Calcolo differenziale e approssimazioni

Parte 4 · Derivate · Capitolo 8 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Sviluppi asintotici al primo ordine

• Un'operazione molto frequente sia in matematica che nelle sue applicazioni è quella di approssimazione lineare di una data funzione derivabile (operazione anche chiamata sviluppo asintotico al primo ordine).

• Sia \(f : (a, b) \rr \R\) una funzione derivabile in un punto \(x_0 \in (a, b)\). Consideriamo l'argomento \(x_0 + dx\) dovuto all'incremento/decremento \(dx\) rispetto a \(x_0\). In conseguenza, i valori di \(f\) subiscono l'incremento/decremento:

  \[ \Delta f(x_0) = f(x_0 + dx) - f(x_0) \]

  che, in generale, fissato \(x_0\), non è proporzionale a \(dx\) ossia non è lineare rispetto a \(dx\). L'incremento/decremento valutato lungo la retta tangente è:

  \[ df(x_0) = f(x_0)+f'(x_0) \; dx - f(x_0) = f'(x_0) \; dx \]

• Data una funzione \(f\) derivabile in un punto \(x_0\) interno al suo dominio, l'approssimazione lineare consiste nell'approssimare l'incremento/decremento \(\Delta f(x_0)\) dei valori della funzione dovuto a un incremento/decremento dell'argomento da \(x_0\) a \(x_0 + dx\), sostituendo la funzione con la sua retta tangente nel punto \(\big(x_0,f(x_0)\big)\).

• L'idea che sta alla base dell'approssimazione lineare consiste quindi nello stimare \(\Delta f(x_0)\) con \(df(x_0)\). Per avere buone approssimazioni si considerano incrementi molto “piccoli” in valore assoluto, ovvero \(|dx| \ll 1\).

Definizione 1: differenziale di una funzione

Data una funzione \(f : (a, b) \rr \R\), derivabile in un punto \(x_0 \in (a,b)\), si chiama differenziale di \(f\) nel punto \(x_0\) l'incremento/decremento \(df(x_0)\) dei valori della funzione da \(x_0\) a \(x_0+dx\) valutato lungo la retta tangente:

\[ df(x_0) = f'(x_0) \; dx \]

• Date due funzioni \(f\) e \(g\), le regole di calcolo dei differenziali sono analoghe a quelle di derivazione:

  \[ d(f \pm g)(x_0) = df(x_0) \pm dg(x_0),~~~d(f \cdot g)(x_0) = g(x_0) \: df(x_0) + f(x_0) \; dg(x_0) \]
  \[ d\left(\frac{f}{g} \right)(x_0) = \frac{g(x_0) \: df(x_0) - f(x_0) \; dg(x_0)}{g^2(x_0)} \]

• In tutti i tipi di approssimazione occorre fornire informazioni (qualitative o quantitative) sull'errore commesso. Qual è l'errore commesso nell'approssimazione? Quanto vale \(\Delta f(x_0) - df(x_0)\)?

  Per rispondere, osserviamo che \(dx\) equivale a \(x-x_0\), quindi abbiamo:

  \[ \Delta f(x_0) = f(x_0 + x - x_0) - f(x_0) = f(x) - f(x_0)\qquad {\rm e} \qquad df(x_0) = f'(x_0) \; (x-x_0) \]

  Inoltre dalla definizione di derivata abbiamo:

  \[ \lim_{x \rr x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) ~~~~\Rightarrow~~~~ \lim_{x \rr x_0} \left(\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} -f'(x_0) \right)=0 \]
  \[ ~~~~\Rightarrow~~~~ \lim_{x \rr x_0} \left(\frac{f(x) - f(x_0) -f'(x_0)(x-x_0) }{x-x_0} \right)=0 \]

  e dalla definizione di \(o\) piccolo abbiamo:

  \[\begin{equation} \label{DIFF_bis} \underbrace{f(x) - f(x_0)}_{= \Delta f(x_0)} - \underbrace{f'(x_0)\; (x-x_0)}_{=df(x_0)} = o(x-x_0) {\rm ~~~per~~~} x \rr x_0 \end{equation}\]

  Quindi l'errore \(\Delta f(x_0) - df(x_0)\) tende a zero più rapidamente di \((x-x_0)\) per \(x \rr x_0\).

Definizione 2: sviluppo asintotico del primo ordine

Data una funzione \(f : (a, b) \rr \R\), derivabile in un punto \(x_0 \in (a,b)\), si chiama sviluppo asintotico del primo ordine o lineare di \(f\) nel punto \(x_0\) la seguente espressione:

\[\begin{equation} \label{F}f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\; (x -x_0) + o\big(x - x_0 \big) {\rm ~~~per~~~} x \rr x_0 \end{equation}\]

L'espressione \(\eqref{F}\) segue direttamente dalla \(\eqref{DIFF_bis}\) e nel caso \(x_0=0\), abbiamo:

\[\begin{equation} \label{DIFF_tris} f(x) = f(0) + f'(0)\; x + o(x) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \end{equation}\]

Esempio 1: sviluppi asintotici al primo ordine o lineari e errori di approssimazione

Calcoliamo lo sviluppo asintotico al primo ordine o lineare per \(x \rr 0\) di:

\[ f(x) = \sqrt{1+x} \]

Abbiamo \(x_0=0\) e inoltre:

\[ f'(x) = \frac{1}{2\; \sqrt{1+x} }, ~~f'(0) = \frac{1}{2}{\rm ~~~~e~~~~} f(0) = 1 \]

Quindi abbiamo il seguente sviluppo asintotico al primo ordine o lineare:

\[ \sqrt{1+x} = 1+ \frac{1}{2} \; x + o(x) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

Inoltre l'errore commesso dall'approssimazione è:

\[ \underbrace{\sqrt{1+x} - 1}_{=\Delta f(0) =f(x)-f(0)}- \underbrace{\frac{1}{2}\; x}_{=df(0)= f'(0)\; x} = o(x) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

Graficamente abbiamo:

Esempio 2: di sviluppi asintotici al primo ordine o lineari

Calcoliamo lo sviluppo asintotico al primo ordine o lineare per \(x \rr 1\) di:

\[ f(x) = \sqrt{1+x} \]

Abbiamo \(x_0=1\) e inoltre:

\[ f'(x) = \frac{1}{2\; \sqrt{1+x} }, ~~f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{2}}{\rm ~~~~e~~~~} f(1) = \sqrt{2} \]

