Sommatorie, progressioni geometriche e aritmetiche¶

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1. Sommatorie¶

Definizione 1: di sommatoria

Siano \(a_1 , a_2, \dots, a_n\) , \(n\) numeri reali. La loro somma

\[ a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

si può indicare in forma compatta col simbolo di sommatoria:

\[ \sum_{k=1}^n a_k \]

che si legge: “sommatoria per \(k\) da \(1\) a \(n\) di \(a_k\)”. Il simbolo \(k\) si dice indice di sommatoria.

Il simbolo di sommatoria è dunque una pura e semplice stenografia, che tuttavia risulta molto utile quando i termini \(a_k\) sono definiti esplicitamente in funzione dell'indice \(k\).

Esempio 1: sommatorie

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k} &~~=~~ 1 +\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} +\frac{1}{8} +\frac{1}{9} +\frac{1}{10} \\[2ex] \sum_{k=3}^{n} k^2 &~~=~~ 3^2 +4^2 +5^2 + \dots +n^2 \end{align*}\]

L'indice di sommatoria è un indice muto. Questo vuol dire che se si sostituisce \(k\) con \(i\), \(j\) o qualunque altro indice (in tutte le sue occorrenze) il valore della sommatoria non cambia.

Esempio 2: indice muto

Abbiamo:

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 ~~=~~ \sum_{i=1}^{n} i^2 \]

in quanto i due simboli indicano la somma dei quadrati dei primi \(n\) numeri naturali (senza lo zero).

Invece, abbiamo:

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 ~~\neq~~ \sum_{k=1}^{m} k^2 \]

in quanto i due simboli indicano la somma, rispettivamente, dei primi \(n\) oppure dei primi \(m\) quadrati (se \(n \neq m\) il risultato sarà diverso).

1.1 Principali proprietà delle sommatorie¶

Osservazione 1: prodotto per una costante

Data una sommatoria \(\sum_{k=1}^n a_k\) e un numero reale \(c \in \R\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{P1} \sum_{k=1}^n (c \cdot a_k) = c \: \sum_{k=1}^n a_k \end{equation}\]

Dimostrazione

Dalla proprietà distributiva abbiamo:

\[ \underbrace{c\: a_1 + c\: a_2 + \dots + c\: a_n}_{=\sum_{k=1}^n (c \cdot a_k)} = \underbrace{c \: (a_1+a_2+\dots+a_n)}_{= c \: \sum_{k=1}^n a_k} \]

□

Osservazione 2: sommatoria con termine costante

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\) e ogni numero reale \(c \in \R\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{P2} \sum_{k=1}^n c = c \cdot n \end{equation}\]

Dimostrazione

Abbiamo:

\[ \underbrace{c\: + c + \dots + c\:}_{=\sum_{k=1}^n c {\rm ~~~~ovvero~} c {\rm ~sommato~} n {\rm ~volte}} = c \: n \]

□

Osservazione 3: unione di sommatorie

Date due sommatorie \(\sum_{k=1}^n a_k\) e \(\sum_{k=1}^n b_k\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{P3} \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n (a_k + b_k) \end{equation}\]

Dimostrazione

Abbiamo:

\[ \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_n + b_1 + b_2 + \dots + b_n}_{=\sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k} = \underbrace{a_1 + b_1 +a_2 + b_2+\dots+a_n + b_n}_{=\sum_{k=1}^n (a_k + b_k) } \]

□

Le tre proprietà che seguono (scomposizione, traslazione di indici e riflessione di indici) sono semplicemente differenti scritture e/o ordinamenti dei termini delle sommatorie.

Osservazione 4: scomposizione

Dati due numeri naturali \(n \ge 1\) e \(m \ge 1\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{P4} \sum_{k=1}^{n+m} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=n+1}^{n+m} a_k \end{equation}\]

Dimostrazione

I termini della sommatoria \(\sum_{k=1}^{n+m} a_k\) si raggruppano nei primi \(n\) e negli ultimi \(m\):

\[ \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_n}_{=\sum_{k=1}^{n} a_k} + \underbrace{a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{n+m}}_{=\sum_{k=n+1}^{n+m} a_k} = \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_n + a_{n+1} + \dots + a_{n+m}}_{=\sum_{k=1}^{n+m} a_k} \]

□

Osservazione 5: traslazione di indici

Data una sommatoria \(\sum_{k=1}^{n} a_k\) e un numero naturale \(m \ge 1\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{P5} \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1+m}^{n+m} a_{k-m} = \sum_{k=1-m}^{n-m} a_{k+m} \end{equation}\]

Dimostrazione

Nella sommatoria \(\sum_{k=1+m}^{n+m} a_{k-m}\) l'indice \(k\) varia da \(1+m\) a \(n+m\) e quindi l'indice \(k-m\) varia da \(1\) a \(n\):

\[ \underbrace{a_{(1+m)-m} + a_{(2+m)-m} + \dots + a_{(n+m)-m}}_{=\sum_{k=1+m}^{n+m} a_{k-m}} = \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_n}_{=\sum_{k=1}^{n} a_k} \]

Allo stesso modo, nella sommatoria \(\sum_{k=1-m}^{n-m} a_{k+m}\) l'indice \(k\) varia da \(1-m\) a \(n-m\) e quindi l'indice \(k+m\) varia da \(1\) a \(n\):

\[ \underbrace{a_{(1-m)+m} + a_{(2-m)+m} + \dots + a_{(n-m)+m}}_{=\sum_{k=1-m}^{n-m} a_{k+m}} = \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_n}_{=\sum_{k=1}^{n} a_k} \]

□

Osservazione 6: riflessione di indici

Data una sommatoria \(\sum_{k=1}^{n} a_k\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{P6} \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_{n-k+1} = \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k} \end{equation}\]

Dimostrazione

Nella sommatoria \(\sum_{k=1}^{n} a_{n-k+1}\) l'indice \(k\) varia da \(1\) a \(n\) e quindi l'indice \(n-k+1\) varia da \(n\) a \(1\), cioè i termini sono gli stessi, elencati in ordine inverso:

\[ \underbrace{a_{n} + a_{n-1} + \dots + a_{1}}_{=\sum_{k=1}^{n} a_{n-k+1}} = \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_n}_{=\sum_{k=1}^{n} a_k} \]

Allo stesso modo, nella sommatoria \(\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k}\) l'indice \(k\) varia da \(0\) a \(n-1\) e quindi l'indice \(n-k\) varia da \(n\) a \(1\):

\[ \underbrace{a_{n} + a_{n-1} + \dots + a_{1}}_{=\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k}} = \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_n}_{=\sum_{k=1}^{n} a_k} \]

□

1.2 Alcune sommatorie importanti¶

Osservazione 7: somma dei primi \(n\) numeri naturali (senza lo zero)

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), vale:

\[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n \: (n+1)}{2} \]

Dimostrazione

Usando la riflessione di indici \(\eqref{P6}\) abbiamo:

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} k &= \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k \right) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} \big( n-k+1 \big) \right)\\[2ex] & = \frac{1}{2} \; \sum_{k=1}^{n} \big(k+ n-k+1 \big) = \frac{1}{2} \; \sum_{k=1}^{n} \big(n +1 \big) = \frac{n \: (n+1)}{2} \end{align*}\]

□

Osservazione 8: somma dei primi \(n\) numeri dispari

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), vale:

\[ \sum_{k=1}^{n} (2\:k-1) = n^2 \quad {\rm ~~o~~~equivalentemente~~} \quad \sum_{k=0}^{n-1} (2\:k+1) = n^2 \]

Dimostrazione

Sfruttando le proprietà delle sommatorie abbiamo:

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} (2\:k-1) &= 2\:\sum_{k=1}^{n} k - {\sum_{k=1}^{n} 1}\\[2ex] & = 2\:\left( \frac{n \: (n+1)}{2} \right)- n = n^2 + n -n = n^2 \\[5ex] \sum_{k=0}^{n-1} (2\:k+1) &= 2\:\sum_{k=0}^{n-1} k + {\sum_{k=0}^{n-1} 1}\\[2ex] & = 2\:\sum_{k=1}^{n} (k-1) + n = 2\:\left(\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)+ n \\[2ex] & = 2\:\left( \frac{n \: (n+1)}{2} - n \right)+ n = n^2 + n - 2\:n + n = n^2 \end{align*}\]

□

Osservazione 9: somma dei primi \(n\) numeri pari (senza lo zero)

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), vale:

\[ \sum_{k=1}^{n} 2\:k = n \: (n+1) \]

Dimostrazione

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} 2\:k &= 2\:\sum_{k=1}^{n} k = 2 \left(\frac{n\:(n+1)}{2} \right) = n \: (n+1) \end{align*}\]

□

Le tre sommatorie importanti appena viste si dimostrano anche per induzione, nel capitolo «Principio di induzione» della Parte 1.

2. Progressioni geometriche¶

Definizione 2: di progressione geometrica

Una sequenza di numeri reali è in progressione geometrica se il rapporto tra ogni termine (a partire dal secondo) e il precedente è costante. Tale costante si dice ragione della progressione.

Dato il primo termine \(a \in \R\) e la ragione \(q \in \R\), l'associata progressione geometrica è:

\[ a,~~ a \: q,~~ a \: q^2,~~ a \: q^3,~~ a \: q^4,~~ \dots \]

Ogni termine (a partire dal secondo) si ottiene dal precedente moltiplicandolo per \(q\). Il \(k\)-esimo termine (\(k \in \N\), \(k \ge 1\)) si può scrivere \(a\: q^{k-1}\) e abbiamo:

\[\begin{align*} &a\: q^{1-1}=a\: q^0=a &{\rm primo~termine,~in~posizione~} k=1\\ &a\: q^{2-1}=a\: q^1=a\: q &{\rm secondo~termine,~in~posizione~} k=2\\ &a\: q^{3-1}=a\: q^2 &{\rm terzo~termine,~in~posizione~} k=3\\ &a\: q^{4-1}=a\: q^3 &{\rm quarto~termine,~in~posizione~} k=4\\ &\dots & \dots \end{align*}\]

Osservazione 10: termine \(k\)-esimo di una progressione geometrica

Dato il primo termine \(a \in \R\) e la ragione \(q \in \R\), indichiamo con \(t_k\) il termine in posizione \(k\) della progressione geometrica. La relazione ricorsiva che definisce la progressione è:

\[\begin{equation} \label{GEOMREC} t_1 = a \qquad {\rm e} \qquad t_k = t_{k-1} \: q \qquad {\rm per~ogni~numero~naturale~} k \ge 2 \end{equation}\]

e la formula chiusa del termine \(k\)-esimo è:

\[\begin{equation} \label{GEOMTERM} t_k = a \: q^{k-1} \qquad {\rm per~ogni~numero~naturale~} k \ge 1 \end{equation}\]

Dimostrazione

La formula chiusa \(\eqref{GEOMTERM}\) si ottiene applicando ripetutamente la relazione ricorsiva \(\eqref{GEOMREC}\):

\[\begin{align*} t_1 &= a = a \: q^0\\[1ex] t_2 &= t_1 \: q = a \: q = a \: q^1\\[1ex] t_3 &= t_2 \: q = a \: q \: q = a \: q^2\\[1ex] t_4 &= t_3 \: q = a \: q^2 \: q = a \: q^3\\[1ex] &\vdots\\[1ex] t_k &= t_{k-1} \: q = a \: q^{k-2} \: q = a \: q^{k-1} \end{align*}\]

□

Esempio 3: progressioni geometriche

Con \(a=1\) e \(q=\frac{1}{2}\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~\frac{1}{2},~~\frac{1}{4},~~\frac{1}{8} \]

Figura 1

Con \(a=1\) e \(q=2\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~2,~~4,~~8 \]

Figura 2

Esempio 4: progressione geometrica con ragione negativa

Con \(a=1\) e \(q=-2\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~-2,~~4,~~-8 \]

Con ragione negativa i termini cambiano di segno a ogni passo: quelli in posizione dispari sono positivi, quelli in posizione pari sono negativi.

Figura 3

2.1 Sommatorie dei termini delle progressioni geometriche¶

Osservazione 11: somma dei primi \(n\) termini della progressione geometrica (\(a=1\))

Dato \(q \in \R\), per ogni numero naturale \(n \ge 1\) vale:

\[\begin{equation} \label{GEOM} \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \begin{cases} \frac{q^{n}-1}{q-1} & {\rm ~~~se~~~~} q \neq 1\\[2ex] n & {\rm ~~~altrimenti} \end{cases} \end{equation}\]

Dimostrazione

Se \(q\neq 1\), proviamo l'equazione nella seguente forma equivalente:

\[ ({q-1}) \: \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = {q^{n} - 1} \]

Applicando le proprietà delle sommatorie, in particolare il prodotto per una costante \(\eqref{P1}\) e la traslazione di indici \(\eqref{P5}\), si ha:

\[\begin{align*} ({q-1}) \: \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} &= q \: \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} =\\[2ex] & = \sum_{k=1}^{n} q^{k} - \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \sum_{k=1}^n q^k - \sum_{k=0}^{n-1} q^{k} =\\[2ex] & = \sum_{k=1}^{n-1} q^k + q^n - \left(1 + \sum_{k=1}^{n-1} q^k \right) = q^{n} - 1 \end{align*}\]

Dividendo per \(q-1 \neq 0\) otteniamo:

\[ \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \frac{q^{n}-1}{q-1} \]

Se \(q = 1\), abbiamo invece:

\[ \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} 1 = n \]

□

La dimostrazione non usa mai il segno della ragione: la formula \(\eqref{GEOM}\) vale per ogni \(q \in \R\), positivo, nullo o negativo. L'unico caso da precisare è \(q=0\): il primo addendo della sommatoria è \(q^{1-1}=0^0\), che qui si intende uguale a \(1\) (convenzione \(0^0=1\)). Con questa convenzione, per ogni \(n \ge 1\) abbiamo:

\[ \sum_{k=1}^{n} 0^{k-1} = 1 + 0 + \dots + 0 = 1 \qquad {\rm ~~e~~} \qquad \frac{0^{n}-1}{0-1} = \frac{-1}{-1} = 1 \]

e quindi la formula \(\eqref{GEOM}\) resta vera.
Dati \(q \in \R, n \in \N, n \ge 1\) e \(a \in \R\), la formula \(\eqref{GEOM}\) si estende come segue:

\[\begin{equation} \sum_{k=1}^{n} a \; q^{k-1} = \begin{cases} a \; \left(\frac{q^{n}-1}{q-1} \right)& {\rm ~~~se~~~~} q \neq 1\\[2ex] a \; n & {\rm ~~~altrimenti} \end{cases} \qquad {\rm ~~dato~che~~~~}\sum_{k=1}^{n} a \; q^{k-1} = a \; \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} \end{equation}\]

chiaramente:

\[\begin{equation*} \frac{q^n-1}{q-1} = \frac{1-q^n}{1-q} {\rm ~~e~quindi~abbiamo~anche~~~~} \sum_{k=1}^{n} a \; q^{k-1} = \begin{cases} a \; \left(\frac{1-q^{n}}{1-q} \right)& {\rm ~~~se~~~~} q \neq 1\\[2ex] a \; n & {\rm ~~~altrimenti} \end{cases} \end{equation*}\]
La formula \(\eqref{GEOM}\) si dimostra anche per induzione, nel capitolo «Principio di induzione» della Parte 1.

Esempio 5: somma dei primi \(n\) termini di progressioni geometriche

Con \(a=2\) e \(q=\frac{1}{2}\), i primi 4 termini sono:

\[ 2,~~1,~~\frac{1}{2},~~\frac{1}{4} \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{8+4+2+1}{4} = \frac{15}{4} \]

la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

\[ \sum_{k=1}^4 2 \; \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}= \sum_{k=1}^4 \frac{2}{2^{k-1}} = 2 \; \frac{1-\frac{1}{2^4}}{1-\frac{1}{2}} = 2 \; \frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}}= \frac{15}{16} \; 4 = \frac{15}{4} \]
Con \(a=1\) e \(q=\frac{1}{2}\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~\frac{1}{2},~~\frac{1}{4},~~\frac{1}{8} \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{8+4+2+1}{8} = \frac{15}{8} \]

la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

\[ \sum_{k=1}^4 \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}= \sum_{k=1}^4\frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1-\frac{1}{2^4}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}}= \frac{15}{16} \; 2 = \frac{15}{8} \]
Con \(a=1\) e \(q=2\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~2,~~4,~~8 \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 1 + 2+ 4 +8= 15 \]

la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

\[ \sum_{k=1}^4 2^{k-1} = \frac{2^4-1}{2-1} = 16-1 =15 \]
Con \(a=1\) e \(q=-2\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~-2,~~4,~~-8 \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 1 - 2+ 4 -8= -5 \]

la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

\[ \sum_{k=1}^4 (-2)^{k-1} = \frac{(-2)^4-1}{-2-1} = \frac{16-1}{-3} = \frac{15}{-3} = -5 \]

3. Progressioni aritmetiche¶

Definizione 3: di progressione aritmetica

Una sequenza di numeri reali è in progressione aritmetica se la differenza tra ogni termine (a partire dal secondo) e il precedente è costante. Tale costante si dice ragione della progressione.

Dato il primo termine \(a \in \R\) e la ragione \(d \in \R\), l'associata progressione aritmetica è:

\[ a,~~ a + d,~~ a + 2\:d,~~ a + 3\:d,~~ a + 4\:d,~~ \dots \]

Ogni termine (a partire dal secondo) si ottiene dal precedente sommandogli \(d\). Il \(k\)-esimo termine (\(k \in \N\), \(k \ge 1\)) si può scrivere \(a + (k-1)\:d\) e abbiamo:

\[\begin{align*} &a+ (1-1)\:d=a+0\:d=a &{\rm primo~termine,~in~posizione~} k=1\\ &a+ (2-1)\:d=a+1\:d=a+d &{\rm secondo~termine,~in~posizione~} k=2\\ &a+ (3-1)\:d=a+2\:d &{\rm terzo~termine,~in~posizione~} k=3\\ &a+ (4-1)\:d=a+3\:d &{\rm quarto~termine,~in~posizione~} k=4\\ &\dots & \dots \end{align*}\]

La progressione aritmetica è l'analogo additivo della progressione geometrica: nella progressione geometrica si moltiplica ogni termine per la ragione \(q\), nella progressione aritmetica si somma a ogni termine la ragione \(d\).

Osservazione 12: termine \(k\)-esimo di una progressione aritmetica

Dato il primo termine \(a \in \R\) e la ragione \(d \in \R\), indichiamo con \(t_k\) il termine in posizione \(k\) della progressione aritmetica. La relazione ricorsiva che definisce la progressione è:

\[\begin{equation} \label{ARITREC} t_1 = a \qquad {\rm e} \qquad t_k = t_{k-1} + d \qquad {\rm per~ogni~numero~naturale~} k \ge 2 \end{equation}\]

e la formula chiusa del termine \(k\)-esimo è:

\[\begin{equation} \label{ARITTERM} t_k = a + (k-1) \: d \qquad {\rm per~ogni~numero~naturale~} k \ge 1 \end{equation}\]

