Prolungamenti continui

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Esercizio 1

Per la seguente funzione stabilire se esistono prolungamenti continui agli estremi del dominio. Studiare poi la derivabilità di tali prolungamenti.

\[ f:[0,\pi/2)\rightarrow\R,\ f(x)=(\cos x)^{(\pi/2)-x} \]

Soluzione

Ponendo \(y=\pi/2-x\) abbiamo

\[ \begin{array}{l}\ds\lim_{x\to\pi/2^{-}}f(x)=\lim_{x\to\pi/2^{-}}e^{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\log\cos x}= \lim_{y\to0^{+}}e^{y\log\sin y}=\lim_{y\to0^{+}}e^{y\log(y+o(y))}=\\ \\ =\lim_{y\to0^{+}}e^{y\log(y(1+o(1))}=\lim_{y\to0^{+}}e^{y\log y+y\log(1+o(1))}=e^{0}=1.\end{array} \]

Si ha un prolungamento continuo ponendo

\[ f(\pi/2)=1. \]

Esaminiamo il limite del rapporto incrementale:

\[ \begin{array}{l} \ds\lim_{x\to\pi/2^{-}}\frac{f(x)-f(\pi/2)}{x-\pi/2}= \lim_{x\to\pi/2^{-}}\frac{e^{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\log\cos x}-1}{x-\pi/2}=\\ \\ = \lim_{x\to\pi/2^{-}}\frac{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\log\cos x}{x-\pi/2}=\lim_{x\to\pi/2^{-}}-\log\cos x=+\infty\end{array} \]

usando l'equivalenza

\[ e^{t}-1\sim t, \ \ t\to0 \]

con

\[ t=\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\log\cos x,\ \ \ x\to\pi/2^{-}. \]

Ne segue che \(f\) si può prolungare con continuità in \(x=\pi/2\) ma tale prolungamento non è derivabile in \(x=\pi/2\) (tangente verticale).

Esercizio 2

Per la seguente funzione stabilire se esistono prolungamenti continui agli estremi del dominio. Studiare poi la derivabilità di tali prolungamenti.

\[ f:(0,1)\rightarrow\R,\ f(x)=(\cos (\pi x/2))^{\log x} \]

Soluzione

Abbiamo

\[ \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}e^{\log x\log\cos (\pi x/2)}=e^{0}=1 \]

in quanto

\[ \begin{array}{l}\ds\lim_{x\to0}\log x\log\cos (\pi x/2)=\lim_{x\to0}\log x\log\left(1-\frac{\pi^{2}}{8}x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)=\\ \\ = \lim_{x\to0}\left(-\frac{\pi^{2}}{8}x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)\log x=\lim_{x\to0}-\frac{\pi^{2}}{8}x^{2}\log x=0.\end{array} \]

Si ha un prolungamento continuo ponendo

\[ f(0)=1. \]

Soluzione

Esaminiamo il limite del rapporto incrementale:

\[ \begin{array}{l} \ds\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}= \lim_{x\to0}\frac{e^{\log x\log\cos (\pi x/2)}-1}{x}=\\ \\ =\lim_{x\to0}\frac{\log x\log\cos (\pi x/2)}{x}=\lim_{x\to0}-\frac{\pi^{2}}{8}x\log x=0\end{array} \]

usando le equivalenze

\[ e^{t}-1\sim t, \ \ t\to0 \]

con

\[ t=\log x\log\cos (\pi x/2),\ \ \ x\to0 \]

e

\[ \log\cos (\pi x/2)\sim -\frac{\pi^{2}}{8}x^{2},\ \ \ x\to0. \]

Ne segue che \(f\) si può prolungare con continuità in \(x=0\) e tale prolungamento è derivabile in \(x=0\) con

\[ f'(0)=0. \]

Soluzione

Esaminiamo ora il comportamento per \(x\to1\) ponendo \(y=x-1\):

\[ \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}e^{\log x\log\cos (\pi x/2)}=\lim_{y\to0}e^{\log(1+y)\log(-\sin(\pi y/2))}=e^{0}=1 \]

in quanto

\[ \begin{array}{l}\ds\lim_{y\to0}\log (1+y)\log(-\sin (\pi y/2))=\lim_{y\to0}y\log\left(-\pi y/2+o(y)\right)=\\ \\ =\lim_{y\to0}y\log\left(-\pi y/2(1+o(1))\right)=\\ \\ =\lim_{y\to0}y\log\left(-\pi y/2)+\lim_{y\to0}y\log(1+o(1))\right)=0+0=0.\end{array} \]

Si ha un prolungamento continuo ponendo

\[ f(1)=1. \]

Esaminiamo il limite del rapporto incrementale:

\[ \begin{array}{l} \ds\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \lim_{x\to1}\frac{e^{\log x\log\cos (\pi x/2)}-1}{x-1}=\lim_{y\to0}\frac{e^{\log(1+y)\log(-\sin(\pi y/2))}-1}{y}=\\ \\ =\lim_{y\to0}\frac{\log(1+y)\log(-\sin(\pi y/2))}{y}=\lim_{y\to0}\log(-\sin(\pi y/2))=-\infty\end{array} \]

usando le equivalenze

\[ e^{t}-1\sim t, \ \ t\to0 \]

con

\[ t=\log(1+y)\log(-\sin(\pi y/2)),\ \ \ y\to0 \]

e

\[ \log(1+y)\sim y,\ \ \ y\to0. \]

Ne segue che \(f\) si può prolungare con continuità in \(x=1\) ma tale prolungamento non è derivabile in \(x=1\) (tangente verticale).

Esercizio 3

Per la seguente funzione stabilire se esistono prolungamenti continui agli estremi del dominio. Studiare poi la derivabilità di tali prolungamenti.

\[ f:(0,1]\rightarrow\R,\ f(x)=\frac{\sqrt{\cos x}-1}{x^{2}} \]

Soluzione

Sviluppiamo la funzione \(\sqrt{\cos x}\) all'ordine \(3\) con punto iniziale \(x=0\) utilizzando

\[ \cos x=1-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{3}) \]

e

\[ \sqrt{1+y}=1+\frac{1}{2}y-\frac{1}{8}y^{2}+\frac{1}{16}y^{3}+o(y^{3}) \]

con \(y=-(1/2)x^{2}+o(x^{2})\):

\[ \sqrt{\cos x}=1-\frac{1}{4}x^{2}+o(x^{3}). \]

Ne segue

\[ f(x)=\frac{\sqrt{\cos x}-1}{x^{2}}=-\frac{1}{4}+o(x) \]

da cui \(f\) si può prolungare con continuità in \(x=0\) ponendo

\[ f(0)=-\frac{1}{4} \]

e tale prolungamento risulta derivabile con

\[ f'(0)=0. \]

Infatti

\[ \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}-\frac{1}{4}+o(x)=-\frac{1}{4} \]

e

\[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{4}+o(x)+\frac{1}{4}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{o(x)}{x}=0. \]

Esercizio 4

Per la seguente funzione stabilire se esistono prolungamenti continui agli estremi del dominio. Studiare poi la derivabilità di tali prolungamenti.

\[ f:(0,\pi/2]\rightarrow\R,\ f(x)=(1-\cos x)^{\log(1+x)} \]

Soluzione

Abbiamo

\[ \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}e^{\log(1+x)\log(1-\cos x)}=e^{0}=1 \]

in quanto

\[ \begin{array}{l}\ds\lim_{x\to0}\log(1+x)\log(1-\cos x)=\lim_{x\to0} x\log\left(\frac{1}{2}x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)=\\ \\ = \lim_{x\to0}x\log\left(\frac{1}{2}x^{2}(1+o(1)\right)=\\ \\ = \lim_{x\to0}x\log\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)+\lim_{x\to0}x\log(1+o(1))=0+0=0.\end{array} \]

Si ha un prolungamento continuo ponendo

\[ f(0)=1. \]

Esaminiamo il limite del rapporto incrementale:

\[ \begin{array}{l} \ds\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}= \lim_{x\to0}\frac{e^{\log(1+x)\log(1-\cos x)}-1}{x}=\\ \\ = \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)\log(1-\cos x)}{x}=\lim_{x\to0}\log(1-\cos x)=-\infty\end{array} \]

usando l'equivalenza

\[ e^{t}-1\sim t, \ \ t\to0 \]

con

\[ t=\log(1+x)\log(1-\cos x),\ \ \ x\to0. \]

Ne segue che \(f\) si può prolungare con continuità in \(x=0\) ma tale prolungamento non è derivabile in \(x=0\) (tangente verticale).