Quindi abbiamo il seguente sviluppo asintotico al primo ordine o lineare:

\[ \sqrt{1+x} = \sqrt{2}+ \frac{1}{2\; \sqrt{2}} \; (x-1) + o(x-1) {\rm ~~~per~~~} x \rr 1 \]

Inoltre l'errore commesso dall'approssimazione è:

\[ \underbrace{\sqrt{1+x} - \sqrt{2}}_{=\Delta f(1) =f(x)-f(1)}- \underbrace{\frac{1}{2\; \sqrt{2}}\; (x-1)}_{=df(1)= f'(1)\; (x-1)} = o(x-1) {\rm ~~~per~~~} x \rr 1 \]

Graficamente abbiamo:

2. Derivate di polinomi

• Un polinomio di grado \(n\) si può scrivere come:

  \[ P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \quad {\rm ~~con~~} a_i \in \R, {\rm ~per~~} i \in \{0,1,\dots,n\}, ~ {\rm ~~e~~} a_n \neq 0. \]

  Il valore \(a_i\) è il coefficiente del monomio di grado \(i\), con \(i \in \{0,1,\dots,n\}\), mentre \(x^i\) è la parte letterale del monomio, una potenza intera positiva di \(x\). Il valore \(a_0\) è il termine noto (o la parte costante) del polinomio.

Le funzioni derivata prima e seconda di un polinomio di grado \(n\ge 2\) sono:

\[\begin{align*} P'_n(x) &= \sum_{i=1}^n i \; a_{i} \; x^{i-1} &P''_n(x) &= \sum_{i=2}^n (i-1) \cdot i \cdot a_{i} \; x^{i-2}\\[2ex] P'_n(0)&=a_1&P''_n(0)&=2\;a_2 \end{align*}\]

Esempio 3: derivata prima e derivata seconda di un polinomio

Consideriamo il seguente polinomio di grado \(5\):

\[ P_5(x) = 10 + 7\; x + 3\; x^2 - 6\; x^3 + 4\; x^4 - 2\; x^5 \]

la funzione derivata prima è:

\[ P'_5(x) = \red{1} \cdot 7 \; x^{\red{1}-1} + \red{2} \cdot 3\; x^{\red{2}-1} + \red{3} \cdot (-6)\; x^{\red{3}-1} + \red{4} \cdot 4\; x^{\red{4}-1} + \red{5} \cdot (-2)\; x^{\red{5}-1} = 7 + 6 \; x - 18 \; x^2 + 16 \;x^3 - 10 x^4 \]

\[ P'_5(0) = 7 \]

la funzione derivata seconda è:

\[ P''_5(x) = \blue{1} \cdot \red{2} \cdot 3\; x^{\red{2}-2} + \blue{2} \cdot \red{3} \cdot (- 6)\; x^{\red{3}-2} + \blue{3} \cdot \red{4} \cdot 4\; x^{\red{4}-2} + \blue{4} \cdot \red{5} \cdot (-2)\; x^{\red{5}-2} =6 -36\; x+48 \;x^2 -40\; x^3 \]

\[ P''_5(0) = 2\cdot 3 =6 \]

La funzione derivata \(k\)-esima di un polinomio di grado \(n\) con \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) è:

\[\begin{align*} P^{(k)}_n(x) &= \sum_{i=k}^n \underbrace{(i-k+1)\cdot \cdots (i-2) \cdot (i-1) \cdot i}_{=\prod_{j=1}^{k} (i-j+1)} \;\; a_{i} \;\; x^{i-k}\\[2ex] P^{(k)}_n(0)&=k!\; a_k \end{align*}\]

Esempio 4: derivata terza quarta e quinta di un polinomio

Consideriamo il seguente polinomio di grado \(5\):

\[ P_5(x) = 10 + 7\; x + 3\; x^2 - 6\; x^3 + 4\; x^4 - 2\; x^5 \]

la funzione derivata terza è:

\[ P^{(3)}_5(x) = \blue{1} \cdot \blue{2} \cdot \red{3} \cdot (-6)\; x^{\red{3}-3} + \blue{2} \cdot \blue{3} \cdot \red{4} \cdot 4\; x^{\red{4}-3} + \blue{3} \cdot \blue{4} \cdot \red{5} \cdot (-2)\; x^{\red{5}-3} = -36 + 96 x - 120 x^2 \]

\[ P^{(3)}_5(0) = 3!\cdot (-6) = 6 \cdot (-6) = -36 \]

la funzione derivata quarta è:

\[ P^{(4)}_5(x) = \blue{1} \cdot \blue{2} \cdot \blue{3} \cdot \red{4} \cdot 4\; x^{\red{4}-4} + \blue{2} \cdot \blue{3} \cdot \blue{4} \cdot \red{5} \cdot (-2)\; x^{\red{5}-4} = 96 - 240 x \]

\[ P^{(4)}_5(0) = 4!\cdot 4 = 24 \cdot 4 = 96 \]

la funzione derivata quinta è:

\[ P^{(5)}_5(x) = \blue{1} \cdot \blue{2} \cdot \blue{3} \cdot \blue{4} \cdot \red{5} \cdot (-2)\; x^{\red{5}-5} = -240 \]

\[ P^{(5)}_5(0) = 5!\cdot (-2) = 120 \cdot (-2) = -240 \]

• Dato \(x_0 \in \R\), in maniera equivalente, un polinomio di grado \(n\) si può scrivere come:

  \[ P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i \cdot (x-x_0)^i \quad {\rm ~~con~~} a_i \in \R, {\rm ~per~~} i \in \{0,1,\dots,n\}, ~ {\rm ~~e~~} a_n \neq 0. \]

  La funzione derivata \(k\)-esima \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) è in questo caso:

  \[\begin{align*} P^{(k)}_n(x) &= \sum_{i=k}^n (i-k+1)\cdot \cdots (i-2) \cdot (i-1)\cdot i \cdot a_{i} \cdot (x-x_0)^{i-k}\\[2ex] P^{(k)}_n(x_0)&=k!\cdot a_k \end{align*}\]

3. Formula/sviluppo di Taylor con resto secondo Peano

• L'approssimazione lineare (o per linearizzazione) approssima una funzione con la sua retta tangente in un punto \(\big(x_0,f(x_0)\big)\) ovvero un polinomio di primo grado che ha la derivata uguale a quella della funzione nel punto \(x_0\) e come termine costante il valore della funzione in \(x_0\).

  Per semplicità cominciamo a ragionare con \(x_0=0\).

• Con i polinomi di primo grado abbiamo:

  \[ P_1(x) = a_0 + a_1 \; x,~~~~ P'_1(x)= a_1, {\rm ~~~fissando~~~} a_0 = f(0) {\rm ~~e~~} a_1 = f'(0) \]

  dalla \(\eqref{F}\) si ottiene lo sviluppo asintotico al primo ordine:

  \[ f(x) = \underbrace{a_0}_{=f(0)} + \underbrace{a_1}_{=f'(0)} \; x + o(x) \]

  e l'errore commesso utilizzando il polinomio di primo grado al posto della funzione:

  \[ \underbrace{f(x) - a_0}_{\Delta f(0)} - \underbrace{a_1 \; x}_{df(0)} = o(x) \]

  tende a zero più velocemente di una qualsiasi funzione lineare.

• Vogliamo ora generalizzare il procedimento di “approssimazione lineare” a quello di “approssimazione polinomiale”.

Ci chiediamo: data una funzione, derivabile tutte le volte che sarà necessario, esiste un polinomio di grado \(n\ge 2\) che, nell'intorno di un punto fissato, approssima la funzione “meglio” della sua retta tangente? Procediamo in due steps.

Primo step

• Individuiamo un polinomio candidato ad approssimare “bene” la funzione, cercando un polinomio che abbia tutte le derivate fino all'ordine \(n\) uguali a quelle della funzione \(f\), nel punto \(x_0 = 0\). Il polinomio deve essere di grado \(n\) per avere la derivata \(n\)-esima uguale a \(f^{(n)} (0)\).

Teorema 1: del polinomio di MacLaurin

Data una funzione \(f:(a,b)\rr \R\) derivabile \(n-1\) volte in \((a,b)\) e \(n\) volte in \(0 \in (a,b)\), esiste uno e un solo polinomio \(T_{n,f}\) di grado \(\le n\) con la proprietà che:

\[ T_{n,f}(0) = f(0),~~T'_{n,f}(0) = f'(0),~~\dots~~,~~T^{(n)}_{n,f}(0) = f^{(n)}(0) \]

e questo polinomio, detto polinomio di MacLaurin di \(f\) di grado \(n\), è:

\[\begin{align*} T_{n,f}(x) & = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \; x^k \qquad ({\rm posto ~~}f^{(0)}=f) \end{align*}\]

Dimostrazione

Dimostriamo che il polinomio di MacLaurin di una funzione \(f\) che rispetti le ipotesi del teorema ha le stesse derivate in 0 della funzione fino all'ordine \(n\). La derivata \(k\)-esima in \(x_0=0\) del polinomio di MacLaurin di grado \(n\), con \(k \in \{0,1,\dots,n\}\), è:

\[ T^{(k)}_{n,f}(0)=k!\cdot \frac{f^{(k)}(0)}{k!} = f^{(k)}(0) {\rm ~~~~~~e~~con~~~} k=0 {\rm ~~~abbiamo~~~} T_{n,f}(0) = f(0) \]

Quindi tutte le derivate in 0 fino all'ordine \(n\) sono uguali a quelle della funzione \(f\) (e ha lo stesso valore della funzione in \(0\)).

Dimostriamo ora che tale polinomio è unico. Consideriamo ora un polinomio generico di grado \(n\):

\[ P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \quad {\rm ~~con~~} a_i \in \R, {\rm ~per~~} i=0,1,\dots,n, ~ {\rm ~~e~~} a_n \neq 0. \]

La sua derivata \(k\)-esima in \(x_0=0\), con \(k \in \{0,1,\dots,n\}\), è

\[ P^{(k)}_n(0)=k!\cdot a_k \]

Dunque se il polinomio ha la stessa derivata \(k\)-esima della funzione si ha:

\[ k!\cdot a_k = f^{(k)}(0) {\rm ~~~che~implica~~~} a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \]

ovvero i coefficienti del polinomio di MacLaurin. □

La scrittura estesa del polinomio di MacLaurin di grado \(n\) di una funzione \(f\) è:

\[\begin{align*} T_{n,f}(x) & = f(0) + f'(0) \; x + \frac{1}{2} \; f''(0) \; x^2 + \frac{1}{3!} \; f'''(0) \; x^3 + {\rm \dots} + \frac{1}{n!} \; f^{(n)}(0) \; x^n \end{align*}\]

• Quando è chiara la funzione a cui si fa riferimento, per comodità omettiamo il pedice \(f\) del polinomio di MacLaurin e scriviamo semplicemente \(T_{n}(x)\).

Esempio 5: Calcolo del polinomio di MacLaurin

Calcoliamo il polinomio di MacLaurin di grado 3 della funzione

\[ f(x) = \log (1 + x) \]

Abbiamo \(f(0)=0\) e per le derivate abbiamo:

\[ f^{(1)}(x)=\frac{1}{1+x},~f^{(1)}(0)=1,~~~~f^{(2)}(x)=-\frac{1}{(1+x)^2},~f^{(2)}(0)=-1,~~~~f^{(3)}(x)=\frac{2}{(1+x)^3},~ f^{(3)}(0)=2 \]

Quindi il polinomio di MacLaurin di grado 3 della funzione è:

\[ T_3(x)=0+ 1\; x + \frac{1}{2} \; (-1) \; x^2 + \frac{1}{6} \; 2 \; x^3 = x - \frac{1}{2} \; x^2 + \frac{1}{3} \; x^3 \]

La derivata quarta è:

\[ ~~~f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(1+x)^4},~~~~ f^{(4)}(0)=-6 \]

Generalizzando alla derivata \(n\)-esima, ne segue che il polinomio di MacLaurin di grado \(n\) della funzione è:

\[\begin{align*} T_{n}(x) &= x - \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}+ {\rm \dots} + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \end{align*}\]

Esempio 6: Calcolo del polinomio di MacLaurin

Calcoliamo il polinomio di MacLaurin di grado 3 della funzione

\[ f(x) = (1 + x)^{\alpha} \]

Abbiamo \(f(0)=1\) e per le derivate abbiamo:

\[ f^{(1)}(x)=\alpha \; (1 + x)^{\alpha-1},~f^{(1)}(0)=\alpha,~~~~f^{(2)}(x)=(\alpha-1)\alpha \; (1 + x)^{\alpha-2},~f^{(2)}(0)=(\alpha-1)\alpha \]

\[ f^{(3)}(x)=(\alpha-2)(\alpha-1)\alpha \; (1 + x)^{\alpha-3},~f^{(3)}(0)=(\alpha-2)(\alpha-1)\alpha \]

