Funzioni potenza

Parte 2 · Funzioni · Capitolo 3 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Funzioni potenza

Definizione 1: funzioni potenza

Dato \(\alpha \in \R, \alpha \neq 0\), la funzione:

\[\begin{equation} \label{potenze} f:D \subseteq \R \rightarrow \mathbb{R},~~~ f:x \mapsto x^{\alpha} \end{equation}\]

si chiama funzione potenza con esponente \(\alpha\). Il dominio \(D\) dipende dal valore di \(\alpha\):

• con esponente razionale \(\alpha=\frac{m}{n} \in \Q\), \(m \in \Z\) e \(n \in \N_+\) coprimi, abbiamo quattro casi:

  \[ D= \begin{cases} \R & {\rm ~~se~~} n {\rm ~~dispari~~} {\rm ~~e~~~} \frac{m}{n}>0\\[2ex] \R \setminus \{0\} & {\rm ~~se~~} n {\rm ~~dispari~~} {\rm ~~e~~~} \frac{m}{n}<0\\[2ex] [0,\ip) & {\rm ~~se~~} n {\rm ~~pari~~} {\rm ~~e~~~} \frac{m}{n}>0\\[2ex] (0,\ip) & {\rm ~~se~~} n {\rm ~~pari~~} {\rm ~~e~~~} \frac{m}{n}<0 \end{cases} \]

• con esponente reale e non razionale \(\alpha \in \R \setminus \Q\), abbiamo due casi:

  \[ D= \begin{cases} [0,\ip) & {\rm ~~se~~} \alpha >0\\[2ex] (0,\ip) & {\rm ~~se~~} \alpha<0 \end{cases} \]

1.1 Esponente razionale

Con \(\alpha=\frac{m}{n} \in \Q\), \(m \in \Z\) e \(n \in \N_+\) coprimi, abbiamo una funzione potenza a esponente razionale:

\[ f:D \subseteq \R \rightarrow \mathbb{R},~~~ f:x \mapsto x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m} \]

Abbiamo i tre seguenti casi in funzione della parità/disparità di \(m\) e \(n\).

1. Con \(n\) dispari e \(m\) pari è una funzione pari ovvero \((-x)^{\frac{m}{n}}=x^{\frac{m}{n}}\). Per la positività e la monotonia abbiamo:

   \[ x^{\frac{m}{n}} > 0, ~~~\forall x \in \R \setminus \{0\};\qquad x^{\frac{m}{n}} = 0 \Longleftrightarrow x=0 {\rm ~~e~~} \frac{m}{n}>0 \]
   \[ \begin{cases} {\rm ~~se~~} \frac{m}{n} >0 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~decrescente~in~} (\im,0] {\rm ~~e~crescente~in~} [0,\ip)\\[3ex] {\rm ~~se~~} \frac{m}{n}<0 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~crescente~in~} (\im,0) {\rm ~~e~decrescente~in~} (0,\ip) \end{cases} \]

   

   

2. Con \(n\) dispari e \(m\) dispari è una funzione dispari ovvero \((-x)^{\frac{m}{n}}=-x^{\frac{m}{n}}\). Per la positività e la monotonia abbiamo:

   \[ x^{\frac{m}{n}} < 0, ~ \forall x < 0,~~~~x^{\frac{m}{n}} > 0, ~ \forall x > 0;\qquad x^{\frac{m}{n}} = 0 \Longleftrightarrow x=0 {\rm ~~e~~} \frac{m}{n}>0 \]
   \[ \begin{cases} {\rm ~~se~~} \frac{m}{n} >0 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~crescente~in~} \R\\[3ex] {\rm ~~se~~} \frac{m}{n}<0 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~decrescente~in~} (\im,0) {\rm ~~e~in~} (0,\ip) \end{cases} \]

   

   

   Esempio 1: grafici di funzioni potenza con esponente razionale \(\frac{m}{n}\) e \(n\) dispari

   Con \(m\) pari:

   

   Con \(m\) dispari:

   

