Limiti di polinomi e funzioni razionali

Parte 3 · Limiti di funzioni e continuità · Capitolo 3 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Limiti di polinomi a \(\pm \infty\)

• Un polinomio di grado (massimo) \(n\) si può scrivere come:

  \[ P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i \: x^i \quad {\rm ~~con~~} a_i \in \R, {\rm ~per~~} i \in \{0,1,\dots,n\}, ~ {\rm ~~e~~} a_n \neq 0. \]

  Il valore \(a_i\) è il coefficiente del monomio \(i\), con \(i=0,1,\dots,n\), mentre \(x^i\) è la parte letterale del monomio. In questa scrittura, senza perdita di generalità, i monomi sono ordinati per valori crescenti degli esponenti. ¹

• Raccogliendo \(a_n \: x^n\), ovvero l'ultimo monomio che è quello di grado massimo, si ha:

  \[ P_n(x) = a_n \: x^n \left( \overbrace{\frac{a_0}{a_n \: x^n} + \frac{a_1}{a_n \: x^{n-1}} + {\rm \dots} + \frac{a_{n-1}}{a_n \: x}}^{\rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr \pm \infty} + 1 \right) \]

\[ \lim_{x \rr \pm \infty} P_n(x) = \lim_{x \rr \pm \infty} a_n \: x^n \]

Per calcolare il limite di un polinomio per \(x \rr \pm \infty\), basta calcolare il limite del monomio di grado massimo.

Esempio 1: Limiti di polinomi per \(x \rr \pm \infty\)

Ad esempio:

\[ \lim_{x \rr \ip} (8 - x^2 + 3\:x^3)= \lim_{x \rr \ip} 3\:x^3 \: \left( \underbrace{\frac{8}{3\:x^3} - \frac{1}{3\:x}}_{\rr 0 {\rm ~per~} x \rr \ip } + 1 \right) = \lim_{x \rr \ip} 3\:x^3 = \ip \]

\[ \lim_{x \rr \im} (120 + 4\:x -2\:x^3) = \lim_{x \rr \im} -2\:x^3 \: \left( \underbrace{\frac{120}{-2\:x^3} + \frac{4}{-2\:x^2}}_{\rr 0 {\rm ~per~} x \rr \im} + 1 \right) = \lim_{x \rr \im} -2\:x^3 = \ip \]

2. Limiti di funzioni razionali a \(\pm \infty\)

• Sia \(f\) una funzione razionale (rapporto di polinomi):

  \[ f(x) = \frac{P_n(x)}{P_m(x)} \]

  dove \(P_n(x)\) e \(P_m(x)\) sono, rispettivamente, polinomi di grado \(n\) e \(m\):

  \[ P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i \: x^i \quad {\rm ~~con~~} a_i \in \R, {\rm ~per~~} i=0,1,\dots,n, ~ {\rm ~~e~~} a_n \neq 0. \]
  \[ P_m(x) = \sum_{i=0}^m b_i \: x^i \quad {\rm ~~con~~} b_i \in \R, {\rm ~per~~} i=0,1,\dots,m, ~ {\rm ~~e~~} b_m \neq 0. \]

• Raccogliendo al numeratore \(a_n \: x^n\) e al denominatore \(b_m \: x^m\), ovvero i monomi di grado massimo, si ha:

  \[ \frac{P_n(x)}{P_m(x)} = \frac{a_n \: x^n}{b_m \: x^m} \frac{\left \{ \overbrace{\frac{a_0}{a_n \: x^n} + \frac{a_1}{a_n \: x^{n-1}} + \dots + \frac{a_{n-1}}{a_n \: x}}^{\rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr \pm \infty} + 1 \right\}}{\left \{ \underbrace{\frac{b_0}{b_m \: x^m} + \frac{b_1}{b_m \: x^{m-1}} + \dots + \frac{b_{m-1}}{b_m \: x}}_{\rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr \pm \infty} + 1 \right\}}. \]

\[ \lim_{x \rr \pm \infty} \frac{P_n(x)}{P_m(x)} = \lim_{x \rr \pm \infty} \frac{a_n \: x^n}{b_m \: x^m} = \lim_{x \rr \pm \infty} \frac{a_n }{b_m} \: x^{n-m} \]

Per calcolare il limite di un rapporto fra polinomi per \(x \rr \pm \infty\), basta calcolare il limite del rapporto dei monomi di grado massimo.

Esempio 2: Limiti di funzioni razionali per \(x \rr \pm \infty\)

Ad esempio:

\[ \lim_{x \rr \im} \frac{1+3\: x^3}{2 + x^2} = \lim_{x \rr \im} \frac{3\: x^3}{x^2} =\lim_{x \rr \im} 3\:{x} = \im \]

\[ \lim_{x \rr \ip} \frac{1+3\: x^3}{1- 10x +x^4 } = \lim_{x \rr \ip} \frac{3\: x^3}{x^4} = \lim_{x \rr \ip} 3\: \frac{1}{x} = 0 \]

\[ \lim_{x \rr \im} \frac{ 7\: x^2 + 6\: x^5}{-4+7 \: x^5} =\lim_{x \rr \im} \frac{6\: x^5}{7 \: x^5}= \lim_{x \rr \im} \frac{6}{7} = \frac{6}{7} \]

Per calcolare il limite di funzioni razionali (senza il termine costante) per \(x \to 0\) bisogna raccogliere al numeratore e al denominatore le potenze di grado minimo.

Esempio 3: Limiti di funzioni razionali per \(x \rr 0\)

Ad esempio:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{-2x^2+3\: x^3-6\: x^5}{x+x^2 - x^7} = \lim_{x \rr 0} \frac{ -2x^2 \left(1 \overbrace{-\frac{3}{2}\:x+ 3 \:x^3}^{\to 0 {\rm~per~} x \to 0} \right)}{ x \left(1 \underbrace{+x- \:x^6}_{\to 0 {\rm~per~} x \to 0} \right)} = \lim_{x \rr 0} -2\:x = 0 \]

3. Limiti di quozienti di somme di potenze a esponente razionale

• Le stesse regole valgono per i quozienti di somme di potenze a esponente razionale:

  1. per \(x \rr \infty\) occorre raccogliere la potenza con esponente massimo

  2. per \(x \rr 0^+\) occorre raccogliere la potenza con esponente minimo

L'operazione di elevamento a potenza può essere definita anche con base negativa se l'esponente è un razionale (frazione) con denominatore dispari. Quindi in questo caso si può calcolare \(x \rr 0\) (altrimenti soltanto \(x \rr 0^+\)).

Esempio 4: Limiti di quozienti di somme di potenze a esponente razionale

Ad esempio:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{x^{2/3}}{ 3\: {x}^{1/3} + x + x^2 } \]

Raccogliendo al denominatore la potenza di esponente minimo, abbiamo:

\[ \frac{x^{2/3}}{ 3\: x^{1/3} + x + x^2} = \frac{x^{2/3}}{3 \: x^{1/3} \left(1+ \frac{x}{3\:x^{1/3}} + \frac{x^2}{3\:x^{1/3}} \right)} = \frac{x^{2/3}}{3 \: x^{1/3} \left(1+ \frac{x^{2/3}}{3} + \frac{x^{5/3}}{3} \right)} = \frac{1}{3} \: x^{1/3} \frac{1}{\left(1+ \frac{x^{2/3}}{3} + \frac{x^{5/3}}{3} \right)} \]

quindi

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{x^{2/3}}{ 3\: {x}^{1/3} + x + x^2} = \frac{1}{3} \: \lim_{x \rr 0} \: x^{1/3} \frac{1}{\left(1+ \underbrace{\frac{x^{2/3}}{3} + \frac{x^{5/3}}{3}}_{\rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr 0} \right)} = 0 \]

Un'altra opzione per calcolare i limiti per \(x \rr 0\) è quella di fare un cambio di variabile:

\[ x=\frac{1}{y}, {\rm ~~se~~} x \rr 0^{+} {\rm ~~allora~~} y \rr \ip, {\rm ~~se~~} x \rr 0^{-} {\rm ~~allora~~} y \rr \im \]

e quindi ci si riconduce al caso di limiti a \(\pm\infty\).

Esempio 5: Calcolo del limite di funzioni razionali per \(x \rr 0^+\) col cambio di variabile

Vogliamo calcolare il seguente limite:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{ x^{2/3} }{ 3\: x^{1/3} + x + x^2 }, \qquad f(x)=\frac{ x^{2/3} }{ 3\: x^{1/3} + x + x^2 } \]

Facendo il cambio di variabile \(x=\frac{1}{y}\) occorre quindi calcolare i seguenti due limiti:

\[ \lim_{x \rr 0^+} f(x) = \lim_{y \rr \ip} \frac{ \left( \frac{1}{y} \right)^{2/3} }{ 3\: \left( \frac{1}{y} \right)^{1/3} + \frac{1}{y} + \left( \frac{1}{y} \right)^2 } {\rm ~~~~e~~~~} \lim_{x \rr 0^-} f(x) = \lim_{y \rr \im} \frac{ \left( \frac{1}{y} \right)^{2/3} }{ 3\: \left( \frac{1}{y} \right)^{1/3} + \frac{1}{y} + \left( \frac{1}{y} \right)^2 } \]

Abbiamo:

\[ \frac{ \left( \frac{1}{y} \right)^{2/3} }{ 3\: \left( \frac{1}{y} \right)^{1/3} + \frac{1}{y} + \left( \frac{1}{y} \right)^2 } = \frac{y^{-2/3}}{3\:y^{-1/3} + y^{-1} + y^{-2}} \]

Raccogliendo al denominatore la potenza di esponente massimo, abbiamo:

\[ \frac{y^{-2/3}}{3\:y^{-1/3} + y^{-1} + y^{-2}} = \frac{y^{-2/3}}{3\:y^{-1/3} \left(1 + \frac{y^{-1}}{3\:y^{-1/3}}+ \frac{y^{-2}}{3\:y^{-1/3}} \right)} = \frac{1}{3} \: \frac{1}{ y^{1/3}} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{3\:y^{2/3}}+ \frac{1}{3\:y^{5/3}} \right)} \]

Quindi:

\[ \frac{1}{3} \: \lim_{y \rr \im} \frac{1}{ y^{1/3}} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{3\:y^{2/3}}+ \frac{1}{3\:y^{5/3}} \right)} = \frac{1}{3} \: \lim_{y \rr \ip} \frac{1}{ y^{1/3}} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{3\:y^{2/3}}+ \frac{1}{3\:y^{5/3}} \right)} = 0 \]

in quanto, per \(y \rr \pm \infty\) abbiamo

\[ \frac{1}{y^{1/3}} \rr 0 {\rm ~~e~~} \left(1 + \frac{1}{3\:y^{2/3}}+ \frac{1}{3\:y^{5/3}} \right) \rr 1 {\rm ~~~~dato~che~~~} \frac{1}{3\:y^{2/3}} \rr 0, ~~\frac{1}{3\:y^{5/3}} \rr 0 . \]

Dato che il limite destro e il limite sinistro di \(f(x)\) per \(x \rr 0\) esistono e sono uguali a \(0\) allora:

\[ \lim_{x \rr 0} f(x) =0 \]

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1. Se un monomio di grado \(i\) è mancante abbiamo \(a_i=0\), \(a_0\) è il termine noto dato che \(x^0=1.\) ↩