Quindi il polinomio di MacLaurin di grado 3 della funzione è:

\[ T_3(x)=1+ \alpha\; x + \frac{\alpha\;(\alpha-1)}{2}\; x^2 + \frac{\alpha\;(\alpha-1)\;(\alpha-2)}{3!}\; x^3 \]

Ad esempio con \(\alpha = \frac{3}{2}\) abbiamo:

\[ T_3(x)=1+ \frac{3}{2}\; x + \frac{3}{8}\; x^2 - \frac{1}{16} \; x^3 \]

La derivata quarta è:

\[ f^{(4)}(x)=(\alpha-3)(\alpha-2)(\alpha-1)\alpha \; (1 + x)^{\alpha-4},~~~~f^{(4)}(0)=(\alpha-3)(\alpha-2)(\alpha-1)\alpha \]

Generalizzando alla derivata \(n\)-esima, ne segue che il polinomio di MacLaurin di grado \(n\) della funzione è:

\[\begin{align*} T_{n}(x) &= 1 + \alpha\; x + \frac{\alpha\;(\alpha-1)}{2}\; x^2 + \frac{\alpha\;(\alpha-1)\;(\alpha-2)}{3!}\; x^3 +{\rm \dots} + \frac{\alpha\;(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\; x^n \end{align*}\]

Secondo step

• Proviamo ora che il polinomio di MacLaurin approssima “bene” \(f (x)\), in un intorno di \(x_0 = 0\). Precisamente, vale il seguente teorema:

Teorema 2: della formula di MacLaurin all'ordine \(n\) con resto secondo Peano

Sia \(f: (a, b) \rr \R\) , derivabile \(n-1\) volte in \((a,b)\) e \(n\) volte in \(0 \in (a,b)\). Allora

\[ f(x) = T_{n,f}(x) + o \big( x^n \big) {\rm ~~per~~} x \rr 0 \]

• La formula ha la struttura: funzione da approssimare uguale al polinomio approssimante più l'errore di approssimazione. L'errore è il termine \(o \big( x^n \big)\) e viene detto resto secondo Peano. Per \(x \rr 0\), l'errore è tanto più piccolo quanto maggiore è \(n\).

Esempio 7: degli errori delle approssimazioni polinomiali

Consideriamo \(f(x) = \cos x\), abbiamo:

\[ f(0) = 1,~~ f^{(1)}(x) = -\sin x, ~~f^{(1)}(0)= 0, ~~f^{(2)} = -\cos x, ~~f^{(2)}(0)= -1 \]

I polinomi di MacLaurin di primo e secondo grado e gli errori di approssimazione sono:

\[ T_1(x) = 1,~~~T_2(x) = 1 - \frac{1}{2} x^2,~~~~~~\cos x -1 = o(x) {\rm ~~~e~~~} \cos x -1 + \frac{1}{2} \: x^2 = o(x^2) \]

Il polinomio di secondo grado \(T_2(x)\) approssima la funzione \(\cos x\) vicino a \(x_0=0\) “meglio” del polinomio di primo grado \(T_1(x)\). Lo scarto tra la funzione e \(T_2(x)\) tende a zero più rapidamente di \(x^2\); mentre lo scarto con \(T_1(x)\) solo più rapidamente di \(x\).

Dimostrazione

Proviamo il teorema nel caso \(n=2\), ossia:

\[ f(x)= f(0) + f'(0)\; x + \frac{1}{2} \; f''(0) \; x^2 + o\big(x^2\big) {\rm ~~per~~} x \rr 0 \]

Occorre quindi provare che:

\[ f(x) - \left( f(0) + f'(0) \; x + \frac{1}{2} \; f''(0) \; x^2\right) = o\big(x^2\big) {\rm ~~per~~} x \rr 0 \]

ossia (per definizione di \(o\) piccolo) che:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{f(x) - \left( f(0) + f'(0) \; x + \frac{1}{2} \; f''(0) \;x^2 \right)}{x^2} = 0 \]

Questo limite dà una forma di indeterminazione \([0/0]\), applichiamo ora il teorema di De L'Hospital e otteniamo:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{f(x) - \left( f(0) + f'(0) \; x + \frac{1}{2} \; f''(0) \; x^2 \right)}{x^2} = \lim_{x \rr 0} \frac{f'(x) - \left( f'(0) + f''(0) \; x\right)}{2\;x} \]

che è ancora in forma indeterminata \([0/0]\). Applichiamo ancora il teorema di De L'Hospital e otteniamo:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{f'(x) - \left( f'(0) + f''(0) \; x \right)}{2\;x} = \lim_{x \rr 0} \frac{f''(x) - f''(0)}{2} =0 \]

il limite fa \(0\) aggiungendo l'ipotesi che \(f''(x)\) sia continua in \(x=0\).

Vediamo come procedere anche senza chiedere la continuità in 0 di \(f''\) e proviamo direttamente che:

\[ \frac{1}{2} \lim_{x \rr 0} \frac{f'(x) - \left( f'(0) + f''(0) \; x\right)}{x} =0 \]

Per ipotesi, \(f\) è derivabile due volte in 0, quindi \(f'\) è derivabile; se applichiamo l'approssimazione lineare (equazione \(\eqref{DIFF_tris}\)) alla funzione \(f'(x)\) otteniamo:

\[ f'(x) = f'(0) + f''(0)\; x + o(x) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

quindi segue che (definizione di \(o\) piccolo):

\[ \frac{f'(x) - \left( f'(0) + f''(0) \; x\right)}{x} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

□

Dimostrazione

Il caso generale (\(n\) qualsiasi) si può dimostrare per induzione su \(n\). Abbiamo già provato che la tesi vale per \(n = 2\).

