Metodi di Newton

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Esercizio 1

Considerare

\[ f(x) = e^{-x} - x \]

e verificare se il metodo di Newton può essere applicato nell'intervallo \([0,1]\). In caso positivo trovare una stima di \(x \in[0,1]\) tale che:

\[ e^{-x} - x = 0 \]

Soluzione

Consideriamo la funzione:

\[ f(x) = e^{-x} - x, ~~~f'(x) = -e^{-x}-1, ~~~f''(x) = e^{-x} \]

Abbiamo:

\[ f(0) =1>0 {\rm ~~~e~~~} f(1) <0 \]

Consideriamo l'intervallo \([0,1]\), abbiamo per \(x \in [0,1]\):

\[ f'(x) < 0 {\rm ~~~e~~~} f''(x) > 0 \]

Soluzione

Quindi nell'intervallo \([0,1]\) la funzione \(f(x) = e^{-x} - x\) rispetta le ipotesi del teorema.

Siamo nel caso di funzione strettamente decrescente in \([0,1]\), dato che \(f'(x)<0, x \in [0,1]\). E funzione convessa in \([0,1]\), dato che \(f''(x)>0, x \in [0,1]\). Gli estremi dell'intervallo scelto sono: \(a=0\) e \(b=1\).

Vale l'ipotesi 3, ovvero \(f(0) \cdot f''(0) >0\) e la successione diventa:

\[ x_0 =0, \qquad x_{n+1} = x_n - \frac{e^{-x_n} - x_n}{-e^{-x_n}-1} = \frac{x_n+1}{1+e^{x_n}} {\rm ~~con~~} n \in \N \]

Dato che

\[\begin{align*} x_n - \frac{e^{-x_n} - x_n}{-e^{-x_n}-1} &= x_n + \frac{e^{-x_n} - x_n}{e^{-x_n}+1}=x_n + \frac{e^{-x_n}}{e^{-x_n}} \frac{1 - e^{x_n}\;x_n}{1+e^{x_n}} \\[2ex] &= \frac{x_n(1+e^{x_n})+1-e^{x_n}x_n}{1+e^{x_n}} = \frac{x_n+1}{1+e^{x_n}} \end{align*}\]

quindi abbiamo:

\[ x_0=0,~~~x_1=0.5,~~~x_2=0.5663\dots,~~~x_3=0.5671\dots,~~~x_4=0.5671\dots,~~~x_5=0.5671\dots \]

Soluzione

Alla prima iterazione la retta tangente è:

\[ y = 1 - 2 \; x {\rm ~~e~~} x_1 = 0 - \frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \]