Sommatorie e progressioni geometriche

Parte 1 · Numeri e logica · Capitolo 7 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Sommatorie

Definizione 1: di sommatoria

Siano \(a_1 , a_2, \dots, a_n\) , \(n\) numeri reali. La loro somma

\[ a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

si può indicare in forma compatta col simbolo di sommatoria:

\[ \sum_{k=1}^n a_k \]

che si legge: “sommatoria per \(k\) da \(1\) a \(n\) di \(a_k\)”. Il simbolo \(k\) si dice indice di sommatoria.

• Il simbolo di sommatoria è dunque una pura e semplice stenografia, che tuttavia risulta molto utile quando i termini \(a_k\) sono definiti esplicitamente in funzione dell'indice \(k\).

Esempio 1: sommatorie

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k} &~~=~~ 1 +\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} +\frac{1}{8} +\frac{1}{9} +\frac{1}{10} \\[2ex] \sum_{k=3}^{n} k^2 &~~=~~ 3^2 +4^2 +5^2 + \dots +n^2 \end{align*}\]

• L'indice di sommatoria è un indice muto. Questo vuol dire che se si sostituisce \(k\) con \(i\), \(j\) o qualunque altro indice (in tutte le sue occorrenze) il valore della sommatoria non cambia.

Esempio 2: indice muto

Abbiamo:

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 ~~=~~ \sum_{i=1}^{n} i^2 \]

in quanto i due simboli indicano la somma dei quadrati dei primi \(n\) numeri naturali (senza lo zero).

Invece, abbiamo:

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 ~~\neq~~ \sum_{k=1}^{m} k^2 \]

in quanto i due simboli indicano la somma, rispettivamente, dei primi \(n\) oppure dei primi \(m\) quadrati (se \(n \neq m\) il risultato sarà diverso).

1.1 Principali proprietà delle sommatorie

Osservazione 1

Dato \(c \in \R\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{P1} \sum_{k=1}^n (c \cdot a_k) = c \: \sum_{k=1}^n a_k \qquad {\rm (prodotto~per~una~costante)} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \label{P2} \sum_{k=1}^n c = c \cdot n \qquad {\rm (sommatoria~con~termine~costante)} \end{equation}\]

Dimostrazione

Prima proprietà \(\eqref{P1}\). Dalla proprietà distributiva abbiamo:

\[ \underbrace{c\: a_1 + c\: a_2 + \dots + c\: a_n}_{=\sum_{k=1}^n (c \cdot a_k)} = \underbrace{c \: (a_1+a_2+\dots+a_n)}_{= c \: \sum_{k=1}^n a_k} \]

Seconda proprietà \(\eqref{P2}\):

\[ \underbrace{c\: + c + \dots + c\:}_{=\sum_{k=1}^n c {\rm ~~~~ovvero~} c {\rm ~sommato~} n {\rm ~volte}} = c \: n \]

□

Osservazione 2

Date due sommatorie \(\sum_{k=1}^n a_k\) e \(\sum_{k=1}^n b_k\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{P3} \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n (a_k + b_k) \end{equation}\]

Dimostrazione

Abbiamo:

\[ \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_n + b_1 + b_2 + \dots + b_n}_{=\sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k} = \underbrace{a_1 + b_1 +a_2 + b_2+\dots+a_n + b_n}_{=\sum_{k=1}^n (a_k + b_k) } \]

□

Osservazione 3

Dati due numeri naturali \(n,m \in \N\), abbiamo:

\[\begin{align} \label{P4} \sum_{k=1}^{n+m} a_k &= \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=n+1}^{n+m} a_k \qquad {\rm (scomposizione)}\\[2ex] \label{P5} \sum_{k=1}^{n} a_k &= \sum_{k=1+m}^{n+m} a_{k-m} = \sum_{k=1-m}^{n-m} a_{k+m} \qquad {\rm (traslazione~di~indici)}\\[2ex] \label{P6} \sum_{k=1}^{n} a_k &= \sum_{k=1}^{n} a_{n-k+1} = \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k} \qquad {\rm (riflessione~di~indici)} \end{align}\]

Dimostrazione

Le tre proprietà sono semplicemente differenti scritture e/o ordinamenti dei termini delle sommatorie. □

1.2 Alcune sommatorie importanti

Osservazione 4: somma dei primi \(n\) numeri naturali (senza lo zero)

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), vale:

\[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n \: (n+1)}{2} \]

Dimostrazione

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} k &= \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k \right) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} \big( n-k+1 \big) \right)\\[2ex] & = \frac{1}{2} \; \sum_{k=1}^{n} \big(k+ n-k+1 \big) = \frac{1}{2} \; \sum_{k=1}^{n} \big(n +1 \big) = \frac{n \: (n+1)}{2} \end{align*}\]

□

Osservazione 5: somma dei primi \(n\) numeri dispari

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), vale:

\[ \sum_{k=1}^{n} (2\:k-1) = n^2 \quad {\rm ~~o~~~equivalentemente~~} \quad \sum_{k=0}^{n-1} (2\:k+1) = n^2 \]

Dimostrazione

Sfruttando le proprietà delle sommatorie abbiamo:

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} (2\:k-1) &= 2\:\sum_{k=1}^{n} k - {\sum_{k=1}^{n} 1}\\[2ex] & = 2\:\left( \frac{n \: (n+1)}{2} \right)- n = n^2 + n -n = n^2 \\[5ex] \sum_{k=0}^{n-1} (2\:k+1) &= 2\:\sum_{k=0}^{n-1} k + {\sum_{k=0}^{n-1} 1}\\[2ex] & = 2\:\sum_{k=1}^{n} (k-1) + n = 2\:\left(\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)+ n \\[2ex] & = 2\:\left( \frac{n \: (n+1)}{2} - n \right)+ n = n^2 + n - 2\:n + n = n^2 \end{align*}\]

