Limiti di funzioni, asintoti e continuità

Parte 3 · Limiti di funzioni e continuità · Capitolo 1 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Definizione successionale di limite

L'operazione di limite si può estendere dalle successioni alle funzioni reali di variabile reale.

Potremo così precisare il comportamento della funzione quando la variabile indipendente si muove vicino a un determinato punto oppure diventa molto grande (in valore assoluto).

• Consideriamo un intervallo \(I\), un punto \(c \in I\) e una funzione \(f\) definita in \(I\), salvo al più nel punto \(c\).

• L'intervallo \(I\) può essere limitato o illimitato, chiuso o aperto.

• Il punto \(c\) può essere interno all'intervallo oppure uno dei suoi estremi (eventualmente \(\ip\) o \(\im\)).

Definizione 1: successionale di limite

Con \(\ell,c\in \R^*\), scriviamo

\[ f(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c \]

se per ogni successione \(\{x_n\}\) di punti di \(I\), tale che \(x_n \rr c\) per \(n \rr \ip\) e \(x_n \neq c, \forall n\), si ha

\[ f(x_n) \rr \ell {\rm~~per~~} n \rr +\infty \]

In questi casi possiamo anche scrivere:

\[ \lim_{x \rr c} f(x) = \ell \]

che si legge: il limite di \(f(x)\), per \(x\) che tende a \(c\), è \(\ell\).

In altre parole, se per qualunque successione \(\{x_n\}\) di ingressi, si ha che la successione delle uscite \(\left\{f(x_n)\right\}\) tende al limite \(\ell\) (finito o infinito) allora si dice che il limite di \(f(x)\), per \(x\) che tende a \(c\), è \(\ell\).

La definizione successionale di limite riconduce il concetto di limite di funzione a quello di limite di successione.

Non è l'unica definizione possibile. Un'altra definizione è la definizione topologica di limite. Sono due definizioni perfettamente equivalenti.

1.1 Intorni e definizione topologica di limite

Definizione 2: di intorno centrato di un punto

Dati \(\delta>0\) e \(x_0 \in \R\), l'intorno centrato in \(x_0\) associato a \(\delta\) è l'intervallo aperto:

\[ (x_0 - \delta, x_0 + \delta) = \big\{ x \in \mathbb{R}: x_0 - \delta < x < x_0 + \delta \big\} \]

Dire che “\(x\) si muove in un intorno di \(x_0\)” significa affermare che

\[ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta), {\rm ~~dove~ si~pensa~~} 0 < \delta \ll 1. \]

Definizione 3: di intorno di \(\pm \infty\)

Dati \(a,b \in \R\), l'intorno associato ad \(a\) di \(\im\) è l'intervallo:

\[ (\im, a)= \big\{ x \in \mathbb{R}: x < a \big\} \]

e l'intorno associato a \(b\) di \(\ip\) è l'intervallo:

\[ (b, \ip) = \big\{ x \in \mathbb{R}: x > b \big\} \]

• Introduciamo ora la locuzione “definitivamente per \(x \rr c\)” analogamente a quanto abbiamo fatto nel caso delle successioni

Definizione 4: di proprietà posseduta definitivamente per funzioni

Diciamo che una funzione \(f\) possiede definitivamente una certa proprietà per \(x \rr c \in \R^*\) se esiste un intorno \(U\) di \(c\) tale che la proprietà vale per \(f(x)\) per ogni \(x \in U, x \neq c\).

• Diamo ora la definizione topologica di limite che, come già detto, è equivalente a quella successionale vista in precedenza ma che risulta utile.

Definizione 5: topologica di limite

Siano \(c, \ell \in \R^*\), e sia \(f\) una funzione definita almeno definitivamente per \(x \rr c\). Scriviamo

\[ f(x) \rr \ell {\rm ~~~per~~~} x \rr c \]

se per ogni intorno \(U_{\ell}\) di \(\ell\) esiste un intorno \(U_c\) di \(c\) tale che

\[ \forall x \in U_c, x \neq c, {\rm~~si~ha~che~~} f(x) \in U_{\ell} \]

• Questa definizione si può declinare nei casi specifici:

  Limite finito al finito: \(f(x) \rr \ell \in \R\) per \(x \rr c \in \R\)

  \[ \forall \varepsilon > 0, ~\exists \delta >0:~~~~ \forall x \neq c, |x-c| < \delta \Longrightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon \]

  Limite infinito al finito: \(f(x) \rr \pm \infty\) per \(x \rr c \in \R\)

  \[ \forall M > 0, ~\exists \delta >0:~~~~ \forall x \neq c, |x-c| < \delta \Longrightarrow |f(x)| > M \]

  Limite finito all'infinito: \(f(x) \rr \ell \in \R\) per \(x \rr \pm \infty\)

  \[ \forall \varepsilon > 0, ~\exists b >0:~~~~ \forall |x| > b \Longrightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon \]

  Limite infinito all'infinito: \(f(x) \rr \pm \infty\) per \(x \rr \pm \infty\)

  \[ \forall M > 0, ~\exists b >0:~~~~ \forall |x| > b \Longrightarrow |f(x)| > M \]

Il fatto di avere già sviluppato le basi del calcolo dei limiti per le successioni, renderà molto vantaggioso l'utilizzo della definizione successionale di limite per dimostrare i teoremi sui limiti delle funzioni a partire da quelli visti sulle successioni.

Teorema 1: di unicità del limite di funzioni

Data una funzione \(f\), se \(f(x) \rr \ell\) per \(x \rr c\) allora tale limite \(\ell\) è unico.

Dimostrazione

Se esistessero due limiti \(\ell_1\) e \(\ell_2\), diversi tra loro, presa una qualsiasi successione \(\{x_n\}\) tale che \(x_n \rr c\) e \(x_n \neq c, \forall n\), si avrebbe:

\[ f(x_n) \rr \ell_1 {\rm ~~e~~} f(x_n) \rr \ell_2 {\rm ~~per~~} n \rr \ip \]

Quindi la successione \(\left\{f(x_n)\right\}\) avrebbe due limiti distinti: assurdo. □

Definizione 6: di funzione infinitesima

Una funzione \(f\) tale che \(f(x) \rr 0\) per \(x \rr c\) si dice infinitesima per \(x \rr c\).

Definizione 7: di funzione infinita

Una funzione \(f\) tale che \(f(x) \rr \pm \infty\) per \(x \rr c\) si dice infinita per \(x \rr c\).

• Quando scriviamo:

  \[ f(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c {\rm ~~~~oppure~~~~} \lim_{x \rr c} f(x) = \ell \]

  abbiamo

  \[ {\rm limite~~} \begin{cases} {\rm finito}\\ {\rm infinito} \end{cases} \quad {\rm ~~se~~} \quad \begin{cases} \ell \in \R\\ \ell = \pm \infty \end{cases} \]

  abbiamo

  \[ {\rm limite~~} \begin{cases} {\rm al ~finito}\\ {\rm all'infinito} \end{cases} \quad {\rm ~~se~~} \quad \begin{cases} c \in \R\\ c = \pm \infty \end{cases} \]

1.2 Limite finito all'infinito

\[ f(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c {\rm~~~~con~~~~} \ell \in \R {\rm ~~~e~~~} c= \pm \infty \]

Esempio 1: Limite finito all'infinito (definizione successionale di limite)

Dimostriamo che:

\[ e^x \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr \im \]

Dalla definizione, si tratta di provare che per ogni successione \(\{x_n\}\), tale che \(x_n \rr \im\) per \(n \rr \ip\), si ha:

\[ e^{x_n} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

Per definizione di limite di successione, questo significa provare che, per ogni \(\varepsilon >0\), si ha:

\[ |e^{x_n}| < \varepsilon, {\rm~~definitivamente}, {\rm ~~ossia~~~} e^{x_n} < \varepsilon, {\rm~~definitivamente,} \]

essendo l'esponenziale sempre positivo. L'ultima disuguaglianza è equivalente a:

\[ x_n < \log \: \varepsilon \]

Se \(\varepsilon > 0\) è un numero piccolo (\(<1\)), \(\log \: \varepsilon\) è un numero negativo (e grande in valore assoluto). Poniamo

\[ M(\varepsilon) = - \log \: \varepsilon > 0 \]

Dobbiamo quindi provare che, per ogni \(M(\varepsilon)>0\), risulta:

\[ x_n < -M(\varepsilon) , {\rm~~definitivamente}. \]

Ma questo è proprio ciò che vale per ipotesi, perché \(x_n \rr \im\). Quindi \(e^x \rr 0\) per \(x \rr \im\).

Asintoto orizzontale

Definizione 8: di asintoto orizzontale

Si dice che \(f\) ha asintoto orizzontale di equazione \(y = \ell \in \R\) per \(x \rr \ip\) (\(x \rr \im\)) se:

\[ f(x) \rr \ell \in \R {\rm ~~~per~~} x \rr \ip ~~(x \rr \im) \]

• Ogni situazione di limite finito all'infinito, quindi, corrisponde graficamente alla presenza di un asintoto orizzontale, ossia di una retta orizzontale a cui il grafico della funzione si avvicina sempre più.

Limite per eccesso o per difetto

• Quando una funzione ha limite finito all'infinito, talvolta è possibile precisare se questo limite è per eccesso (\(\ell^+\)) o per difetto (\(\ell^-\)). Graficamente, questo significa che il grafico della funzione si avvicina alla quota \(y = \ell\) dall'alto o dal basso.

Definizione 9: di limite per eccesso o per difetto

Con \(\ell,c\in \R^*\), scriviamo

\[ f(x) \rr \ell^+~~(\ell^-) {\rm ~~per~~} x \rr c \]

se per ogni successione \(\{x_n\}\) di punti di \(I\), tale che \(x_n \rr c\) per \(n \rr \ip\) e \(x_n \neq c, \forall n\), si ha

\[ f(x_n) \rr \ell^+~~(\ell^-) {\rm~~per~~} n \rr +\infty \]

• Affermare che \(f(x) \rr \ell^+\) significa che \(f(x) \rr \ell\) e inoltre \(f(x) \ge \ell\), definitivamente.

• Affermare che \(f(x) \rr \ell^-\) significa che \(f(x) \rr \ell\) e inoltre \(f(x) \le \ell\), definitivamente.

• In questi casi si dice che \(f(x)\) tende a \(\ell\) per eccesso (per difetto) per \(x\) che tende a \(c\).

Esempio 2: Limiti per eccesso/difetto

Ad esempio:

\[ \lim_{x \rr \im} e^x = 0^+ \]

la scrittura \(0^+\) significa che la funzione tende a \(0\) per eccesso, ossia i valori di \(f(x)\) tendono a zero mantenendosi non negativi.

Esempio 3: Limite per eccesso/difetto

Si osservi che non ogni limite finito è necessariamente per eccesso o per difetto, come mostra ad esempio:

\[ \lim_{x \rr \ip} e^{-\frac{1}{2}\:x} \: \sin \:( x)+1 = 1 \]

La funzione \(f(x)\) tende a 1 per \(x \rr \ip\), ma non si può affermare né \(f(x) \rr 1^+\) e né \(f(x) \rr 1^{-}\).

1.3 Limite infinito all'infinito

\[ f(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c {\rm~~~~con~~~~} \ell= \pm \infty {\rm ~~~e~~~} c= \pm \infty \]

Esempio 4: Limite infinito all'infinito (definizione successionale di limite)

Dimostriamo che:

\[ \log_{1/2} x \rr \im {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip \]

Dalla definizione, si tratta di provare che per ogni successione \(\{x_n\}\), tale che \(x_n \rr \ip\) per \(n \rr \ip\), si ha:

\[ \log_{1/2} x_n \rr \im {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

Questo significa provare che per ogni \(M>0\), risulti:

\[ \log_{1/2} x_n < - M, \quad {\rm definitivamente,~~ ovvero~~} x_n > \left( \frac{1}{2} \right)^{-M}= 2^M, \quad {\rm definitivamente} \]

Ma per ipotesi \(x_n \rr \ip\), quindi fissata la quantità positiva \(2^M\), certamente risulta \(x_n > 2^M\), definitivamente. Quindi \(\log_{1/2} x \rr \im\) per \(x \rr \ip\).

Asintoto obliquo

• Nei casi in cui una funzione abbia, limite infinito all'infinito, può accadere (ma non sempre accade) che esista una retta, obliqua, a cui il grafico della funzione si avvicina sempre di più.

Definizione 10: di asintoto obliquo

Si dice che \(f\) ha asintoto obliquo di equazione \(y = m \: x + q ~~(q,m \in \R, m \neq 0)\) per \(x \rr \ip\) \((\im)\) se :

\[ \big( f(x) - (m \: x + q) \big) \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip ~~(\im) \]

Esempio 5: di asintoto obliquo

Consideriamo

\[ f(x) = 2\:x +1 + e^x \]

e vogliamo testare se \(2\:x +1\) sia o meno un asintoto obliquo per \(x \rr \im\). Abbiamo

\[ \lim_{x \rr \im} \big(f(x) - (2\:x +1)\big) = \lim_{x \rr \im} e^x = 0 \]

Perciò, per definizione di asintoto obliquo, la retta

\[ y = 2x + 1 \]

è asintoto obliquo di \(f\) per \(x \rr \im\).

• In casi meno elementari, anziché dover “indovinare” qual è l'asintoto obliquo è utile avere un criterio operativo per cercarlo.

Proposizione 1: di esistenza asintoto obliquo

Una funzione \(f\) ammette asintoto obliquo di equazione \(y = mx+ q\) per \(x \rr \ip\) se e solo se valgono le seguenti due condizioni:

\[ \lim_{x \rr \ip} \frac{f(x)}{x} = m \in \R, m \neq 0 {\rm ~~~~~e~~~~~} \lim_{x \rr \ip} \big( f(x) - m\:x \big) = q \in \R \]

Analogo criterio vale per \(x \rr \im\).

• Osserviamo che la prima condizione impone che \(f(x)\) abbia il medesimo ordine di infinito di \(y=x\) per \(x \rr \ip\), poiché:

  \[ \lim_{x \rr \im}{x} = \im {\rm ~~~~~e~~~~~} \lim_{x \rr \ip}{x} = \ip \]

  Inoltre, se \(m>0\) abbiamo:

  \[ \lim_{x \rr \im}{f(x)} = \im {\rm ~~~~~e~~~~~} \lim_{x \rr \ip}{f(x)} = \ip \]

  e se \(m<0\) abbiamo:

  \[ \lim_{x \rr \im}{f(x)} = \ip {\rm ~~~~~e~~~~~} \lim_{x \rr \ip}{f(x)} = \im \]

L'asintoto obliquo \(y= mx+ q\) è una retta (non orizzontale) che approssima il comportamento di una funzione che diverge per \(x \rr \pm \infty\).

Dimostrazione

La prima condizione evita la possibilità che l'asintoto sia orizzontale e impone che \(f(x)\) abbia il medesimo ordine di infinito di \(y=x\). Dalla seconda condizione:

\[ {\rm se~~} \lim_{x \rr \ip} \big( f(x) - m\:x \big) = q {\rm ~~~allora~~~} \lim_{x \rr \ip} \big(f(x) - (m \: x + q) \big) = 0 \]

Ragionamento analogo per \(x \rr \im\). □

Esempio 6: Asintoto obliquo

Consideriamo

\[ f(x) = 3\:x + \sqrt{x} \]

e calcoliamo

\[ \lim_{x \rr \ip} \frac{3\:x + \sqrt{x}}{x} = \lim_{x \rr \ip} \left( 3 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 3, \qquad \lim_{x \rr \ip} \left( 3\:x + \sqrt{x} - 3 \: x \right) = \lim_{x \rr \ip} \sqrt{x} = \ip \]

poiché il secondo limite è infinito non vale la seconda condizione della proposizione e di conseguenza la funzione non ammette asintoto obliquo per \(x \rr \ip\).

1.4 Limite infinito al finito

\[ f(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c {\rm~~~~con~~~~} \ell= \pm \infty {\rm ~~~e~~~} c \in \R \]

Esempio 7: Limite infinito al finito (definizione successionale di limite)

Dimostriamo che:

\[ \frac{1}{x^2} \rr \ip {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

Dalla definizione, si tratta di provare che per ogni successione \(\{x_n\}\), tale che \(x_n \rr 0\) per \(n \rr \ip\) e \(x_n \neq 0, \forall n\), si ha:

\[ \frac{1}{x_n^2} \rr \ip {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

Attenzione che la condizione \(x_n \neq 0, \forall n\), contenuta nella definizione di limite, era irrilevante negli esempi precedenti in cui avevamo \(x \rr \pm \infty\), ma ora diventa chiaramente rilevante.

Dobbiamo quindi provare che per ogni \(M>0\), risulti:

\[ \frac{1} {x_n^2} > M, \quad {\rm definitivamente, ~~ovvero~~~} |x_n| < \frac{1}{\sqrt{M}}, \quad {\rm definitivamente} \]

Ma per ipotesi \(x_n \rr 0\), quindi fissata la quantità positiva \(\frac{1}{\sqrt{M}}\), certamente risulta \(|x_n| < \frac{1}{\sqrt{M}}\) definitivamente. Quindi \(1/x^2 \rr \ip\) per \(x \rr 0\).

Limite destro e sinistro

• Talvolta una funzione si comporta diversamente, dal punto di vista del suo limite, a seconda che \(x\) si avvicini a \(c\) da destra o da sinistra.

Definizione 11: di limite destro e sinistro

Con \(\ell \in \R^*\) e \(c \in \R\), scriviamo

\[ f(x) \rr \ell {\rm ~~~per~~~} x \rr c^+ ~~(c^-) \]

se per ogni successione \(\{x_n\}\) di punti di \(I\), tale che \(x_n \rr c^+ ~(c^-)\) per \(n \rr \ip\) e \(x_n \neq c^+ ~(c^-), \forall n\), si ha

\[ f(x_n) \rr \ell {\rm~~per~~} n \rr +\infty \]

Il limite \(\lim_{x \rr c} f(x)\) esiste se e solo se esistono il limite destro e il limite sinistro e sono entrambi uguali a \(\ell\). Ovvero se e solo se:

\[ \lim_{x \rr c^+} f(x) = \lim_{x \rr c^-} f(x) = \ell \]

Tuttavia, può accadere che il limite destro e il limite sinistro esistano ma siano diversi fra loro, oppure solo uno dei due esista. In questi casi:

\[ \lim_{x \rr c} f(x) {\rm ~~~~~non ~esiste~~} \]

Esempio 8: Limite destro e sinistro

Consideriamo le funzioni \(y= \frac{1}{x}\) e \(y= \frac{1}{x^2}\):

\[ \lim_{x \rr 0^+} \frac{1}{x} = \ip, \qquad \lim_{x \rr 0^-} \frac{1}{x} = \im {\rm ~~~~mentre~~~~} \lim_{x \rr 0} \frac{1}{x} {\rm ~~non~esiste} \]

\[ \lim_{x \rr 0^+} \frac{1}{x^2} = \ip, \qquad \lim_{x \rr 0^-} \frac{1}{x^2} = \ip {\rm ~~~~e~~~~} \lim_{x \rr 0} \frac{1}{x^2}= \ip \]

Se \(f\) è definita in \((a, b)\), il limite per \(x \rr a\) (rispettivamente \(x \rr b\)) è automaticamente un limite destro (rispettivamente sinistro).

Asintoto verticale

Definizione 12: di asintoto verticale

Si dice che \(f\) ha asintoto verticale di equazione \(x = c \in \R\) per \(x \rr c ~~ (c^+ {\rm ~o~~} c^-)\) se:

\[ f(x) \rr \pm \infty {\rm ~~per~~} x \rr c ~~(c^+ {\rm ~o~~}c^-) \]

• Ogni situazione di limite infinito al finito, quindi, corrisponde graficamente alla presenza di un asintoto verticale, ossia di una retta verticale a cui il grafico della funzione si avvicina sempre più.

Esempio 9: Asintoto verticale

• \(x=0\) è asintoto verticale di

  \[ \frac{1}{x^2} \quad {\rm per~~} x \rr 0 \]

  

• \(x=0\) è asintoto verticale di

  \[ \frac{1}{x} \quad {\rm per~~} x \rr 0^+ {\rm ~e~per~~} x \rr 0^- \]

• \(x=0\) è asintoto verticale di

  \[ \log x \quad {\rm per~~} x \rr 0^+ \]

1.5 Limite finito al finito

\[ f(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c {\rm~~~~con~~~~} \ell \in \R {\rm ~~~e~~~} c \in \R \]

Esempio 10: Limite finito al finito (definizione successionale di limite)

Consideriamo la funzione \(f(x)=\sin x\) e dimostriamo che:

\[ \sin x \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

Dalla definizione, si tratta di provare che per ogni successione \(\{x_n\}\), tale che \(x_n \rr 0\) per \(n \rr \ip\) e \(x_n \neq 0, \forall n\), si ha:

\[ \sin x_n \rr 0 {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

Partiamo dalla seguente disuguaglianza elementare:

\[ |\sin x| \le |x|, \quad \forall x \in \R {\rm ~~~quindi~~~} |\sin x_n| \le |x_n| \]

Per il teorema del confronto:

\[ {\rm se~~} x_n \rr 0 {\rm~~per~~} n \rr \ip {\rm ~~anche ~~} \sin x_n \rr 0 {\rm~~per~~} n \rr \ip \]

Quindi \(\sin x \rr 0\) per \(x \rr 0\) e abbiamo:

\[ \lim_{x \rr 0} \sin x = f(0) \]

Esempio 11: Limite finito al finito (definizione successionale di limite)

Consideriamo la funzione:

\[ f(x)= \begin{cases} 1 & {\rm se ~~} x \neq 0\\ 0 & {\rm se ~~} x= 0 \end{cases} \]

e dimostriamo che:

\[ f(x) \rr 1 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

Dalla definizione, si tratta di provare che per ogni successione \(\{x_n\}\), tale che \(x_n \rr 0\) per \(n \rr \ip\) e \(x_n \neq 0, \forall n\), si ha:

\[ f(x_n) \rr 1 {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

Abbiamo

\[ f(x_n) = 1, ~~ \forall n, {\rm ~~quindi~~} f(x_n) \rr 1 {\rm ~~per~~} n \rr +\infty \]

Di conseguenza \(f(x) \rr 1\) per \(x \rr 0\). In questo caso, dunque (a differenza dell'esempio precedente), si ha:

\[ \lim_{x \rr 0} f(x) \neq f(0) \]

• Si rifletta sui due esempi appena visti. In entrambi i casi il limite al finito di una certa funzione esiste ed è finito.

• Nel primo caso, tale limite coincide col valore della funzione nel punto considerato, nel secondo caso no.

• Introduciamo quindi il concetto di continuità per distinguere questi due casi.

1.6 Continuità

Definizione 13: di continuità

Se \(f: I \rr \R\) e \(c \in I\), si dice che \(f\) è continua in \(c\) se

\[ \lim_{x \rr c} f(x) = f(c) \]

Si dice che \(f\) è continua in \(I\) se è continua in ciascun punto di \(I\).

• La proprietà di continuità su un intervallo ha una semplice interpretazione geometrica:

  “il grafico di una funzione continua su un intervallo si può tracciare, su quell'intervallo, senza staccare la penna dal foglio”

• Una funzione non continua in un punto \(c\) si dice discontinua in \(c\).

Esempio 12: Continuità

La funzione:

\[ f(x)= \begin{cases} 1 & {\rm se ~~} x \neq 0\\ 0 & {\rm se ~~} x= 0 \end{cases} \]

è discontinua in 0. La funzione \(\sin x\) è continua in 0.

Esempio 13: Discontinuità

Consideriamo la funzione: \(f(x) = x/|x|\)

In questo caso non è possibile calcolare \(f(0)\) e la funzione \(f(x)\) è discontinua in 0 dato che:

\[ \lim_{x \rr 0^+} f(x) = 1 {\rm ~~e~~} \lim_{x \rr 0^-} f(x) = -1 \]

Definizione 14: di punto di discontinuità a salto

Si dice che \(c\) è un punto di discontinuità a salto per \(f\) quando i limiti destro e sinistro in \(c\) esistono finiti, ma sono diversi tra loro. Il salto è costituito dalla differenza dei limiti:

\[ {\rm salto~in~} c = \lim_{x \rr c^+} f(x) - \lim_{x \rr c^-} f(x) \]

Esempio 14: Discontinuità a salto

La funzione

\[ f(x) = \frac{x}{|x|} \]

ha un punto di discontinuità a salto in \(x=0\), con salto uguale a 2.

Se uno dei due limiti, limite destro o limite sinistro (per \(x \rr c\)), coincide con \(f(c)\), si dice che \(f\) è continua da destra o da sinistra, rispettivamente.

• Le funzioni che presentano discontinuità a salto si prestano bene a modellizzare fenomeni che registrano bruschi cambiamenti.

• Le funzioni continue, d'altro canto, devono la loro importanza al fatto che

  \[ \lim_{x \rr c} f(x) = f(c) \]

  può essere interpretato dicendo che “se x è vicino a \(c\)” allora “\(f(x)\) è vicino a \(f(c)\)", ossia piccole variazioni di \(x\) implicano piccole variazioni di \(f(x)\).

1.7 Non esistenza del limite

• Il limite di una funzione può anche non esistere

\[ \lim_{x \rr c} f(x) {\rm ~~~non~esiste} \]

Esempio 15: Non esistenza del limite (definizione successionale di limite)

Dimostriamo che:

\[ \lim_{x \rr \ip} \sin x {\rm~~non~esiste~~} \]

Per dimostrarlo è sufficiente trovare due successioni \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\), tali che \(x_n \rr \ip\) e \(y_n \rr \ip\) per \(n \rr \ip\), con \(\left\{\sin x_n \right\}\) e \(\left\{\sin y_n \right\}\) tendenti a due limiti diversi.

Prendiamo:

\[ x_n = n \: \pi {\rm ~~~~e~~~~} y_n =\frac{\pi}{2} + 2 \: n \: \pi,\quad \forall n \]

di conseguenza abbiamo:

\[ \{n \: \pi\} \rr \ip {\rm ~~~~e~~~~} \left\{\frac{\pi}{2} + 2 \: n \: \pi\right\} \rr \ip {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

In corrispondenza di tali successioni si ha

\[ \sin x_n = 0 {\rm~~e~~} \sin y_n = 1,\quad \forall n \]

e di conseguenza le due successioni tendono a due limiti diversi. Quindi la definizione di limite non è soddisfatta e il limite non esiste.

Esempio 16: Non esistenza del limite (definizione successionale di limite)

Dimostriamo che:

\[ \lim_{x \rr 0} \sin \frac{1}{x} {\rm~~non~esiste~~} \]

Per dimostrarlo è sufficiente trovare due successioni \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\), tali che \(x_n \rr 0\), \(y_n \rr 0\) per \(n \rr \ip\) e \(x_n,y_n \neq 0, \forall n\), con \(\left\{\sin \frac{1}{x_n}\right\}\) e \(\left\{\sin \frac{1}{y_n}\right\}\) tendenti a due limiti diversi.

Prendiamo:

\[ x_n = \frac{1}{\:n \: \pi} {\rm ~~~~e~~~~} y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2 \: n \: \pi},\quad \forall n>1 \]

di conseguenza abbiamo:

\[ \left\{\frac{1}{n \: \pi}\right\} \rr 0 {\rm ~~~~e~~~~} \left\{\frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2 \: n \: \pi}\right\} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

In corrispondenza di tali successioni si ha

\[ \sin \frac{1}{x_n} = 0 {\rm~~e~~} \sin \frac{1}{y_n} = 1,\quad \forall n>1 \]

e di conseguenza le due successioni tendono a due limiti diversi. Quindi la definizione di limite non è soddisfatta e il limite non esiste.

La funzione ha infinite oscillazioni in uno spazio finito perciò non è possibile disegnarne il grafico in un intervallo \((0, b]\) con \(b\in \R_+\).