Calcolo dei limiti di funzioni
Parte 3 · Limiti di funzioni e continuità · Capitolo 2 · dalle dispense di Fabio Furini ·
1. Il calcolo dei limiti di funzioni
Enunciamo i teoremi sui limiti di funzioni che discendono immediatamente dai corrispondenti teoremi sui limiti di successioni e dalla definizione successionale di limite
1.1 Teorema dell'algebra dei limiti
Teorema 1: dell'algebra dei limiti caso dei limiti finiti
Ipotesi per \(x \rr c\) :
\[
\textbf{1.} ~~ f(x) \rr \ell_1 \in \R, \qquad \textbf{2.} ~~ g(x) \rr \ell_2 \in \R.
\]
Tesi per \(x \rr c\) :
\[
\textbf{1.} ~~ f(x)\pm g(x) \rr \ell_1 \pm \ell_2, \qquad \textbf{2.} ~~ f(x) \: g(x) \rr \ell_1 \: \ell_2,
\]
\[
\textbf{3.} ~~ \frac{f(x)}{g(x)} \rr \frac{\ell_1}{\ell_2} ~~~~~~( \ell_2 \neq 0, g(x) \neq 0, {\rm ~~definitivamente~per~~} x \rr c).
\]
Dimostrazione
Sia \(\{x_n\}\) una qualsiasi successione tale che
\[
x_n \neq c, \forall n, {\rm ~~e~~} x_n \rr c {\rm ~~per~~} n \rr +\infty.
\]
Per ipotesi si ha che
\[
f(x_n) \rr \ell_1 {\rm ~~e~~} g(x_n) \rr \ell_2 ~~~ (\ell_1,\ell_2 \in \R).
\]
Dal teorema sull'algebra dei limiti per successioni si conclude quindi che
\[
f(x_n) \pm g(x_n) \rr \ell_1 \pm \ell_2,
\]
e quindi
\[
f(x) \pm g(x) \rr \ell_1 \pm \ell_2.
\]
In modo perfettamente analogo si dimostrano le tesi 2 e 3 del teorema. □
1.2 Teoremi di permanenza del segno
Nei prossimi enunciati \(\ell\) e \(c\) saranno punti di \(\R^*\) salvo avviso contrario.
Teorema 2: di permanenza del segno \(1^a\) forma
Ipotesi:
\[
\textbf{1.} ~~f(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c, \qquad \textbf{2.} ~~ \ell \lessgtr 0.
\]
Tesi:
\[
f(x) \lessgtr 0 {\rm ~~definitivamente~per~} x \rr c.
\]
Dimostrazione
Sia \(\{x_n\}\) una qualsiasi successione tale che
\[
x_n \neq c, \forall n, {\rm ~~e~~} x_n \rr c {\rm ~~per~~} n \rr +\infty
\]
Abbiamo per l'ipotesi
\[
f(x_n) \rr \ell > 0
\]
quindi per il teorema di permanenza del segno per successioni, applicato alla successione \(\big\{f(x_n)\big\}\) , si conclude che
\[
f(x_n) > 0, ~~~~{\rm definitivamente}.
\]
Poiché questo vale per ogni successione tale che \(x_n \rr c\) , si conclude che
\[
f(x) > 0, {\rm ~~definitivamente,~per~~} x \rr c
\]
□
Teorema 3: di permanenza del segno per funzioni \(2^a\) forma
Ipotesi:
\[
\textbf{1.} ~~ f(x) \rr \ell \in \R {\rm ~~per~~} x \rr c,
\]
\[
\textbf{2.} ~~ f(x)\ge 0 {\rm ~~definitivamente~per~~} x \rr c.
\]
Tesi:
\[
\ell \ge 0.
\]
Dimostrazione
Deriva dal corrispettivo teorema per le successioni. □
Per le funzioni abbiamo anche il seguente teorema di permanenza del segno.
Teorema 4: di permanenza del segno per funzioni continue
Ipotesi:
\[
\textbf{1.} ~~ f {\rm ~~è~continua~in~~} c \in \R, \qquad \textbf{2.} ~~ f(c)>0.
\]
Tesi:
\[
f(x)>0 {\rm ~~definitivamente~per~~} x \rr c.
\]
Dimostrazione
Se \(f\) è continua in \(c\) , allora
\[
f(c) = \lim_{x \rr c} f(x)
\]
quindi l'ipotesi \(f(c)>0\) significa che
\[
f(c) = \lim_{x \rr c} f(x) > 0
\]
e questo per il teorema di permanenza del segno \(1^a\) forma implica che
\[
f(x) > 0 {\rm ~~definitivamente~per~~} x \rr c.
\]
□
1.3 Teorema del confronto
Teorema 5: del confronto
Ipotesi:
\[
\textbf{1.} ~~ f(x) \rr \ell {\rm ~~e~~} g(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c,
\]
\[
\textbf{2.} ~~ f(x) \le h(x) \le g(x) {\rm ~~definitivamente~per~~} x \rr c.
\]
Tesi:
\[
h(x) \rr \ell {\rm ~~per~~} x \rr c.
\]
Dimostrazione
Sia \(\{x_n\}\) una qualsiasi successione tale che
\[
x_n \neq c, \forall n, {\rm ~~e~~} x_n \rr c {\rm ~~per~~} n \rr +\infty
\]
Vogliamo provare che
\[
h(x_n) \rr \ell {\rm ~~per~~} n \rr +\infty
\]
Per ipotesi sappiamo che:
\[
f(x_n) \le h(x_n) \le g(x_n), {\rm ~~definitivamente,}
\]
\[
f(x_n) \rr \ell {\rm~~e~~} g(x_n) \rr \ell, {\rm ~~per~~} x_n \rr c
\]
Quindi, per il teorema del confronto delle successioni:
\[
\big\{f(x_n)\big\},~~ \big\{h(x_n)\big\}~~ {\rm e~~} \big\{g(x_n)\big\}
\]
si conclude che
\[
h(x_n) \rr \ell {\rm ~~per~~} n \rr +\infty
\]
□
Corollario 1: del teorema del confronto (parte I)
Ipotesi:
\[
\textbf{1.} ~~ g(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c,
\]
\[
\textbf{2.} ~~ |h(x)| \le g(x) {\rm ~~definitivamente~per~~} x \rr c.
\]
Tesi:
\[
h(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c.
\]
Dimostrazione
Deriva dal corrispondente corollario sulle successioni. □
Esempio 1: Corollario del teorema del confronto
Proviamo che:
\[
\lim_{x \rr 0} x \: \sin \frac{1}{x} = 0
\]
Abbiamo
\[
x \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr 0 {\rm ~~e~~} \lim_{x \rr 0} \sin \frac{1}{x} {\rm ~~non~esiste~}
\]
quindi non si può applicare il teorema Teorema 1 dell'algebra dei limiti per funzioni.
Abbiamo
\[
\left|\sin \frac{1}{x}\right| \le 1 {\rm~~quindi~~} \left|x \: \sin \frac{1}{x}\right| \le |x| {\rm ~~e~~} |x| \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr 0.
\]
Quindi, per il corollario Corollario 1 del teorema del confronto per funzioni abbiamo:
\[
x \: \sin \frac{1}{x} \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr 0.
\]
Corollario 2: del teorema del confronto (parte II)
Ipotesi:
\[
\textbf{1.} ~~ f(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c,
\]
\[
\textbf{2.} ~~ g(x) {\rm ~~è~limitata,~definitivamente,~per~~} x \rr c.
\]
Tesi:
\[
f(x) \: g(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c.
\]
Dimostrazione
Deriva dal corrispondente corollario sulle successioni. □
Esempio 2: Corollario del teorema del confronto
Proviamo che:
\[
\lim_{x \rr \ip} \frac{x + \sin x}{2\: x + \cos x}= \frac{1}{2}
\]
Fattorizzando otteniamo
\[
\frac{x + \sin x}{2\: x + \cos x} = \frac{x \left( 1+ \frac{\sin x}{x} \right)}{2\:x \left( 1+ \frac{\cos x}{2\:x} \right)} = \frac{1}{2} \left(\frac{ 1+ \frac{\sin x}{x} }{ 1+ \frac{\cos x}{2\:x} } \right)
\]
Per il corollario Corollario 2 del teorema del confronto per funzioni, abbiamo:
\[
\frac{\sin x}{x} \rr 0 {\rm ~~e~~} \frac{\cos x}{2\: x} \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr \ip.
\]
Allora per il teorema Teorema 1 sull'algebra dei limiti, abbiamo quindi:
\[
\frac{x + \sin x}{2\: x + \cos x} \rr \frac{1}{2} {\rm ~~per~~} x \rr \ip.
\]
1.4 Teoremi di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito
Teorema 6: di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (addizione)
Ipotesi per \(x \rr c\) :
\[
\textbf{1.} ~~ f(x) \rr \ell \in \R, \qquad \textbf{2.} ~~ g(x) \rr \ip, \qquad \textbf{3.} ~~ h(x) \rr \ip.
\]
Tesi per \(x \rr c\) :
\[
\textbf{1.} ~~ f(x) + g(x) \rr \ell \ip = \ip, \qquad \textbf{2.} ~~ f(x) - g(x) \rr \ell \im = \im,
\]
\[
\textbf{3.} ~~ g(x) + h(x) \rr \ip \ip = \ip, \qquad \textbf{4.} ~~ -g(x) - h(x) \rr \im \im = \im.
\]
Dimostrazione
Deriva dal corrispettivo teorema per le successioni. □
Teorema 7: di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (prodotto)
Ipotesi per \(x \rr c\) :
\[
\textbf{1.} ~~ f(x) \rr \ell \in \R, \qquad \textbf{2.} ~~ g(x) \rr 0, \qquad \textbf{3.} ~~ h(x) \rr \infty.
\]
Tesi per \(x \rr c\) :
\[
\textbf{1.} ~~ f(x) \:\: h(x) \rr \ell \cdot \infty = \infty \quad (\ell \neq 0),
\qquad
\textbf{2.} ~~ \frac{f(x)}{g(x)} \rr \frac{\ell}{0} = \infty \quad (\ell \neq 0),
\]
\[
\textbf{3.} ~~ \frac{f(x)}{h(x)} \rr \frac{\ell}{\infty} = 0.
\]
Dimostrazione
Deriva dal corrispettivo teorema per le successioni. □
Come per le successioni, il segno di \(\infty\) va determinato con la regola dei segni .
Esempio 3: Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito
\[
\lim_{x \rr \im} \left(\frac{1}{x} - 2\right) \: x^3 = \ip
\]
In quanto \(\left(\frac{1}{x} - 2\right) \rr -2 {\rm ~~e~~} x^3 \rr \im \quad {\rm per~~} x \rr \im\) .
2. Teorema del cambio di variabile nel limite
Teorema 8: del cambio di variabile nel limite
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni per cui è definita la composizione \(f \circ g\) , almeno definitivamente per \(x \rr x_0 \in \R^*.\) Se:
\[
1.~~~ \lim_{x \rr x_0} g(x) = t_0 \in \R^*,~~~2.~~~ \lim_{t \rr t_0} f(t) = \ell \in \R^*
\]
\[
3.~~~ g(x) \neq t_0, {\rm ~~~definitivamente,~per~~~} x \rr x_0
\]
Allora:
\[
\lim_{x \rr x_0} f\big(g(x)\big) = \lim_{t \rr t_0} f(t).
\]
L'ipotesi \(3.\) non è necessaria nel caso in cui \(f\) sia continua in \(t_0\) , oppure se \(t_0= \pm \infty\) .
Dimostrazione
Sia \(\{x_n\}\) una qualsiasi successione tale che
\[
x_n \neq x_0, \forall n, {\rm ~~e~~} x_n \rr x_0 {\rm ~~per~~} n \rr +\infty.
\]
Abbiamo
\[
g(x_n) \rr t_0 {\rm ~~per~~} n \rr +\infty ~~({\rm per~l'ipotesi}~1)
\]
e
\[
g(x_n) \neq t_0, {\rm ~~definitivamente~~} ~({\rm per~l'ipotesi}~3).
\]
Perciò
\[
f\big(g(x_n)\big) \rr \ell ~~({\rm per~l'ipotesi}~2).
\]
Se \(t_0= \pm \infty\) la condizione \(g(x) \neq \pm \infty\) è ovviamente verificata, mentre se \(f\) è continua in \(t_0\) , \(\ell = f(t_0)\) , perciò nel caso risultasse \(g(x_n)= t_0\) per qualche \(n\) si avrebbe
\[
f\big(g(x_n)\big)= f(t_0)= \ell
\]
e quindi la convergenza
\[
f\big(g(x_n)\big) \rr \ell {\rm ~~per~~} n \rr +\infty
\]
sarebbe comunque garantita. □
Esempio 4: Calcolo del limite col teorema del cambio di variabile nel limite
Calcoliamo il limite
\[
\lim_{x \rr \ip} \log \left ( \frac{2\:x^3+4\:x+1}{5\:(x+1)^3} \right)
\]
Le funzioni \(f\) e \(g\) sono:
\[
g(x) = \left ( \frac{2\:x^3+4\:x+1}{5\:(x+1)^3} \right) {\rm ~~~~e~~~~} f(t) = \log t.
\]
Abbiamo \(t=g(x)\) e
\[
(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = \log \left ( \frac{2\:x^3+4\:x+1}{5\:(x+1)^3} \right) ~~~~{\rm e ~~~~} x_0 = \ip.
\]
Calcoliamo
\[
\lim_{x \rr \ip} g(x) = \frac{2}{5} ~~~~{\rm e ~di~conseguenza~~~} t_0 = \frac{2}{5}.
\]
Ora calcoliamo
\[
\lim_{t \rr 2/5} \log t = \log{\frac{2}{5}} \quad({\rm il~logaritmo~come~vedremo~è ~continuo~in~} \R_+)
\]
Quindi
\[
\lim_{x \rr \ip} f\big(g(x)\big) = \log{\frac{2}{5}}
\]
Inoltre:
\[
\lim_{x \rr 0} f\big(g(x)\big)=\log{\frac{1}{5}}
\]
utilizzando il teorema abbiamo:
\[
\lim_{x \rr 0} g(x) = \frac{1}{5} {\rm ~~~e~~~} \lim_{t \rr 1/5} \log t = \log{\frac{1}{5}}
\]
dato che
\[
\lim_{x \rr 0} 2\:x^3+4\:x+1 = 1 {\rm ~~~e~~~} \lim_{x \rr 0} 5\:(x+1)^3= 5
\]
Esempio 5: Calcolo del limite col teorema del cambio di variabile nel limite
Calcoliamo i limiti
\[
\lim_{x \rr 0^+} e^{\frac{1}{x}} {\rm ~~~~e~~~~} \lim_{x \rr 0^-} e^{\frac{1}{x}}.
\]
Le funzioni \(f\) e \(g\) sono:
\[
g(x) = \frac{1}{x} {\rm ~~~~e~~~~} f(t) = e^t.
\]
Abbiamo \(t=g(x)\) e
\[
(f \circ g) (x) = f\big(g(x)\big) = e^{\frac{1}{x}}~~~~{\rm inoltre ~~~~} x_0 = 0^+ {\rm ~~~~e~~~~} x_0 = 0^-.
\]
\(\frac{1}{x} \rr \ip\) per \(x \rr 0^+\) e quindi \(t_0=\ip\) . Ora calcoliamo:
\[
\lim_{t \rr \ip} e^t = \ip {\rm ~~~~quindi~~~~}
\lim_{x \rr 0^+} e^{\frac{1}{x}} = \ip.
\]
\(\frac{1}{x} \rr \im\) per \(x \rr 0^-\) e quindi \(t_0=\im\) . Ora calcoliamo:
\[
\lim_{t \rr \im} e^t = 0 {\rm ~~~~quindi~~~~} \lim_{x \rr 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0.
\]