□

Osservazione 6: somma dei primi \(n\) numeri pari (senza lo zero)

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), vale:

\[ \sum_{k=1}^{n} 2\:k = n \: (n+1) \]

Dimostrazione

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} 2\:k &= 2\:\sum_{k=1}^{n} k = 2 \left(\frac{n\:(n+1)}{2} \right) = n \: (n+1) \end{align*}\]

□

2. Progressioni geometriche

Definizione 2: di progressione geometrica

Una sequenza di numeri reali è in progressione geometrica se il rapporto tra ogni termine (a partire dal secondo) e il precedente è costante. Tale costante si dice ragione della progressione.

Dato il primo termine \(a \in \R\) e la ragione \(q \in \R\), l'associata progressione geometrica è:

\[ a,~~ a \: q,~~ a \: q^2,~~ a \: q^3,~~ a \: q^4,~~ \dots \]

Ogni termine (a partire dal secondo) si ottiene dal precedente moltiplicandolo per \(q\). Il \(k\)-esimo termine (\(k \in \N\), \(k \ge 1\)) si può scrivere \(a\: q^{k-1}\) e abbiamo:

\[\begin{align*} &a\: q^{1-1}=a\: q^0=a &{\rm primo~termine,~in~posizione~} k=1\\ &a\: q^{2-1}=a\: q^1=a\: q &{\rm secondo~termine,~in~posizione~} k=2\\ &a\: q^{3-1}=a\: q^2 &{\rm terzo~termine,~in~posizione~} k=3\\ &a\: q^{4-1}=a\: q^3 &{\rm quarto~termine,~in~posizione~} k=4\\ &\dots & \dots \end{align*}\]

Esempio 3: progressioni geometriche

• Con \(a=1\) e \(q=\frac{1}{2}\), i primi 4 termini sono:

  \[ 1,~~\frac{1}{2},~~\frac{1}{4},~~\frac{1}{8} \]

• Con \(a=1\) e \(q=2\), i primi 4 termini sono:

  \[ 1,~~2,~~4,~~8 \]

2.1 Sommatorie dei termini delle progressioni geometriche

Osservazione 7: somma dei primi \(n\) termini della progressione geometrica (\(a=1\))

Dato \(q \in\ \R_+\), per ogni numero naturale \(n \ge 1\) vale:

\[\begin{equation} \label{GEOM} \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \begin{cases} \frac{q^{n}-1}{q-1} & {\rm ~~~se~~~~} q \neq 1\\[2ex] n & {\rm ~~~altrimenti} \end{cases} \end{equation}\]

Dimostrazione

Se \(q\neq 1\), proviamo l'equazione nella seguente forma equivalente:

\[ ({q-1}) \: \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = {q^{n} - 1} \]

Applicando le proprietà delle sommatorie, si ha:

\[\begin{align*} ({q-1}) \: \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} &= q \: \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} =\\[2ex] & = \sum_{k=1}^{n} q^{k} - \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \sum_{k=1}^n q^k - \sum_{k=0}^{n-1} q^{k} =\\[2ex] & = \sum_{k=1}^{n-1} q^k + q^n - \left(1 + \sum_{k=1}^{n-1} q^k \right) = q^{n} - 1 \end{align*}\]

Se \(q = 1\), abbiamo invece:

\[ \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} 1 = n \]

□

• Dati \(q \in\ \R_+, n \in \N, n \ge 1\) e \(a \in \R\), la formula \(\eqref{GEOM}\) si estende come segue:

  \[\begin{equation} \sum_{k=1}^{n} a \; q^{k-1} = \begin{cases} a \; \left(\frac{q^{n}-1}{q-1} \right)& {\rm ~~~se~~~~} q \neq 1\\[2ex] a \; n & {\rm ~~~altrimenti} \end{cases} \qquad {\rm ~~dato~che~~~~}\sum_{k=1}^{n} a \; q^{k-1} = a \; \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} \end{equation}\]

  chiaramente:

  \[\begin{equation*} \frac{q^n-1}{q-1} = \frac{1-q^n}{1-q} {\rm ~~e~quindi~abbiamo~anche~~~~} \sum_{k=1}^{n} a \; q^{k-1} = \begin{cases} a \; \left(\frac{1-q^{n}}{1-q} \right)& {\rm ~~~se~~~~} q \neq 1\\[2ex] a \; n & {\rm ~~~altrimenti} \end{cases} \end{equation*}\]

Esempio 4: somma dei primi \(n\) termini di progressioni geometriche

• Con \(a=1\) e \(q=\frac{1}{2}\), i primi 4 termini sono:

  \[ 1,~~\frac{1}{2},~~\frac{1}{4},~~\frac{1}{8} \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{8+4+2+1}{8} = \frac{15}{8} \]

  la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

  \[ \sum_{k=1}^4 \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}= \sum_{k=1}^4\frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1-\frac{1}{2^4}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}}= \frac{15}{16} \; 2 = \frac{15}{8} \]

• Con \(a=1\) e \(q=2\), i primi 4 termini sono:

  \[ 1,~~2,~~4,~~8 \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 1 + 2+ 4 +8= 15 \]

  la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

  \[ \sum_{k=1}^4 2^{k-1} = \frac{2^4-1}{2-1} = 16-1 =15 \]