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Funzioni parte intera e mantissa

Parte 3 · Funzioni · Capitolo 7 · Dispensa, volume 3 (PDF) · Esercizi, volume 3 (PDF) · Slide (PDF)

1. Funzioni parte intera e mantissa

  • Due funzioni che tipicamente si incontrano nella scrittura di algoritmi sono la funzione parte intera e la funzione mantissa (o parte decimale).

Definizione 1: di funzione parte intera

La funzione parte intera è:

\[\begin{equation} \label{parte_int} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto [x] \qquad ({\rm oppure~~ x \mapsto \lfloor x \rfloor}) \end{equation}\]

Definizione 2: di funzione parte intera superiore

La funzione parte intera superiore è:

\[\begin{equation} \label{parte_ceil} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto \lceil x \rceil \end{equation}\]

Definizione 3: di funzione mantissa

La funzione mantissa è:

\[\begin{equation} \label{parte_int__2} f: \mathbb{R} \rightarrow [0, 1), x \mapsto (x) \end{equation}\]

  • La funzione parte intera \(f(x)= \lfloor x \rfloor\) e la funzione parte intera superiore \(f(x)= \lceil x \rceil\) sono non decrescenti in \(\mathbb{R}\), ma non sono crescenti.

    • Sono non decrescenti: siano \(x_1 < x_2\). Allora \(\lfloor x_1 \rfloor \le x_1 < x_2\) e, poiché \(\lfloor x_1 \rfloor\) è un intero minore o uguale a \(x_2\), mentre \(\lfloor x_2 \rfloor\) è il più grande intero minore o uguale a \(x_2\) (si veda il capitolo “Radicali, potenze, logaritmi e aritmetica modulare” della Parte 2), si ha \(\lfloor x_1 \rfloor \le \lfloor x_2 \rfloor\). Analogamente \(\lceil x_2 \rceil \ge x_2 > x_1\) e, poiché \(\lceil x_1 \rceil\) è il più piccolo intero maggiore o uguale a \(x_1\), si ha \(\lceil x_1 \rceil \le \lceil x_2 \rceil\).

    • Non sono crescenti: entrambe sono costanti su ogni intervallo compreso fra due interi consecutivi, per esempio

      \[ \left\lfloor \frac{1}{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2}{3} \right\rfloor = 0 \qquad {\rm ~~e~~} \qquad \left\lceil \frac{1}{3} \right\rceil = \left\lceil \frac{2}{3} \right\rceil = 1, \]

      quindi esistono \(x_1 < x_2\) con \(f(x_1) = f(x_2)\).

  • Grafici delle funzioni \(f(x)=\lceil x \rceil\) e \(f(x)= \lfloor x \rfloor\) nell'intervallo \([-4,4]\).

    Figura 1

    Figura 2

  • Si noti che la mantissa è una funzione periodica di periodo 1:

    Figura 3

2. Funzioni definite a tratti

  • A partire dalle funzioni elementari se ne possono costruire di nuove usando definizioni analitiche diverse su intervalli diversi.

Definizione 4: di funzione definita a tratti

Una funzione \(f\) il cui valore \(f (x)\) è calcolato mediante “istruzioni” diverse a seconda dell'intervallo in cui cade la \(x\) si chiama funzione definita a tratti.

Esempio 1: Funzioni definite a tratti

Consideriamo ad esempio

\[ f(x)= \begin{cases} \ln x & {\rm if~~} x > 1,\\ x^2 & {\rm if~~} 0 < x \le 1,\\ x & {\rm if~~} x \le 0 \end{cases} \]

il suo grafico è:

Figura 4

  • Dal punto di vista logico / algoritmico, si può dire che una funzione di questo tipo ha la particolarità di essere costruita utilizzando non solo le funzioni matematiche ma anche la funzione logica “se … allora”.

3. Funzione valore assoluto

  • Nel capitolo “Fattoriali, coefficienti binomiali e disuguaglianza triangolare” della Parte 2 il valore assoluto di un numero reale \(a\) è stato definito da

    \[ |a| = \begin{cases} a & {\rm se~~} a \ge 0\\ -a & {\rm se~~} a < 0 \end{cases} \]

    Associando a ogni \(x \in \mathbb{R}\) il numero \(|x|\) si ottiene una funzione reale di variabile reale, che è l'esempio più importante di funzione definita a tratti.

Definizione 5: di funzione valore assoluto

La funzione valore assoluto è:

\[\begin{equation} \label{val_ass_f} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x| \end{equation}\]

  • Segno. La funzione valore assoluto è non negativa in \(\mathbb{R}\) ed è positiva in \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\):

    \[ |x| \ge 0,~~ \forall x \in \mathbb{R} \qquad {\rm ~~e~~} \qquad |x| = 0 ~~\Longleftrightarrow~~ x=0. \]

    Infatti, se \(x \ge 0\) allora \(|x|=x \ge 0\), e se \(x<0\) allora \(|x|=-x>0\); in entrambi i casi \(|x|=0\) obbliga \(x=0\).

  • Monotonia. La funzione valore assoluto è decrescente in \((-\infty,0]\) ed è crescente in \([0,+\infty)\), ma non è monotona in \(\mathbb{R}\).

    • Se \(x_1 < x_2 \le 0\), allora \(|x_1| = -x_1 > -x_2 = |x_2|\).

    • Se \(0 \le x_1 < x_2\), allora \(|x_1| = x_1 < x_2 = |x_2|\).

    • Non è monotona in \(\mathbb{R}\) perché \(f(-1)=1 > f(0)=0\) (quindi non è non decrescente in \(\mathbb{R}\)) e \(f(0)=0 < f(1)=1\) (quindi non è non crescente in \(\mathbb{R}\)).

  • Limitatezza e immagine. La funzione è limitata inferiormente in \(\mathbb{R}\) (il numero \(0\) è un minorante dei suoi valori), ma non è limitata superiormente: per ogni \(M \in \R\) con \(M>0\) si ha \(f(M+1)=M+1>M\). La sua immagine è

    \[ f(\mathbb{R}) = [0,+\infty), \]

    perché \(|x| \ge 0\) per ogni \(x\) e, viceversa, ogni \(y \ge 0\) è l'immagine di \(y\) stesso: \(|y|=y\).

  • Simmetria. La funzione valore assoluto è pari, dato che \(|-x|=|x|\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\): il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

  • Il grafico è formato dalle due semirette \(y=-x\) per \(x \le 0\) e \(y=x\) per \(x \ge 0\):

Figura 5