Teoremi d'esame

L'elenco dei risultati teorici del corso da saper enunciare e dimostrare. Accanto a ciascuno, il capitolo delle dispense in cui si trova la dimostrazione.

Come studiarli

Per ogni teorema: leggi l'enunciato e prova a ricostruire da solo la dimostrazione; solo dopo apri il box «Dimostrazione» nel capitolo e confronta.

Numeri

• Formula della somma dei primi \(n\) termini della progressione geometrica — Sommatorie e progressioni geometriche
• Disuguaglianza di Bernoulli — Principio di induzione
• Formula di Newton (coefficienti binomiali) — Fattoriali, coefficienti binomiali e disuguaglianza triangolare
• Disuguaglianza triangolare per numeri reali e complessi — Fattoriali, coefficienti binomiali e disuguaglianza triangolare, Numeri complessi
• \(\R\) non è numerabile — Cardinalità degli insiemi infiniti
• Le funzioni strettamente monotone sono invertibili — Funzioni inverse

Successioni

• Teorema di unicità del limite — Successioni e limiti di successioni
• Teorema di monotonia — Successioni e limiti di successioni
• Teorema dell'algebra dei limiti (caso limiti finiti) — Calcolo dei limiti delle successioni
• Teoremi di permanenza del segno — Successioni e limiti di successioni
• Teoremi del confronto — Calcolo dei limiti delle successioni
• Convergenza della successione di Nepero — Il numero di Nepero
• Teorema del comportamento asintotico — Confronti e stime asintotiche
• Teorema del criterio del rapporto e applicazioni per la gerarchia degli infiniti — Gerarchie degli infiniti e criterio del rapporto
• Convergenza della successione di Erone — Successioni definite per ricorrenza
• Stima degli errori dell'algoritmo di Erone — Successioni definite per ricorrenza

Limiti di funzioni

• Algebra dei limiti (caso limiti finiti) — Calcolo dei limiti di funzioni
• Permanenza del segno — Limiti di funzioni, asintoti e continuità
• Teoremi del confronto — Calcolo dei limiti di funzioni
• Algebra delle funzioni continue — Funzioni continue
• Limiti notevoli — Limiti notevoli e stime asintotiche
• Teorema degli zeri o di Bolzano — Teorema degli zeri e metodo della bisezione
• Errori del metodo della bisezione — Teorema degli zeri e metodo della bisezione
• Teorema di Weierstrass — Teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi
• Teorema dei valori intermedi — Teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi
• Monotonia delle funzioni — Funzioni monotone su un intervallo e invertibilità

Derivate

• Derivate di funzioni elementari — Derivate di funzioni elementari
• Una funzione derivabile è continua — Funzione derivata
• Algebra delle derivate — Regole di calcolo delle derivate
• Derivata della funzione composta — Regole di calcolo delle derivate
• Derivata della funzione inversa — Regole di calcolo delle derivate
• Teorema di Fermat — Teorema del valore medio, massimi e minimi
• Teorema del valor medio o di Lagrange — Teorema del valore medio, massimi e minimi
• Teorema del test di monotonia — Teorema del valore medio, massimi e minimi
• Teorema di De l'Hospital — Teorema di De l'Hospital e derivabilità
• Teorema del limite della funzione derivata — Teorema di De l'Hospital e derivabilità
• Formula di Mac Laurin con resto secondo Peano — Calcolo differenziale e approssimazioni
• Stima dell'errore del metodo di Newton — Metodo di Newton

Serie numeriche

• Se una serie è convergente, la successione dei resti tende a \(0\) — Serie numeriche
• Criterio del confronto — Serie numeriche a termini non negativi
• Criterio del confronto asintotico — Serie numeriche a termini non negativi
• Criterio del rapporto — Serie numeriche a termini non negativi
• Criterio della radice — Serie numeriche a termini non negativi

Integrali ed equazioni differenziali

In preparazione

I capitoli su integrali ed equazioni differenziali non fanno ancora parte delle dispense online. I risultati d'esame di queste parti sono: teorema della media; teorema fondamentale del calcolo integrale e corollario; formule per il calcolo di integrali indefiniti per sostituzione e per parti; soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine; struttura della soluzione generale di un'equazione differenziale lineare non omogenea del primo ordine; formula per una soluzione di un'equazione differenziale lineare non omogenea del primo ordine.