3. Con \(n\) pari e con \(m\) dispari (\(m\) non può essere pari dato che sono coprimi), per la positività e la monotonia abbiamo:

   \[ x^{\frac{m}{n}} > 0, ~~~\forall x >0;\qquad x^{\frac{m}{n}} = 0 \Longleftrightarrow x=0 {\rm ~~e~~} \frac{m}{n}>0 \]
   \[ \begin{cases} {\rm ~~se~~} \frac{m}{n} >0 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~crescente~in~} [0,\ip)\\[3ex] {\rm ~~se~~} \frac{m}{n}<0 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~decrescente~in~} (0,\ip) \end{cases} \]

   

   

   Esempio 2: grafici di funzioni potenza con esponente razionale \(\frac{m}{n}\) e \(n\) pari

   

1.2 Esponente reale

• Con \(\alpha \in \R\setminus \Q\), per la positività e la monotonia abbiamo:

  \[ x^{\alpha} > 0, ~~~\forall x >0;\qquad x^{\alpha} = 0 \Longleftrightarrow x=0 {\rm ~~e~~} \alpha>0 \]
  \[ \begin{cases} {\rm ~~se~~} \alpha >0 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~crescente~in~} [0,\ip)\\[2ex] {\rm ~~se~~} \alpha<0 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~decrescente~in~} (0,\ip) \end{cases} \]

  

  

Esempio 3: grafici di funzioni potenza con esponente reale

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.

1.3 Polinomi

Definizione 2: polinomio

Dati \(n+1\) valori \(a_i \in \R\) con \(i \in \{0,1,\dots,n\}\) e \(a_n \neq 0\), la funzione:

\[\begin{equation} \label{potenze__2} f:\R \rightarrow \mathbb{R},~~~ f:x \mapsto \underbrace{\sum_{i=0}^n a_i \: x^i }_{= P_n(x)} \end{equation}\]

si chiama polinomio di grado \(n\).

• Per ogni monomio \(i \in \{0,1,\dots,n\}\):

  1. il valore \(a_i\) è il coefficiente del monomio

  2. la funzione potenza \(x^i\) con esponente intero \(i\) è la parte letterale del monomio

  Il valore \(a_0\) è il termine noto del polinomio dato che \(x^0=1.\)

Esempio 4: polinomio

Ad esempio con \(n=4\), \(a_0=1\), \(a_1=-2\), \(a_2=0\), \(a_3=\frac{1}{2}\) e \(a_4=\frac{1}{9}\) abbiamo il seguente polinomio di grado quattro:

\[ P_4(x) = \sum_{i=0}^4 a_i \: x^i = 1 - 2 \; x + \frac{1}{2} \; x^3 + \frac{1}{9} \; x^4 \]

2. Funzioni di proporzionalità diretta e inversa

Con \(\alpha = 1\) e dato \(\lambda \in \mathbb{R}\), abbiamo la famiglia di funzioni di proporzionalità diretta o lineari:

\[ f:\R \rightarrow \mathbb{R},~~~ f:x \mapsto \lambda \: x {\rm ~~~~dove~~} \lambda {\rm ~~è~la~costante~di~proporzionalità ~diretta} \]

Inoltre \(\lambda= \tan \vartheta\) e \(\vartheta\) è l'angolo della retta \(y=\lambda \: x\) con l'asse delle \(x\).

Con \(\alpha = -1\) e dato \(\lambda \in \mathbb{R}\), abbiamo la famiglia di funzioni di proporzionalità inversa o iperboli equilatere:

\[ f:\R \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R},~~~ f:x \mapsto \frac{\lambda}{x} {\rm ~~~~dove~~} \lambda {\rm ~~è~la~costante~di~proporzionalità ~indiretta} \]

Dati \(\alpha \in \R\) e \(\lambda \in \mathbb{R}\), abbiamo la famiglia di funzioni di potenza moltiplicate per una costante:

\[ f:D \subseteq \R \rightarrow \mathbb{R},~~~ f:x \mapsto \lambda \: x^{\alpha} {\rm ~~~~dove~~} \lambda {\rm ~~è~la~costante~moltiplicativa} \]

• Ad esempio con \(\alpha\) uguale a \(2\) o uguale a \(3\) e \(\lambda \in \R\) abbiamo:

• Ad esempio con \(\alpha=\frac{1}{2}\) e \(\lambda \in \R\) abbiamo: