Funzioni esponenziali e logaritmiche

Parte 2 · Funzioni · Capitolo 4 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Funzioni esponenziali

Definizione 1: funzioni esponenziali

Dato \(b \in \R_+\setminus \{1\}\), la funzione:

\[\begin{equation} \label{epeonziali} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~~~ f:x \mapsto b^x \end{equation}\]

si chiama funzione esponenziale in base \(b\).

• Per la positività e la monotonia abbiamo:

  \[ b^x> 0, ~~~\forall x \in \R {\rm ~~~e~~~} \begin{cases} {\rm ~~se~~} 0 < b < 1 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~decrescente~in~} \R\\[3ex] {\rm ~~se~~} b > 1 {\rm ~~~allora~} f {\rm ~~è~crescente~in~} \R \end{cases} \]

2. Funzioni logaritmiche

Definizione 2: funzioni logaritmiche

Dato \(a \in \R_{>0}\setminus \{1\}\), la funzione:

\[\begin{equation} \label{epeonziali__2} f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R},~~~ f:x \mapsto \log_a x \end{equation}\]

si chiama funzione logaritmica in base \(a\).

• Per la positività e la monotonia abbiamo:

  \[ \begin{cases} {\rm ~~se~~} 0 < a < 1 & \log_a x > 0,~~ \forall x \in (0,1),~~\log_a x < 0,~~ \forall x \in (1,\ip){\rm ~~~e~~~} f {\rm ~~è~decrescente~in~} \R_{>0} \\[4ex] {\rm ~~se~~} a > 1 & \log_a x < 0,~~ \forall x \in (0,1),~~\log_a x > 0,~~ \forall x \in (1,\ip) {\rm ~~~e~~~} f {\rm ~~è~crescente~in~} \R_{>0} \end{cases} \]

  Inoltre abbiamo:

  \[ \log_a x = 0 \Longleftrightarrow x=1,~~~ \forall a \in \R_{>0}\setminus \{1\} \]

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.

3. Cambiamento di base

Data una qualsiasi base \(c \in \R_{>0}\setminus \{1\}\), tutte le funzioni esponenziali e logaritmiche si possono ricondurre ad un'altra base \(d \in \R_{>0} \setminus \{1\}\) come segue:

\[ c^x = d^{\log_d c^x} = d^{x \; \log_d c} {\rm ~~~~~quindi~con~~} \lambda = \log_d c {\rm ~~~~risulta~~~~~} c^x = d^{\lambda \; x} \]

\[ \log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c} {\rm ~~~~~quindi~con~~} \lambda=\frac{1}{\log_d c} {\rm ~~~~risulta~~~~~} \log_c x= \lambda \; \log_d x \]

La funzione logaritmica in base \(e\) si scrive anche \(\log x\) o \(\ln x\) mentre quella in base \(2\) si scrive anche \(\lg x\).

Esempio 1: grafici di funzioni esponenziali e logaritmiche

Funzioni esponenziali:

Funzioni logaritmiche: