Sommatorie
Esercizi · Numeri e logica · con le soluzioni svolte · PDF
Esercizio 1
Dimostrare utilizzando le proprietà delle sommatorie che, per ogni intero \(n \ge 1\), abbiamo:
\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\:(n+1)\:(2\:n+1)}{6}
\]
(somma dei quadrati dei primi \(n\) numeri naturali senza lo zero).
Soluzione
Partiamo scrivendo in due modi diversi la somma: \(\sum_{k=0}^n (k+1)^3\)
\[\begin{align*}
1)~~~\sum_{k=0}^n (k+1)^3 &=\sum_{k=0}^n(k^3+3\:k^2+3\:k+1)\\[2ex]
&= \left( \sum_{k=1}^n k^3 + 3\: \sum_{k=1}^n k^2 + 3\: \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 \right) +1 \\[2ex]
&=\sum_{k=1}^n k^3 + 3\: \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{3\:n\:(n+1)}{2} +n +1\\[5ex]
2)~~~ \sum_{k=0}^n (k+1)^3&=\sum_{k=1}^{n+1} k^3=\sum_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3
\end{align*}\]
Uguagliando e cancellando la somma con \(k^3\) otteniamo:
\[
3\: \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{3\:n\:(n+1)}{2} +n +1= (n+1)^3
\]
Isolando quella con \(k^2\) otteniamo:
\[\begin{align*}
3\: \sum_{k=1}^n k^2 &= (n+1)^3 - \frac{3\:n\:(n+1)}{2} -n -1 \\[2ex]
&= n^3 + 3n^2 +3n+1 - \frac{3n^2+3n}{2} -n -1\\[2ex]
&= \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}
\end{align*}\]
Quindi:
\[\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k^2 &= \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} = \frac{n\:(n+1)\:(2\:n+1)}{6}
\end{align*}\]
Esercizio 2
Dimostrare utilizzando le proprietà delle sommatorie che, per ogni intero \(n \ge 1\), abbiamo:
\[
\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2\:(n+1)^2}{4}
\]
(somma dei cubi dei primi \(n\) numeri naturali senza lo zero). Ovvero che abbiamo:
\[
\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2\:(n+1)^2}{4} = \left(\frac{n\:(n+1)}{2}\right)^2= \left(\sum_{k=1}^{n} k \right)^2
\]
e quindi la somma dei cubi è uguale al quadrato della somma dei numeri naturali.
Soluzione
Partiamo scrivendo in due modi diversi la seguente somma: \(\sum_{k=0}^n (k+1)^4\).
\[\begin{align*}
1)~~~\sum_{k=0}^n (k+1)^4 &=\sum_{k=0}^n(k^4+4\:k^3+6\:k^2+4\:k+1)\\[2ex]
&= \left( \sum_{k=1}^n k^4 + 4\: \sum_{k=1}^n k^3 + 6\: \sum_{k=1}^n k^2 + 4\: \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 \right) +1 \\[2ex]
&=\sum_{k=1}^n k^4 + 4\: \sum_{k=1}^n k^3 + n\:(n+1)\:(2\:n+1) + 2\:n\:(n+1) +n +1\\[2ex]
&=\sum_{k=1}^n k^4 + 4\: \sum_{k=1}^n k^3 + 2n^3 + 5n^2 +4n +1\\[2ex]
2)~~~ \sum_{k=0}^n (k+1)^4&=\sum_{k=1}^{n+1} k^4=\sum_{k=1}^n k^4 + (n+1)^4
\end{align*}\]
Uguagliando e cancellando la somma con \(k^4\) otteniamo:
\[
4\: \sum_{k=1}^n k^3 +
2n^3 + 5 n^2 +4n +1 = (n+1)^4
\]
Isolando quella con \(k^3\) otteniamo:
\[\begin{align*}
4\: \sum_{k=1}^n k^3 &= n^4 + 4n^3 +6n^2 + 4n +1 -
2n^3 - 5 n^2 -4n -1 = n^4 + 2n^3 + n^2
\end{align*}\]
Quindi:
\[\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k^3 & = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4} = \frac{n^2\:(n+1)^2}{4}
\end{align*}\]