Dimostrazione

La formula chiusa \(\eqref{ARITTERM}\) si ottiene applicando ripetutamente la relazione ricorsiva \(\eqref{ARITREC}\):

\[\begin{align*} t_1 &= a = a + 0 \: d\\[1ex] t_2 &= t_1 + d = a + d = a + 1 \: d\\[1ex] t_3 &= t_2 + d = a + d + d = a + 2 \: d\\[1ex] t_4 &= t_3 + d = a + 2 \: d + d = a + 3 \: d\\[1ex] &\vdots\\[1ex] t_k &= t_{k-1} + d = a + (k-2) \: d + d = a + (k-1) \: d \end{align*}\]

□

La formula chiusa \(\eqref{ARITTERM}\) si ottiene anche con il seguente ragionamento, che non richiede i puntini di sospensione. Scriviamo la relazione ricorsiva \(\eqref{ARITREC}\) nella forma \(t_j - t_{j-1} = d\) per ogni posizione \(j\) da \(2\) a \(k\):

\[\begin{align*} t_2 - t_1 &= d \\[1ex] t_3 - t_2 &= d \\[1ex] t_4 - t_3 &= d \\[1ex] &\vdots\\[1ex] t_k - t_{k-1} &= d \end{align*}\]

Sommiamo ora tutte queste \(k-1\) uguaglianze. A destra sommiamo \(d\) con sé stesso \(k-1\) volte e otteniamo \(d \: (k-1)\). A sinistra, la somma è telescopica: ogni termine compare due volte, una volta con il segno \(+\) e una volta con il segno \(-\), tranne \(t_k\) e \(t_1\):

\[ \underbrace{(t_2 - t_1) + (t_3 - t_2) + (t_4 - t_3) + \dots + (t_k - t_{k-1})}_{=\sum_{j=2}^{k} (t_j - t_{j-1})} = t_k - t_1 = t_k - a \]

Uguagliando i due membri abbiamo \(t_k - a = d \: (k-1)\), cioè la formula chiusa:

\[ t_k = a + (k-1) \: d \qquad {\rm per~ogni~numero~naturale~} k \ge 1 \]

Esempio 6: progressioni aritmetiche

Con \(a=1\) e \(d=\frac{1}{2}\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~\frac{3}{2},~~2,~~\frac{5}{2} \]

Figura 4

Con \(a=2\) e \(d=2\), i primi 4 termini sono:

\[ 2,~~4,~~6,~~8 \]

cioè i primi 4 numeri pari (senza lo zero).

Figura 5

3.1 Sommatorie dei termini delle progressioni aritmetiche¶

Osservazione 13: somma dei primi \(n\) termini della progressione aritmetica (\(a=0\))

Dato \(d \in \R\), per ogni numero naturale \(n \ge 1\) vale:

\[\begin{equation} \label{ARIT} \sum_{k=1}^{n} d \: (k-1) = d \: \left( \frac{n \: (n-1)}{2} \right) \end{equation}\]

Dimostrazione

Usando il prodotto per una costante \(\eqref{P1}\) e la riflessione di indici \(\eqref{P6}\), con lo stesso ragionamento usato per la somma dei primi \(n\) numeri naturali, abbiamo:

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} d \: (k-1) &= \frac{d}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} (k-1) + \sum_{k=1}^{n} (k-1) \right) = \frac{d}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} (k-1) + \sum_{k=1}^{n} \big( n-k \big) \right)\\[2ex] & = \frac{d}{2} \; \sum_{k=1}^{n} \big(k-1+ n-k \big) = \frac{d}{2} \; \sum_{k=1}^{n} \big(n -1 \big) = d \: \left( \frac{n \: (n-1)}{2} \right) \end{align*}\]

dove nel secondo passaggio si è riflesso l'indice della seconda sommatoria: il termine di posto \(k\) è \(a_k = k-1\) e quindi \(a_{n-k+1} = (n-k+1)-1 = n-k\). □

Dati \(d \in \R, n \in \N, n \ge 1\) e \(a \in \R\), la formula \(\eqref{ARIT}\) si estende come segue:

\[\begin{equation} \label{ARIT_A} \sum_{k=1}^{n} \big( a + d \: (k-1) \big) = a \: n + d \: \left( \frac{n \: (n-1)}{2} \right) \qquad {\rm ~~dato~che~~~~} \sum_{k=1}^{n} \big( a + d \: (k-1) \big) = \underbrace{\sum_{k=1}^{n} a}_{= a \: n} + \sum_{k=1}^{n} d \: (k-1) \end{equation}\]

dove si sono usate l'unione di sommatorie \(\eqref{P3}\) e la sommatoria con termine costante \(\eqref{P2}\). Questa formula calcola la somma dei primi \(n\) termini della progressione aritmetica con primo termine \(a\) qualunque.
La stessa dimostrazione per riflessione di indici, applicata direttamente alla sommatoria dei primi \(n\) termini, dà la forma equivalente:

\[ \sum_{k=1}^{n} \big( a + d \: (k-1) \big) = \frac{n}{2} \: \Big( \underbrace{a}_{=t_1} + \underbrace{a + (n-1) \: d}_{=t_n} \Big) = n \: \left( \frac{t_1 + t_n}{2} \right) \]

dato che, riflettendo l'indice, il termine di posto \(k\) e il termine di posto \(n-k+1\) hanno somma costante \(t_k + t_{n-k+1} = 2\:a + (n-1)\:d = t_1 + t_n\). La somma dei primi \(n\) termini di una progressione aritmetica è quindi \(n\) volte la media tra il primo e l'ultimo termine.
Con \(a=1\) e \(d=1\) la progressione aritmetica è \(1, 2, 3, \dots\) e la formula \(\eqref{ARIT_A}\) dà \(n + \frac{n \: (n-1)}{2} = \frac{n \: (n+1)}{2}\), cioè la somma dei primi \(n\) numeri naturali (senza lo zero) già vista nella sezione «Alcune sommatorie importanti». Con \(a=1\) e \(d=2\) la progressione è \(1, 3, 5, \dots\) e la formula dà \(n + 2 \: \frac{n \: (n-1)}{2} = n^2\), cioè la somma dei primi \(n\) numeri dispari.

Esempio 7: somma dei primi \(n\) termini di progressioni aritmetiche

Con \(a=1\) e \(d=\frac{1}{2}\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~\frac{3}{2},~~2,~~\frac{5}{2} \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 1 + \frac{3}{2} + 2 + \frac{5}{2} = \frac{2+3+4+5}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

\[ \sum_{k=1}^4 \left( 1 + \frac{1}{2} \: (k-1) \right) = 1 \cdot 4 + \frac{1}{2} \: \left( \frac{4 \cdot 3}{2} \right) = 4 + 3 = 7 \]
Con \(a=2\) e \(d=2\), i primi 4 termini sono:

\[ 2,~~4,~~6,~~8 \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 2 + 4 + 6 + 8 = 20 \]

la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

\[ \sum_{k=1}^4 \big( 2 + 2 \: (k-1) \big) = 2 \cdot 4 + 2 \: \left( \frac{4 \cdot 3}{2} \right) = 8 + 12 = 20 \]

e con la forma equivalente: \(4 \: \left( \frac{2+8}{2} \right) = 4 \cdot 5 = 20\).
Con \(a=1\) e \(d=-\frac{1}{2}\), i primi 4 termini sono:

\[ 1,~~\frac{1}{2},~~0,~~-\frac{1}{2} \qquad {\rm ~~e~~} \qquad 1 + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} = 1 \]

la somma dei primi \(n=4\) termini è data dalla formula:

\[ \sum_{k=1}^4 \left( 1 - \frac{1}{2} \: (k-1) \right) = 1 \cdot 4 - \frac{1}{2} \: \left( \frac{4 \cdot 3}{2} \right) = 4 - 3 = 1 \]

Esercizi su questo capitolo: Sommatorie