Funzioni parte intera e mantissa

Parte 2 · Funzioni · Capitolo 7 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Funzioni parte intera e mantissa

• Due funzioni che tipicamente si incontrano nella scrittura di algoritmi sono la funzione parte intera e la funzione mantissa (o parte decimale).

Definizione 1: di funzione parte intera

La funzione parte intera è:

\[\begin{equation} \label{parte_int} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto [x] \qquad ({\rm oppure~~ x \mapsto \lfloor x \rfloor}) \end{equation}\]

Definizione 2: di funzione parte intera superiore

La funzione parte intera superiore è:

\[\begin{equation} \label{parte_ceil} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto \lceil x \rceil \end{equation}\]

Definizione 3: di funzione mantissa

La funzione mantissa è:

\[\begin{equation} \label{parte_int__2} f: \mathbb{R} \rightarrow [0, 1), x \mapsto (x) \end{equation}\]

• La funzione parte intera \(f(x)= \lfloor x \rfloor\) è monotona crescente, come la funzione parte intera superiore \(f(x)= \lceil x \rceil\).

• Grafici delle funzioni \(f(x)=\lceil x \rceil\) e \(f(x)= \lfloor x \rfloor\) nell'intervallo \([-4,4]\).

  

  

• Si noti che la mantissa è una funzione periodica di periodo 1:

  

2. Funzioni definite a tratti

• A partire dalle funzioni elementari se ne possono costruire di nuove usando definizioni analitiche diverse su intervalli diversi.

Definizione 4: di funzione definita a tratti

Una funzione \(f\) il cui valore \(f (x)\) è calcolato mediante “istruzioni” diverse a seconda dell'intervallo in cui cade la \(x\) si chiama funzione definita a tratti.

Esempio 1: Funzioni definite a tratti

Consideriamo ad esempio

\[ f(x)= \begin{cases} \ln x & {\rm if~~} x > 1,\\ x^2 & {\rm if~~} 0 < x \le 1,\\ x & {\rm if~~} x \le 0 \end{cases} \]

il suo grafico è:

• Dal punto di vista logico / algoritmico, si può dire che una funzione di questo tipo ha la particolarità di essere costruita utilizzando non solo le funzioni matematiche ma anche la funzione logica “se … allora”.