Campi ordinati, estremo superiore/inferiore e assioma di continuità

Parte 1 · Numeri e logica · Capitolo 5 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Proprietà \(R_1\) e \(R_2\)

• Inizieremo ora a studiare più da vicino la struttura degli insiemi numerici che abbiamo introdotto in precedenza, ed in particolare: l'insieme \(\mathbb{Q}\) dei numeri razionali e l'insieme \(\mathbb{R}\) dei numeri reali.

• Indichiamo con \(a\), \(b\), \(c\) tre generici numeri razionali o reali.

• \(R_1 \rightarrow\) È definita in \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{R}\) un'operazione (detta addizione o somma) che ha le seguenti quattro proprietà:

• 1 \(\forall a,b, \quad a+b = b+a~~~~\) (proprietà commutativa)

• 2 \(\forall a,b,c, \quad (a+b)+c = a+(b+c)~~~~\) (proprietà associativa)

• 3 esiste un elemento neutro della somma, indicato con \(0\), tale che:

  \[ \forall a, ~~ a+0=a \]

• 4 per ogni \(a\) esiste un elemento inverso di \(a\) rispetto alla somma, detto opposto di \(a\) e indicato con \(-a\), tale che:

  \[ a + (-a) =0 \]

• \(R_2 \rightarrow\) È definita in \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{R}\) un'operazione (detta moltiplicazione o prodotto) che ha le seguenti quattro proprietà:

• 1 \(\forall a,b, ~~\) \(a \cdot b = b \cdot a~~~~\) (proprietà commutativa)

• 2 \(\forall a,b,c, ~~\) \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b\cdot c)~~~~\) (proprietà associativa)

• 3 esiste un elemento neutro del prodotto, indicato con \(1\), tale che:

  \[ \forall a, ~~ a \cdot 1=a \]

• 4 per ogni \(a \neq 0\) esiste un elemento inverso di \(a\) rispetto al prodotto, detto reciproco di \(a\) e indicato con \(a^{-1}\), tale che:

  \[ a \cdot a^{-1} = 1 \]

• Le operazioni di somma e prodotto sono legate dalla seguente proprietà:

  • ---

    \[ \forall a,b,c, \qquad (a +b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \qquad ({\rm proprietà ~~\textbf{distributiva}}) \]

• Dalle proprietà \(R_1\) e \(R_2\) discende la possibilità di eseguire senza restrizioni le quattro operazioni fondamentali:

  1. addizione e moltiplicazione (sopra definite)

  2. sottrazione, ponendo:

     \[ a - b = a + (-b) \]

  3. divisione, ponendo:

     \[ a / b = a \cdot b^{-1} {\rm~~~purché~~sia~} b \neq 0 \]

2. Grandezze commensurabili

In matematica con la parola grandezza si intende una proprietà di una figura geometrica che può essere misurata. Sono esempi di grandezze: la lunghezza di un segmento, la misura di un angolo, l'area di una figura piana o il volume di un solido.

Definizione 1: di grandezze omogenee

Due grandezze sono omogenee se hanno la stessa dimensione, cioè se si possono esprimere mediante la stessa unità di misura.

• La lunghezza di un segmento e l'altezza di un solido sono due grandezze omogenee infatti entrambe si possono esprimere con una stessa unità di misura della lunghezza.

• L'area di un quadrato e il volume di un cono non sono grandezze omogenee, infatti l'area si esprime in metri quadrati o in altre misure di superficie che però non possono essere usate per esprimere il volume.

Definizione 2: di grandezze commensurabili e incommensurabili

Si dicono commensurabili due grandezze omogenee \(a\) e \(b\) il cui rapporto è un numero razionale, i.e., se \({a}/{b} \in \mathbb{Q}\). Si dicono invece incommensurabili se il loro rapporto non è un numero razionale, i.e., se \({a}/{b} \notin \mathbb{Q}\).

Esempio 1: di grandezze commensurabili

Il volume di una sfera e il volume del cilindro circoscritto alla sfera sono commensurabili. In formule, il volume della sfera \(V_s\) in funzione del suo raggio \(r\) si ottiene con la formula:

\[ V_s =\frac{4}{3} \: \pi \: r^3 \]

Il cilindro ad essa circoscritto ha il raggio del cerchio di base congruente al raggio \(r\) della sfera e l'altezza \(h\) congruente al doppio del raggio. Il volume \(V_c\) di questo cilindro si ottiene quindi con la formula:

\[ V_c =\pi \: r^2 \: h = \pi \: r^2 \: 2 \: r = 2 \: \pi \: r^3 \]

Facendo il rapporto otteniamo:

\[ \frac{V_s}{V_c} = \frac{\frac{4}{3} \: \pi \: r^3}{2 \: \pi \: r^3}= \frac{2}{3} \in \mathbb{Q} \]

Esempio 2: di grandezze incommensurabili

La lunghezza della circonferenza e la lunghezza del suo diametro sono incommensurabili. In formule, denotiamo con \(d\) il diametro della circonferenza e con \(c\) la lunghezza della circonferenza, abbiamo:

\[ c = \pi \: d \]

Ora facendo il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro otteniamo:

\[ \frac{c}{d}=\frac{\pi \: d}{d} = \pi \notin \mathbb{Q} \]

Una dimostrazione che \(\pi \notin \mathbb{Q}\) verrà data in seguito.

3. Rappresentazione geometrica di \(\mathbb{Q}\)

Una rappresentazione di tipo geometrico di \(\mathbb{Q}\) si può ottenere associando a ogni numero razionale un punto della retta euclidea (immaginabile come una linea nel piano di lunghezza infinita)

• Ad un punto della retta euclidea, scelto arbitrariamente, si associa \(0\) e a un altro, distinto dal primo, si associa \(1\), individuando così il segmento orientato \(01\) che costituisce l'unità di misura

• A questo punto si ha una corrispondenza biunivoca tra i numeri razionali e quei punti \(P\) della retta che sono estremi dei segmenti orientati \(0P\) commensurabili con \(01\). Sono chiaramente commensurabili dato che:

  \[ \frac{P}{1} \in \Q {\rm ~~~con~~~} P \in \Q \]

4. Relazioni di ordine totale

Osservazione 1

Gli insiemi dei numeri razionali \(~\Q\) e dei numeri reali \(~\R\) con la relazione “minore o uguale di” (“\(\le\)”) sono insiemi totalmente ordinati.

• Le relazioni “minore o uguale di” (“\(\le\)”) per l'insieme dei numeri razionali o reali :

  \[ R_{\le}= \bigg\{ (a,b): a,b \in \mathbb{Q} {\rm~~~~e~~~~} a \le b \bigg\}, \qquad ~~~R_{\le}= \bigg\{ (a,b): a,b \in \mathbb{R} {\rm~~~~e~~~~} a \le b \bigg\} \]

  sono relazioni d'ordine parziale. Ovvero verificano le seguenti proprietà:

  1. \(\forall a, \quad a \le a \qquad ({\rm proprietà ~~\textbf{riflessiva}})\)

  2. \(\forall a,b, \quad a \le b {\rm~~~~e~~~~} b \le a ~~\Rightarrow~~ a = b \qquad ({\rm proprietà ~~\textbf{antisimmetrica}})\)

  3. \(\forall a,b,c, \quad a \le b {\rm~~~~e~~~~} b \le c ~~\Rightarrow~~ a \le c \qquad ({\rm proprietà ~~\textbf{transitiva}})\)

  Inoltre le relazioni “minore o uguale di” (“\(\le\)”) per \(\Q\) e \(\R\) sono relazioni totali in quanto:

  1. \(\forall a,b, \qquad a \le b {\rm~~~~o~~~~} b \le a\)

• Di conseguenza la coppia costituita dall'insieme \(\Q\) o \(\R\) e dalla corrispettiva relazione \(R_{\le}\) diventa un insieme totalmente ordinato.

5. Proprietà \(R_3\)

• Mettiamo ora in evidenza le proprietà dell'ordinamento dei numeri razionali o reali:

  • \(R_3 \rightarrow\) È definita in \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{R}\) la relazione d'ordine totale “minore o uguale di” (“\(\le\)”) compatibile con la struttura algebrica ¹, cioè:

    1. \(\forall a,b, c,\qquad a \le b ~~\Rightarrow~~ a + c \le b +c\)

    2. \(\forall a,b,c > 0, \qquad a \le b ~~\Rightarrow~~ a \cdot c \le b \cdot c\)

• Osserviamo che tutte le regole del calcolo algebrico derivano dalle proprietà: \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\).

