Fenomeni vibratori

Parte 2 · Funzioni · Capitolo 6 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Fenomeni vibratori

• Abbiamo visto che le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo \(2\: \pi\). Useremo la variabile \(t\) per indicare il tempo.

  

• Ricordiamo che \(\sin (t + \varphi)\) corrisponde a una transizione di fase \(\varphi\) (traslazione orizzontale).

  

Le funzioni:

\[\begin{equation} \label{trig_vibr} t \mapsto a\: \sin \:(\omega \: t), \qquad\qquad t \mapsto b\: \cos \:(\omega \: t) \end{equation}\]

dove \(a\), \(b\) e \(\omega\) sono numeri reali positivi, sono chiamate vibrazioni elementari. Sono funzioni periodiche di

\[ {\rm \textbf{periodo}~~~} T = \frac{2\:\pi}{\omega} \]

Esempio 1: periodo

Per esempio considerando \(t' = t + \frac{2\: \pi}{\omega}\):

\[ \sin \left[ \omega \underbrace{\left( t + \frac{2\: \pi}{\omega} \right)}_{t'}\right] = \sin (\omega \: t + 2\: \pi) = \sin \omega \: t \]

• Chiaramente abbiamo:

  \[ |a\: \sin \:(\omega \: t)| \le a \qquad{\rm ~~e~~}\qquad |b\: \cos \:(\omega \: t)| \le b \]

Le funzioni \(\eqref{trig_vibr}\) descrivono vibrazioni elementari caratterizzate da

\[ {\rm \textbf{ampiezza}~~} a {\rm ~~e~~} b {\rm ~~~~(rispettivamente)} \]

\[ {\rm \textbf{pulsazione}~~} \omega = \frac{2\: \pi}{T} \]

detta anche velocità angolare, che indica quanti periodi ci sono in un intervallo di \(2\: \pi\). Inoltre sono caratterizzate dalla

\[ {\rm \textbf{frequenza}~~} \nu = \frac{\omega}{2\:\pi} \]

che indica quante volte la funzione si ripete in un intervallo di lunghezza \(1\)

Esempio 2: di ampiezza, pulsazione e frequenza

\[ t \mapsto 2\: \sin \:\left( \frac{3}{2} \: t \right) \qquad a=2,~ \omega=\frac{3}{2},~ T=\frac{4\:\pi}{3} \]

La pulsazione \(\omega=\frac{3}{2}\) significa che ci sono 1.5 periodi nell'intervallo \(2 \: \pi\). La frequenza \(\nu\) è \(\frac{3}{4\:\pi}\).

• La funzione

  \[\begin{equation} \label{EEE} h(t) = a\: \sin \:(\omega \: t) + b\: \cos \:(\omega \: t) \end{equation}\]

  descrive la sovrapposizione delle due vibrazioni elementari di uguale pulsazione \(\omega\). Quest'ultima è ancora una vibrazione elementare sfasata rispetto alle precedenti.

• Infatti, posto

  \[ A= \sqrt{a^2 + b^2} \]

  si può scrivere

  \[\begin{equation} \label{EEEE} h(t) = A \: \underbrace{\frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2}}}_{\alpha} \: \sin \:(\omega \: t) + A \: \underbrace{\frac{b}{ \sqrt{a^2 + b^2}}}_{\beta} \: \cos \:(\omega \: t) \end{equation}\]

• Osserviamo ora che i numeri

  \[ \alpha=\frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2}} {\rm ~~e~~} \beta=\frac{b}{ \sqrt{a^2 + b^2}} \]

  soddisfano le condizioni

  \[ -1 \le \alpha \le 1 \qquad -1 \le \beta \le 1 \qquad \alpha^2 + \beta^2=1 \]

  Esiste quindi un unico angolo \(\varphi\) tale che

  \[ \cos \varphi = \alpha \qquad \sin \varphi = \beta \]

  cosicché la \(\eqref{EEEE}\) si può riscrivere nella forma seguente

  \[\begin{align} \label{EEEEE} h(t) & = A \: \cos \varphi \: \sin (\omega \:t) + A \: \sin \varphi \: \cos (\omega \:t)\nonumber\\[2ex] & = A \: \sin (\omega\:t + \varphi) \end{align}\]

  Dunque \(h(t)\) rappresenta una vibrazione elementare di ampiezza \(A\), pulsazione \(\omega\), sfasata di un angolo \(\varphi\).

  

In sintesi:

\[\begin{align*} a\: \sin \:(\omega \: t) + b\: \cos \:(\omega \: t) = A \: \sin (\omega\:t + \varphi)\\[2ex] A = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \begin{cases} a= A \: \cos \varphi \\ b= A \: \sin \varphi \end{cases} \end{align*}\]

• Sotto condizioni abbastanza generali; un fenomeno naturale periodico si potrà scrivere come sovrapposizione di un numero finito o infinito di vibrazioni elementari di frequenza diversa (serie di Fourier).

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.

2. Effetti di smorzamento o di amplificazione

• Moltiplicando una vibrazione elementare per potenze o esponenziali si possono modellizzare effetti di smorzamento o di amplificazione.

Primo esempio

• Per esempio, consideriamo la funzione

  \[ h(t) = t \: \sin \:(\omega \: t) \]

  modellizza una vibrazione amplificata.

• Essendo \(-1 \le \sin \:(\omega \: t) \le 1\) si ha

  \[ -t \le t \: \sin \:(\omega \: t) \le t \]

  e quindi il grafico di \(h(t)\) si trova tra i grafici delle rette di equazione \(y = -t\), \(y = t\).

• Nei punti in cui

  \[ \sin \:(\omega\:t) = 1 \]

  cioè

  \[ t = \frac{\pi}{2 \: \omega} + k \: \frac{2\:\pi}{\omega} \qquad (k=0,1,2,\dots) \]

  il grafico di \(h(t)\) tocca quello di \(y=t\).

• Nei punti in cui

  \[ \sin \:(\omega\:t) = -1 \]

  cioè

  \[ t = \frac{3\: \pi}{2 \: \omega} + k \: \frac{2\:\pi}{\omega} \qquad (k=0,1,2,\dots) \]

  il grafico di \(h(t)\) tocca quello di \(y=-t\).

  

• Dal grafico si vede come la moltiplicazione per \(t\) abbia l'effetto di una moltiplicazione della vibrazione, all'aumentare di \(t\).

Secondo esempio

• Per esempio, consideriamo la funzione

  \[ k(t) = e^{-\alpha\:t} \: \sin \:(\omega \: t) \qquad (\alpha > 0) \]

  modellizza una vibrazione smorzata.

• Ricordando che

  \[ e^{-\alpha\:t} = \left(\frac{1}{e^{\alpha}}\right)^t \]

  è un'esponenziale con base minore di \(1\), considerazioni analoghe a quelle svolte per la funzione \(h(t)\), indicano che il grafico di \(k\) è compreso tra i grafici delle funzioni

  \[ y_1 = e^{-\alpha\:t} {\rm ~~~~e~~~~} y_2 = -e^{-\alpha\:t} \]

  come in figura: