+1 +(-1)^k \; k^2}{k^3} \]

Scomponiamo nella somma di due serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+1 +(-1)^k \; k^2}{k^3} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+1 }{k^3} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \]

Per la prima serie abbiamo:

\[ \frac{k+1 }{k^3} \ge 0, \forall k \ge 1 \qquad{\rm e}\qquad \frac{k+1 }{k^3}\rr 0 {\rm ~~per~~} k \rr \ip \]

quindi converge per il criterio del confronto asintotico dato che:

\[ \frac{k+1 }{k^3} \sim \frac{1}{k^2} {\rm ~~~~~e~~~~~} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} {\rm ~~~~converge} \]

La seconda serie converge per il criterio di Leibniz; quindi la serie di partenza converge.

Esempio 6: criterio di Leibniz

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \left( \frac{\sqrt{k}+(-1)^k}{k}\right) \]

Scomponiamo nella somma di due serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \left( \frac{\sqrt{k}+(-1)^k}{k}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \]

La prima serie converge per il criterio di Leibniz; la seconda diverge (serie armonica); quindi la serie di partenza diverge.

Esempio 7: criterio di Leibniz

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{k} \]

Abbiamo:

\[ \frac{(-1)^{k+1} }{k} = -\frac{(-1)^{k} }{k}, ~\forall k\in \N, k>1 \]

inoltre la successione \(a_k = \frac{1}{k}\) è decrescente e \(\frac{1}{k}\rr 0\) per \(k \rr \ip\) quindi rispetta le due condizioni del teorema. Di conseguenza la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) converge.

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