Esempio 3

Ad esempio tutte le usuali procedure con cui si risolvono le disequazioni sono conseguenza degli assiomi e delle proprietà algebriche della somma e del prodotto, espresse da \(R_1\) e \(R_2\).

6. Campi ordinati

Definizione 3: di campo (ordinato)

Un campo ordinato è un insieme in cui sono definite due operazioni (somma e prodotto) e una relazione d'ordine totale, che soddisfano le proprietà \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\). Un insieme con solo le proprietà \(R_1\), \(R_2\) si dice campo.

• Tutto ciò che abbiamo detto fin qui riguardo alle operazioni di somma e prodotto e alla relazione d'ordine totale “minore o uguale di” (“\(\le\)”) vale sia per l'insieme dei numeri razionali che per l'insieme dei numeri reali.

Osservazione 2

Gli insiemi dei numeri razionali \(~\Q\) e dei numeri reali \(~\R\) sono campi ordinati.

• Da questo punto di vista, quindi, \(\mathbb{Q}\) ed \(\mathbb{R}\) appaiono dotati di proprietà simili. Evidenzieremo nel seguito qual è la proprietà che distingue sostanzialmente \(\mathbb{R}\) da \(\mathbb{Q}\) e che rende \(\mathbb{R}\) l'ambiente giusto per sviluppare l'analisi matematica.

• Iniziamo osservando che l'insieme dei numeri razionali è inadeguato ad esprimere le lunghezze dei segmenti (ma anche le aree, i volumi, i tempi, le velocità ecc.)

Come abbiamo visto esistono grandezze che non sono commensurabili tra loro. L'esempio classico è dato dalla diagonale e dal lato di un quadrato: se il lato misura 1, l'ascissa \(d\) che misura la diagonale non è un numero razionale.

Infatti, per il Teorema di Pitagora abbiamo:

\[ d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \]

ma, come abbiamo visto, non esiste un numero razionale il cui quadrato è \(2\). Dunque il punto \(d\) sulla retta non è il rappresentante di alcun numero razionale. Ciò significa che, dopo aver “occupato” i punti della retta con i numeri razionali, su di essa rimangono ancora dei posti vuoti.

7. Insiemi limitati, massimi e minimi

Definizione 4: di insieme limitato

Sia \(E\) un insieme contenuto in \(\Q\) o in \(\R\). L'insieme \(E\) si dice limitato se esistono due numeri \(m\) e \(M\), tali che:

\[ \forall x \in E, \qquad m \le x \le M \qquad \]

• \(E\) è limitato inferiormente se esiste un numero \(m\) tale che:

  \[ \forall x \in E, \qquad m \le x \qquad \]

• \(E\) è limitato superiormente se esiste un numero \(M\) tale che:

  \[ \forall x \in E, \qquad x \le M \qquad \]

• Non fa differenza imporre che \(m\) e/o \(M\) appartengano a \(\Q\) o a \(\R\) in quanto la condizione è soltanto di esistenza di tali numeri.

Definizione 5: di massimo e minimo di un insieme

Un elemento \(x_{M} \in E\) si chiama massimo di \(E\) se:

\[ \forall x \in E, \qquad x \le x_{M} \]

Un elemento \(x_m \in E\) si chiama minimo di \(E\) se:

\[ \forall x \in E, \qquad x_m \le x \]

L'esistenza del massimo e del minimo per un insieme implica che l'insieme è limitato, ovvero:

\[\begin{equation} {\rm ~~esistenza~di~massimo~e~minimo~} ~~\Rightarrow~~ {\rm ~~insieme~limitato~} \label{BBB} \end{equation}\]

ma il viceversa non è vero (daremo più avanti un controesempio):

\[\begin{equation} {\rm ~~insieme~limitato~} ~~\nRightarrow~~ {\rm ~~esistenza~di~massimo~e~minimo~} \label{CCC} \end{equation}\]

Quindi il fatto che un insieme sia limitato è condizione necessaria ma non sufficiente al fatto che l'insieme ammetta massimo e minimo. Inoltre l'esistenza di massimo e minimo è condizione sufficiente ma non necessaria al fatto che un insieme sia limitato.

Dalla contronominale o implicazione inversa di \(\eqref{BBB}\) abbiamo:

\[ {\rm ~~insieme~non~limitato~} ~~\Rightarrow~~ {\rm ~~non~esistenza~di~massimo~e~minimo~} \]

ovvero se un insieme non è limitato non ha massimo o non ha minimo.

Esempio 4: di massimi e minimi

Esempio	insieme \(E\)	minimo	massimo
I)	\(\mathbb{N}\)	\(0\)	non esiste
II)	numeri interi pari	non esiste	non esiste

Esempio 5: di massimi e minimi

Esempio	insieme \(E\)	minimo	massimo
III)	\(\bigg\{~~\frac{1}{n} ~~:~~ n \in \mathbb{N}\setminus \{0\}~~\bigg\}\)	non esiste	1

Esempio 6: di massimi e minimi

Esempio	insieme \(E\)	minimo	massimo
IV)	\(\bigg\{~~\frac{n-1}{n+1} ~~:~~ n \in \mathbb{N}~~\bigg\}\)	-1	non esiste

Abbiamo:

\[ \frac{n-1}{n+1} = \frac{n+1-1-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1} \]

Si osservi che talvolta, pur essendo l'insieme limitato, esso può non possedere massimo o minimo.

Esempio 7: di massimi e minimi

Esempio	insieme \(E\)	minimo	massimo
V)	\(\left\{ x \in \mathbb{R}:~~ 27 \le x^3 \right\}\)	3	non esiste

Abbiamo:

\[ 27 \le x^3 \Longleftrightarrow \sqrt[3]{27}=3 \le x {\rm ~~~~e~~~} 3 \in E \]

Esempio 8: di massimi e minimi

Esempio	insieme \(E\)	minimo	massimo
VI)	\(\left\{ x \in \mathbb{Q}:~~ x \ge 0, x < \sqrt{2} \right\}\)	0	non esiste

Il valore \(\sqrt{2}\) è irrazionale quindi troncando otteniamo numeri razionali che si avvicinano sempre di più a \(\sqrt{2}\) nessuno con la proprietà di essere massimo.

È un esempio di insieme limitato ma che non ammette massimo.

Esempio	insieme \(E\)	minimo	massimo
VII)	\(\left\{ x \in \mathbb{Q}:~~ ~ x > \sqrt{2}, x\le 4 \right\}\)	non esiste	4

Il valore \(\sqrt{2}\) è irrazionale quindi troncando e maggiorando otteniamo dei numeri razionali che si avvicinano sempre di più a \(\sqrt{2}\) nessuno con la proprietà di essere minimo.

È un esempio di insieme limitato ma che non ammette minimo.

8. Maggioranti/minoranti e estremi superiori/inferiori

Definizione 6: di maggioranti di un insieme

Sia \(E\) un insieme contenuto in \(\Q\) o in \(\R\), un numero \(k\) appartenente a \(\Q\) o a \(\R\) rispettivamente, si dice un maggiorante di \(E\) se:

\[ \forall x \in E, \qquad x \le k \]

Definizione 7: di minorante di un insieme

Sia \(E\) un insieme contenuto in \(\Q\) o in \(\R\), un numero \(k\) appartenente a \(\Q\) o a \(\R\) rispettivamente, si dice un minorante di \(E\) se:

\[ \forall x \in E, \qquad k \le x \]

Osserviamo che un insieme superiormente (inferiormente) limitato ha molti maggioranti (minoranti). Inoltre i maggioranti (minoranti) non appartengono necessariamente all'insieme stesso.

Definizione 8: di estremo superiore

L' estremo superiore di \(E\) ( indicato con \(\sup E\)) è il minimo dei maggioranti di \(E\).

Definizione 9: di estremo inferiore

L' estremo inferiore di \(E\) ( indicato con \(\inf E\)) è il massimo dei minoranti di \(E\).

Osserviamo che l'estremo superiore (inferiore) può non esistere (insiemi non limitati). Osserviamo inoltre che se l'insieme possiede massimo (minimo), questo coincide con l'estremo superiore (inferiore).

Esempio 9: di estremi superiori e inferiori

Esempio	insieme \(E\)	\(\inf E\)	\(\sup E\)	minimo	massimo
I)	\(\left\{ x \in \mathbb{Q}:~~ x \ge 0, x < \sqrt{2} \right\}\)	0	non esiste	0	non esiste

Abbiamo:

\[ \sqrt{2} \notin E {\rm ~~~~e~~~} \sqrt{2} \notin \Q \]

quindi massimo non esiste e nemmeno il \(\sup\).

Esempio	insieme \(E\)	\(\inf E\)	\(\sup E\)	minimo	massimo
II)	\(\left\{ x \in \mathbb{R}:~~ x \ge 0, ~x < \sqrt{2} \right\}\)	0	\(\sqrt{2}\)	0	non esiste

Abbiamo:

\[ \sqrt{2} \notin E {\rm ~~~~e~~~} \sqrt{2} \in \R \]

ovvero il massimo non esiste ma \(\sqrt{2}\) è il minimo dei maggioranti e quindi è il \(\sup\).

9. Definizione assiomatica dei numeri reali

Si dice che un insieme numerico \(X\) totalmente ordinato possiede la proprietà dell'estremo superiore, se:

• \(R_4 \rightarrow\) Ogni insieme \(E \subset X\) non vuoto e limitato superiormente possiede estremo superiore in \(X\)

• Si prova facilmente che, se vale questa proprietà, allora è anche vero che ogni sottoinsieme di \(X\) non vuoto e inferiormente limitato ammette estremo inferiore.

• Non si richiede che \(X\) stesso abbia estremo superiore (ad esempio, nel caso \(X = \mathbb{Q}\) o \(\mathbb{R}\) questo è certamente falso!) , ma che ogni sottoinsieme non vuoto superiormente limitato di \(X\) ne sia provvisto.

L'esempio VI mostra che certamente \(\mathbb{Q}\) non ha la proprietà dell'estremo superiore. Invece, \(\mathbb{R}\) ha questa proprietà. ²

• Nella definizione assiomatica di \(\mathbb{R}\), questa proprietà costituisce parte della definizione stessa di \(\mathbb{R}\)

Definizione 10: (assiomatica) dei numeri reali

Chiamiamo \(\mathbb{R}\) un insieme che soddisfa le proprietà \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\), ossia un campo ordinato che ha la proprietà dell'estremo superiore

• La proprietà dell'estremo superiore prende anche il nome di assioma di Dedekind, o assioma di continuità, o assioma di completezza e si può enunciare anche nella seguente forma equivalente.

Sia \(\{A, B\}\) una partizione di \(\mathbb{R}\) (cioè \(A\) e \(B\) sono insiemi non vuoti e disgiunti la cui unione è \(\mathbb{R}\)); la partizione si chiama sezione se:

\[ \forall a \in A {\rm ~~e~~} \forall b \in B {\rm ~~risulta~~} a < b. \]

Allora si dimostra che:

• \(R_4' \rightarrow\) Per ogni sezione \(\{A, B\}\) di \(\mathbb{R}\) esiste un unico numero reale \(s\) (chiamato elemento separatore) tale che:

  \[ \forall a \in A {\rm ~~e~~} \forall b \in B , \qquad a \le s \le b \qquad \]

Tale elemento separatore è il \(\sup A\) e l'\(\inf B\), quindi \(\sup A=\inf B\)

10. Rappresentazione geometrica di \(\mathbb{R}\)

L'insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) può essere messo in corrispondenza biunivoca con i punti della retta euclidea?

• Ritorniamo ora al problema dell'incommensurabilità di lato e diagonale del quadrato. Quando, con riga e compasso, fissato il lato unitario del quadrato, ne costruiamo la diagonale e la riportiamo sulla retta di partenza, l'arco tracciato dal compasso "spezza la retta in due", generando quella che abbiamo chiamato una sezione; l'elemento separatore, che esiste per l'assioma \(R_4\) rappresenta geometricamente il punto di intersezione, e quindi quel numero misura la diagonale.

Quindi l'interpretazione geometrica della proprietà \(R_4\) ci mostra come l'insieme \(\mathbb{R}\) sia una rappresentazione adeguata della nostra idea intuitiva di retta, così adeguata che spesso in matematica si usa l'espressione “la retta reale” per indicare \(\mathbb{R}\), confondendo l'insieme numerico con la sua rappresentazione geometrica naturale.

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1. una struttura algebrica è un insieme, chiamato insieme sostegno (della struttura), munito di una o più operazioni ↩

2. Non presenteremo però una dimostrazione formale. ↩