Supponiamo ora di sapere che per qualsiasi funzione derivabile \(n - 1\) volte in \(x=0\) vale la formula di MacLaurin, e proponiamoci di dimostrare che

\[\begin{equation} \label{VVV} f(x)= T_{n,f}(x) + o\big(x^n\big) {\rm ~~per~~} x \rr 0 {\rm ~~~ossia~~} \lim_{x \rr 0} \frac{f(x) - T_{n,f}(x)}{x^n} = 0 \end{equation}\]

Applicando il teorema di De L'Hospital, abbiamo:

\[\begin{equation} \label{NNN} \lim_{x \rr 0} \frac{f'(x) - T'_{n,f}(x)}{n\; x^{n-1}} \end{equation}\]

Osserviamo ora che la derivata del polinomio \(T_{n,f}(x)\) di \(f\) non è altro che il polinomio \(T_{n-1,f'}(x)\) della funzione \(f'\):

\[ T'_{n,f}(x) = T_{n-1,f'}(x) \]

come si verifica direttamente dalla definizione di \(T_{n,f}\). D'altro canto, per l'ipotesi induttiva, applicata alla funzione \(f'\), sappiamo che

\[ f'(x) = T_{n-1,f'}(x) + o \big( x^{n-1} \big) {\rm ~~per~~} x \rr 0 {\rm ~~~ossia~~} \lim_{x \rr 0} \frac{f'(x) - T_{n-1,f'}(x)}{x^{n-1}} = 0 \]

quindi il limite \(\eqref{NNN}\) è zero e, per il teorema di De L'Hospital, anche il limite \(\eqref{VVV}\) è zero, come volevamo dimostrare. □

Esempio 8: di calcolo dei polinomi di MacLaurin

Per comprendere meglio l'uguaglianza:

\[ T'_{n,f}(x) = T_{n-1,f'}(x) \]

consideriamo una funzione \(f\), il suo polinomio di MacLaurin ad esempio di grado \(3\) è:

\[ T_{3,f}(x) = f(0) + f'(0) \; x + \frac{1}{2} \; f''(0) \; x^2 + \frac{1}{3!} \; f'''(0) \; x^3 \]

e la derivata del polinomio \(T_{3,f}(x)\) è:

\[ T'_{3,f}(x) = f'(0) + f''(0) \; x + \frac{1}{2} \; f'''(0) \; x^2 \]

Consideriamo ora la sua funzione derivata \(f'(x)\) e calcoliamo il suo polinomio di MacLaurin di grado \(2\):

\[ T_{2,f'}(x) = f'(0) + f''(0) \; x + \frac{1}{2} \; f'''(0) \; x^2 \]

ovvero otteniamo il medesimo polinomio, il ragionamento si estende facilmente al grado \(n\).

• La derivata \(T'_{n,f}(x)\) del polinomio di MacLaurin \(T_{n,f}(x)\) di \(f\) è il polinomio di MacLaurin \(T_{n-1,f'}(x)\) di grado \(n-1\) della funzione derivata \(f'\), ovvero:

  \[\begin{align*} T'_{n,f}(x) &= \sum_{k=1}^n k\;\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \; x^{k-1} = \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(0)}{(k-1)!} \; x^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(0)}{(k)!} \; x^{k} = T_{n-1,f'}(x) \end{align*}\]

Esempio 9: formula o sviluppo di MacLaurin del seno

Consideriamo

\[ f(x) = \sin x \]

\(f(0)=0\) e inoltre abbiamo:

\[ f^{(1)}(x)=\cos x,~~f^{(2)}(x)=-\sin x,~~f^{(3)}(x)=-\cos x,~~f^{(4)}(x)=\sin x=f(x),~~f^{(5)}(x)=\cos x=f^{(1)}(x) \dots \]

Ne segue che le derivate di ordine \(2k\) (pari) sono nulle per \(x = 0\), mentre quelle di ordine \(2k+1\) (dispari) sono alternativamente \(+1\) e \(- 1\) per \(x = 0\). I polinomi di MacLaurin della funzione seno contengono perciò solo termini di grado dispari:

\[\begin{align*} \sin x &= T_1(x) + o(x)= x + o(x) &{\rm ~~~per~~~} x \rr 0\\[2ex] \sin x &= T_3(x) + o(x^3)= x - \frac{x^3}{6}+ o(x^3) &{\rm ~~~per~~~} x \rr 0\\[2ex] \sin x &= T_5(x) + o(x^5)= x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5) &{\rm ~~~per~~~} x \rr 0\\[2ex] \sin x &= T_7(x) + o(x^7)= x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7) &{\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \end{align*}\]

Graficamente i polinomi di MacLaurin per la funzione \(f(x) = \sin x\) sono:

Esempio 10: formula o sviluppo di MacLaurin del coseno

Consideriamo

\[ f(x) = \cos x \]

\(f(0)=1\) e inoltre abbiamo:

\[ f^{(1)}(x)=-\sin x,~~f^{(2)}(x)=-\cos x,~~f^{(3)}(x)=\sin x,~~f^{(4)}(x)=\cos x=f(x),~~f^{(5)}(x)=-\sin x=f^{(1)}(x) \dots \]

Ne segue che le derivate di ordine \(2k+1\) (dispari) sono nulle per \(x = 0\), mentre quelle di ordine \(2k\) (pari) sono alternativamente \(-1\) e \(+1\) per \(x = 0\). I polinomi di MacLaurin della funzione coseno contengono perciò solo termini di grado pari:

\[\begin{align*} \cos x &= T_2(x) + o(x^2)= 1 - \frac{1}{2} \; x^2 + o(x^2) &{\rm ~~~per~~~} x \rr 0\\[2ex] \cos x &= T_4(x) + o(x^4)= 1 - \frac{1}{2} \; x^2 + \frac{x^4}{24} + o(x^4) &{\rm ~~~per~~~} x \rr 0\\[2ex] \cos x &= T_6(x) + o(x^6)= 1 - \frac{1}{2} \; x^2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + o(x^6) &{\rm ~~~per~~~} x \rr 0\\[2ex] \cos x &= T_8(x) + o(x^8)= 1 - \frac{1}{2} \; x^2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} + o(x^8) &{\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \end{align*}\]

Graficamente i polinomi di MacLaurin per la funzione \(f(x) = \cos x\) sono:

Esempio 11: formula o sviluppo di MacLaurin

Consideriamo:

\[ f(x) = e^x {\rm ~~~abbiamo~~~} f^{(n)}(x) = e^x {\rm ~~e~~} f^{(n)}(0)=1, ~~~ \forall n \in \N, n \ge 1 \]

Quindi:

\[ e^x = T_{n}(x) + o \big(~ x^n \big) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o \big(~ x^n \big) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

Esempio 12: Calcolo dei limiti con lo sviluppo di MacLaurin

Vogliamo calcolare:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}=\left[\frac{0}{0}\right] \]

Sviluppando la funzione al primo ordine \(\cos x = 1 + o(x)\), abbiamo:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{1 - \big(1 + o(x)\big)}{x^2}=\lim_{x \rr 0} \frac{o(x)}{x^2} \]

Il simbolo \(o(x)\) per \(x \rr 0\) indica l'insieme delle funzioni che divise per \(x\) tendono a 0 per \(x \rr 0\). Quindi ad esempio \(5\;x^2=o(x)\) ma anche \(x^3=o(x)\) e il valore del limite non può ancora essere determinato. Sviluppando la funzione al secondo ordine \(\cos x = 1 - \frac{1}{2}\; x^2 +o(x^2)\), abbiamo:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}= \lim_{x \rr 0} \frac{1 - \big(1 - \frac{1}{2}\; x^2 +o(x^2) \big)}{x^2} = \lim_{x \rr 0} \frac{ \frac{1}{2}\; x^2 +o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \rr 0} \frac{ \frac{1}{2}\; x^2 +o(x^2)}{x^2}= \lim_{x \rr 0} \frac{1}{2}+ \underbrace{\frac{ o(x^2)}{x^2}}_{\rr 0} = \frac{1}{2} \]

Il simbolo \(o(x^2)\) per \(x \rr 0\) indica l'insieme di funzioni che divise per \(x^2\) tendono a 0 per \(x \rr 0\), quindi il secondo termine tende a 0 per \(x \rr 0\). In maniera equivalente \(\frac{ o(x^2)}{x^2}= o(1)\) ovvero una generica funzione che tende a 0 per \(x \rr 0\).

Esempio 13: Calcolo dei limiti con lo sviluppo di MacLaurin

Vogliamo calcolare:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{e^x - e^{-x} -2\;x}{x -\sin x}=\left[\frac{0}{0}\right] \]

Sviluppando le funzioni al primo ordine abbiamo:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{e^x - e^{-x} -2\;x}{x -\sin x}=\lim_{x \rr 0} \frac{1+x+o(x)-\big(1-x+o(x)\big)-2\;x}{x - (x + o(x))} = \lim_{x \rr 0} \frac{o(x)}{o(x)} \]

Il simbolo \(o(x)\) per \(x \rr 0\) indica l'insieme delle funzioni che divise per \(x\) tendono a 0 per \(x \rr 0\). Quindi ad esempio \(5\;x^2=o(x)\) ma anche \(x^3=o(x)\) e il valore del limite non può ancora essere determinato. Sviluppando le funzioni al secondo ordine abbiamo:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{e^x - e^{-x} -2\;x}{x -\sin x}=\lim_{x \rr 0} \frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-\big(1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\big)-2\;x}{x - (x + o(x^2))} = \lim_{x \rr 0} \frac{o(x^2)}{o(x^2)} \]

Il limite è ancora non risolubile, sviluppando le funzioni al terzo ordine abbiamo:

\[\begin{align*} \lim_{x \rr 0} \frac{e^x - e^{-x} -2\;x}{x -\sin x}&=\lim_{x \rr 0} \frac{1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)-\big(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\big)-2\;x}{x - \big(x -\frac{x^3}{6} + o(x^3)\big)} \\[2ex] & =\lim_{x \rr 0} \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{\frac{x^3}{6} + o(x^3)} = \lim_{x \rr 0} \frac{x^3 \left(\frac{1}{3} +{\frac{o(x^3)}{x^3}} \right)}{x^3 \left(\frac{1}{6} + {\frac{o(x^3)}{x^3}} \right)} =\lim_{x \rr 0} \frac{\frac{1}{3} + o(1)}{\frac{1}{6} + o(1)} = 2 \end{align*}\]

Esempio 14: Calcolo del polinomio di MacLaurin

Calcolare il polinomio di MacLaurin di grado 4 della funzione

\[ f(x) = \log (1 + \sin x) \]

I polinomi di MacLaurin di grado 4 delle funzioni \(\sin x\) e \(\log (1+x)\) sono:

\[ \sin x= x - \frac{x^3}{6},~~~ \log (1+x)= x - \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \]

Quindi, sostituendo, il polinomio di MacLaurin della funzione \(f(x)\) è:

\[\begin{align*} T_4(x) &= \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{\left( x - \frac{x^3}{6} \right)^2}{2}+ \frac{\left( x - \frac{x^3}{6} \right)^3}{3} - \frac{\left( x - \frac{x^3}{6} \right)^4}{4} \end{align*}\]

Abbiamo \(\left( x - \frac{x^3}{6} \right)^2= x^2 - \frac{2 x^4}{6} + \frac{x^6}{36}\) e l'ultimo termine ha grado superiore a 4. Visto che cerchiamo solo i termini fino al grado 4 scartiamo l'ultimo addendo. Facendo lo stesso ragionamento con gli altri numeratori abbiamo:

\[\begin{align*} T_4(x) &= x - \frac{x^3}{6} - \frac{ x^2 - \frac{2 x^4}{6} }{2}+ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} \end{align*}\]

Formule o sviluppi di MacLaurin di alcune funzioni elementari, con il resto di Peano per \(x \rr 0\):

\[\begin{align*} e^x&= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + {\rm \dots} + \frac{x^n}{n!} + o\big(x^n\big)\\[2ex] \log(1+x) &= x - \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3} + {\rm \dots} + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o\big(x^n\big)\\[2ex] (1+x)^{\alpha} &= 1 + \alpha\; x + \frac{\alpha\;(\alpha-1)}{2}\; x^2 + {\rm \dots} + \frac{\alpha\;(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}\; x^n + o\big(x^n\big),~ \forall \alpha \in \R\\[2ex] \sin x&= x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} + {\rm \dots} + (-1)^n\;\frac{x^{2\:n+1}}{(2\:n+1)!} + o\big(x^{2\:n+1}\big) \\[2ex] \cos x&= 1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!} + {\rm \dots} + (-1)^n\;\frac{x^{2\:n}}{(2\:n)!} + o\big(x^{2\:n}\big)\\[2ex] \sinH x&= x + \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} + {\rm \dots} + \frac{x^{2\:n+1}}{(2\:n+1)!} + o\big(x^{2\:n+1}\big) \\[2ex] \cosH x&= 1 + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!} + {\rm \dots} +\frac{x^{2\:n}}{(2\:n)!} + o\big(x^{2\:n}\big) \end{align*}\]

Gli sviluppi chiaramente valgono anche sostituendo a \(x\) una qualsiasi funzione \(\varepsilon(x)\) che tende a 0, ovvero un infinitesimo (non importa per cosa tenda \(x\) in questo caso).

• Tutto questo discorso si può generalizzare ad un punto \(x_0 \neq 0\). Le dimostrazioni sono analoghe a quelle precedenti e sono lasciate per esercizio.

Teorema 3: del polinomio di Taylor

Data una funzione \(f:(a,b)\rr \R\) derivabile \(n-1\) volte in \((a,b)\) e \(n\) volte in \(x_0 \in (a,b)\), esiste uno e un solo polinomio \(T_{n,f,x_0}\) di grado \(\le n\) con la proprietà che:

\[ T_{n,f,x_0}(x_0) = f(x_0),~~T'_{n,f,x_0}(x_0) = f'(x_0),~~\dots~~,~~T^{(n)}_{n,f,x_0}(x_0) = f^{(n)}(x_0) \]

e questo polinomio, detto polinomio di Taylor di \(f\) di grado \(n\), è:

\[\begin{align*} T_{n,f,x_0}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \; (x-x_0)^k \qquad ({\rm posto ~~}f^{(0)}=f) \end{align*}\]

La scrittura estesa del polinomio di Taylor di grado \(n\) di una funzione \(f\) in \(x_0\) è:

\[\begin{align*} T_{n,f,x_0}(x) =& f(x_0) + f'(x_0) \; (x-x_0) + \frac{1}{2} \; f''(x_0) \; (x-x_0)^2 + \frac{1}{3!} \; f'''(x_0) \; (x-x_0)^3 + ~\dots~ \\[2ex] &+ \frac{1}{n!} \; f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \end{align*}\]

• Quando è chiara la funzione a cui si fa riferimento, per comodità omettiamo il pedice \(f\) del polinomio di Taylor e scriviamo semplicemente \(T_{n,x_0}(x)\).

Teorema 4: della formula di Taylor all'ordine \(n\) con resto secondo Peano

Sia \(f: (a, b) \rr \R\) , derivabile \(n-1\) volte in \((a,b)\) e \(n\) volte in \(x_0 \in (a,b)\). Allora

\[ f(x) = T_{n,f,x_0}(x) + o \big(~ (x-x_0)^n \big) {\rm ~~per~~} x \rr x_0 \]

Esempio 15: formula o sviluppo di Taylor

Consideriamo \(x_0=1\) e :

\[ f(x) = e^x {\rm ~~~abbiamo~~~} f^{(n)}(x) = e^x {\rm ~~e~~} f^{(n)}(1)=e, ~~~ \forall n \in \N, n \ge 1 \]

Quindi:

\[ e^x = T_{n,1}(x) + o \big(~ (x-1)^n \big) = e + e\:(x-1) + e\:\frac{(x-1)^2}{2} + e\:\frac{(x-1)^3}{3!} + \dots + e\: \frac{(x-1)^n}{n!} + o \big(~ (x-1)^n \big) {\rm ~~~per~~~} x \rr 1 \]

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.

4. Formula/sviluppo di Taylor con resto secondo Lagrange

• Nella formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano l'informazione che abbiamo sull'errore commesso nell'approssimare \(f\) col suo polinomio di Taylor- MacLaurin è di tipo dinamico: al tendere a zero dell'incremento \((x - x_0 )\), sappiamo che il resto tende a zero più rapidamente di \((x - x_0 )^n\).

Per un valore fissato dell'incremento \((x - x_0 )\) la formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano non dice nulla sull'entità dell'errore commesso.

• In varie questioni di calcolo approssimato è essenziale invece stimare l'errore che si commette approssimando una funzione col suo polinomio di Taylor, quando l'incremento \((x - x_0 )\) ha un valore fissato, o un valore che non supera una soglia fissata.

• A questo tipo di problema risponde il prossimo risultato, che dà un modo alternativo di quantificare l'errore di approssimazione commesso.

Teorema 5: della formula di Taylor all'ordine \(n\) con resto secondo Lagrange

Sia \(f: [a, b] \rr \R\) , derivabile \(n+1\) volte in \([a, b]\) e sia \(x_0 \in [a,b]\). Allora esiste un punto \(c\) compreso tra \(x_0\) e \(x\) tale che:

\[\begin{equation} f(x) = T_{n,f,x_0}(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \;(x-x_0)^{n+1} \label{JJJ} \end{equation}\]

• La formula ha la struttura: funzione da approssimare uguale al polinomio approssimante più l'errore di approssimazione. L'errore è il termine \(\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \;(x-x_0)^{n+1}\) e viene detto resto secondo Lagrange.

• Per \(n =0\), il teorema coincide col teorema di Lagrange, ponendo \(x_0=a\) e \(b=x\) abbiamo:

  \[ \exists c \in [a,b]: f(b) = f(a) + f'(c)\: (b-a) {\rm ~~ovvero ~~} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \]

  che è il teorema di Lagrange. Attenzione: l'intervallo da \((a,b)\) diventa \([a,b]\).

Il punto \(c\) dipende da \(x_0\), \(x\) e \(n\), ed è compreso tra \(x_0\) e \(x\). Se si riesce a dimostrare che

\[\begin{equation} \label{FFFF} |f^{(n+1)}(t)| \le M, ~~~ \forall t \in [x_0,x] \end{equation}\]

allora la formula di Taylor con resto secondo Lagrange dice che

\[\begin{equation} |f(x) - T_{n,x_0}(x)| \le \frac{M}{(n+1)!} \; |x-x_0|^{n+1} \label{GGGG} \end{equation}\]

Esempio 16: stima degli errori col resto secondo Lagrange

Consideriamo \(f(x)=e^x\), sappiamo che i polinomi di MacLaurin al secondo e terzo ordine di \(e^x\) sono:

\[ T_2(x)= 1 + x +\frac{1}{2} \; x^2,~~~T_3(x)= 1 + x +\frac{1}{2} \; x^2 +\frac{1}{6} \; x^3 \]

Ora se volessimo utilizzare il polinomio per calcolare un valore approssimato di \(e^{1/2}\) ossia pensassimo di approssimare

\[ e^{1/2} {\rm ~~~con~~~} T_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{13}{8} {\rm ~~oppure~con~~} T_3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{79}{48} \]

come possiamo stimare a priori (ossia senza conoscere già il valore vero di \(e^{1/2}\)) di quanto stiamo sbagliando?

Abbiamo \(x_0= 0\), \(x =\frac{1}{2}\). Nella formula \(\eqref{JJJ}\) sviluppando fino al terzo grado (\(n=3\)) otteniamo:

\[ e^{1/2} = \underbrace{T_3\left(\frac{1}{2}\right)}_{=\frac{79}{48}} + \frac{e^c}{4!} \left(\frac{1}{2}\right)^4 {\rm ~~~con~~~} c \in \left[0,\frac{1}{2}\right] \]

Il valore \(c\) è ignoto quindi anche il valore \(e^c\) è ignoto, occorre dunque utilizzare la \(\eqref{FFFF}\) per sovrastimare \(e^c\) con la \(\eqref{FFFF}\). Abbiamo:

\[ f^{(4)}(t)=e^t {\rm ~~~~di~conseguenza~~~~} |e^t|\le \underbrace{3^{1/2}}_{=M},~~~ \forall t \in \left[0,\frac{1}{2}\right], {\rm ~~dato~che~~~} e < 3 \]

Quindi dalla \(\eqref{GGGG}\) otteniamo:

\[ \left| e^{1/2} - T_3\left(\frac{1}{2}\right) \right| \le \frac{3^{1/2}}{2^4 \cdot 4!} \]

Questo significa che approssimando \(e^{1/2}\) con il valore \(\frac{79}{48}\) si commette un errore non superiore a \(\sqrt{3}/384\) che vale circa \(0.0045\).

Dimostrazione

Proviamo il teorema nel caso \(n = 1\). Ponendo per comodità \(x_0 = a,~x = b\) l'enunciato diviene: se \(f : [a,b] \rr \R\) è derivabile 2 volte in \([a,b]\), allora esiste un punto \(c \in [a,b]\) tale che:

\[ f(b) = f(a) + f'(a)\: (b-a) + \frac{1}{2} \; f''(c)\: (b-a)^2 \]

Poniamo

\[ f(b) - \big( f(a) + f'(a)\: (b-a) \big) = k \: (b-a)^2 \]

e cerchiamo di determinare la forma di \(k\).

Consideriamo quindi la funzione:

\[ g(x) = f(b) - f(x) - f'(x)\:(b-x) - k \: (b-x)^2 \]

e applichiamo ad essa il teorema del valor medio o di Lagrange. Poiché \(g(b) = g(a) = 0\) (la seconda uguaglianza segue dalla definizione di \(k\)) si trova che esiste \(c \in (a, b)\) tale che

\[ 0 = \frac{g(b) - g(a)}{b - a} = g'(c) \]

Ma abbiamo:

\[ g'(x) = -f'(x) -f''(x)\: (b-x) + f'(x) + 2\:k \:(b-x)=(b-x) \cdot \big(2\:k -f''(x) \big) \]

e quindi \(g'(c)=0\) implica, essendo \(c \neq b\):

\[ k = \frac{1}{2}\: f''(c) \]

Il procedimento appena visto si può estendere per un \(n\) qualsiasi.

Definiamo ora:

\[ g(x) = f(b) - \sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(x)\: (b-x)^j }{j!} -k \: (b-x)^{n+1} \]

con \(k\) definito implicitamente dall'identità

\[\begin{equation} \label{TTTT} f(b) -T_{n,a}(b) = k \: (b-a)^{n+1} \end{equation}\]

□

Dimostrazione

Ora si procede così:

1. Si verifica che \(g(a)=g(b)=0\) dato che

   \[ g(b)=f(b)-f(b)=0, ~~ g(a)=f(b)-T_{n,a}(b)- k \: (b-a)^{n+1} =0 {\rm ~per~def.~di~} k \]

2. Si applica il teorema di Lagrange a \(g\) in \([a,b]\), e si mostra che l'affermazione “esiste \(c \in (a, b)\) tale che \(g'(c) = 0\)” è esattamente il teorema.

   Cominciamo a calcolare \(g'\):

   \[\begin{align*} g'(x)& = - \sum_{j=0}^n \frac{f^{(j+1)}(x)\: (b-x)^j }{j!} + \sum_{j=1}^n \frac{f^{(j)}(x)\: (b-x)^{j-1} }{(j-1)!} + k \: (n+1) \: (b-x)^n \\[2ex] & = - \sum_{j=0}^n \frac{f^{(j+1)}(x)\: (b-x)^j }{j!} + \sum_{j=0}^{n-1} \frac{f^{(j+1)}(x)\: (b-x)^{j} }{j!} + k \: (n+1) \: (b-x)^n \\[2ex] & =- \frac{f^{(n+1)}(x)\: (b-x)^n }{n!} + k \: (n+1) \: (b-x)^n \end{align*}\]

   Allora \(g' (c) = 0\) significa:

   \[ - \frac{f^{(n+1)}(c)\: (b-c)^n }{n!} + k \: (n+1) \: (b-c)^n =0 \]

   ovvero

   \[ k = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \]

   che, inserita nella \(\eqref{TTTT}\), dà la tesi.

□

4.1 Relazioni con la convessità

• Consideriamo la formula \(\eqref{JJJ}\), con \(n=1\):

  \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\: (x-x_0) + \frac{1}{2} \; f''(c)\: (x-x_0)^2 \]

  e supponiamo che in ogni punto di \((a,b)\) si abbia \(f''(x) \ge 0\) ovvero \(f\) sia convessa in \((a,b)\). Allora si ha

  \[ \frac{1}{2} \; f''(c)\: (x-x_0)^2 \ge 0 \]

  e perciò si può scrivere, per ogni coppia di punti \(x_0\) e \(x \in (a,b)\)

  \[\begin{equation} \label{CCCC} f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)\: (x-x_0) \end{equation}\]

  Geometricamente significa che il grafico di \(f (x)\) si mantiene in tutto \((a,b)\) sopra il grafico della sua retta tangente in \(x_0\) (e questo vale per ogni scelta del punto \(x_0 \in (a,b)\)).

  Abbiamo dunque dimostrato che se una funzione (due volte derivabile) è convessa, è anche “convessa per tangenti”

• Se invece \(f\) è concava, ossia \(f'' (x) \le 0\) in tutto \((a, b)\), e abbiamo

  \[\begin{equation} \label{CCCC__2} f(x) \le f(x_0) + f'(x_0)\: (x-x_0) \end{equation}\]

  e il grafico di \(f (x)\) si mantiene in tutto \((a, b)\) sotto il grafico della sua retta tangente in \(x_0\).

  Abbiamo dunque dimostrato che se una funzione (due volte derivabile) è concava, è anche “concava per tangenti”