Funzioni continue

Parte 3 · Limiti di funzioni e continuità · Capitolo 4 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Teorema dell'algebra delle funzioni continue

Teorema 1: dell'algebra delle funzioni continue

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni definite almeno in un intorno di \(x_0 \in \R\) e continue in \(x_0\). Allora:

\[ \textbf{1.}~~ f(x) \pm g(x) {\rm ~~è~continua~in~} x_0; \qquad \textbf{2.}~~ f(x) \cdot g(x) {\rm ~~è~continua~in~} x_0; \]

\[ \textbf{3.}~~ \frac{f(x)}{g(x)} {\rm ~~è~continua~in~} x_0 {\rm ~purché~} g(x_0) \neq 0. \]

Dimostrazione

Proviamo ad esempio la 3., essendo le altre analoghe. Per ipotesi sappiamo che \(f\) e \(g\) sono continue in \(x_0\), ossia:

\[ f(x) \rr f(x_0) {\rm ~~ e~~ } g(x) \rr g(x_0) {\rm ~~~~per~~~~} x \rr x_0. \]

Inoltre \(g(x_0) \neq 0\) e quindi, per il teorema di permanenza del segno per funzioni continue, \(g(x) \neq 0\) definitivamente per \(x \rr x_0\).

Allora per il teorema sull'algebra dei limiti si conclude che

\[ \frac{f(x)}{g(x)} \rr \frac{f(x_0)}{g(x_0)} {\rm ~~~~per~~ ~~} x \rr x_0 \]

ossia \(f(x)/g(x)\) è continua in \(x_0\). □

2. Teorema di continuità delle funzioni elementari

Teorema 2: di continuità delle funzioni elementari

Le seguenti funzioni elementari sono continue in tutti i punti del proprio insieme di definizione:

1. Potenze a esponente intero, razionale o reale;

2. Funzioni esponenziali;

3. Funzioni logaritmiche;

4. Funzioni trigonometriche elementari (\(\sin x\), \(\cos x\))

Dimostrazione

Ad esempio, proviamo la continuità in tutto \(\R\) delle funzioni \(\sin x\) e \(\cos x\).

• Abbiamo visto che \(\sin x\) è continuo in \(x =0\), mostriamo che anche \(\cos x\) è continuo in \(x=0\).

• La circonferenza trigonometrica mostra che, se \(x\) è un angolo nel primo quadrante,

  \[ \sin x + \cos x \ge 1 \]

  in quanto 1 è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti \(\sin x\), \(\cos x\).

  

• Ne segue che

  \[ 0 \le 1 - \cos x \le \sin x ~~~ {\rm ~per~} x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], {\rm~~e~quindi} \]
  \[ 0 \le 1 - \cos x \le |\sin x| ~~~ {\rm ~per~} x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \]

• Allora per il teorema del confronto

  \[ 1 - \cos x \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr 0 {\rm ~~quindi~~} \cos x \rr 1 {\rm ~~per~~} x \rr 0 \]

  e perciò \(\cos x\) è continuo in \(0\).

□

Dimostrazione

• Per provare ora la continuità di \(\sin x\) in un generico punto \(x_0 \in \R\) consideriamo la catena di relazioni:

  \[\begin{align*} | \sin(x_0 + h) - \sin x_0| &= | \sin x_0 \: \cos h + \sin h \:\cos x_0 - \sin x_0| \\[2ex] & = | \sin x_0 \: (\cos h -1) + \cos x_0 \: \sin h | \\[2ex] & \le |\sin x_0 \; (\cos h -1)| + |\cos x_0 \;\sin h|\\[2ex] & = |\sin x_0| \: |\cos h -1| + |\cos x_0| \: |\sin h| \end{align*}\]

  Ora \(|\sin h|\) e \(|\cos h - 1|\) tendono a zero per \(h \rr 0\), per quanto appena dimostrato, mentre \(|\sin x_0|\) e \(|\cos x_0|\) sono costanti dunque

  \[ \sin(x_0 + h) - \sin x_0 \rr 0 {\rm ~~per~~} h \rr 0 \]

  ossia

  \[ \sin(x_0 + h) \rr \sin x_0 {\rm ~~per~~} h \rr 0 \]

  e \(\sin x\) è continua in \(x_0\). Un analogo ragionamento mostra la continuità di \(\cos x\).

□

• Avendo dimostrato che \(\sin x\), \(\cos x\) sono continue in tutto \(\R\), deduciamo che le funzioni \(\tan x\), \(\cot x\) sono continue nel loro insieme di definizione (per il teorema dell'algebra delle funzioni continue)

• Le funzioni potenza a esponente intero sono continue (in tutto \(\R\)), in quanto \(f(x)=x\) è ovviamente continua, e \(f(x) = x^n\) è il prodotto di \(n\) funzioni continue.

• I polinomi sono funzioni continue, in quanto ottenuti sommando funzioni del tipo \(c \: x^n\), continue per il punto precedente.

• Le funzioni razionali (cioè i quozienti di polinomi) sono funzioni continue, tranne nei punti in cui si annulla il denominatore (che è un polinomio, quindi si annulla in un numero finito di punti)

3. Teorema di continuità della funzione composta

Teorema 3: di continuità della funzione composta

Siano:

• \(g\) una funzione definita almeno in un intorno di \(x_0\) e continua in \(x_0\),

• \(f\) una funzione definita almeno in un intorno di \(t_0=g(x_0)\) e continua in \(t_0\),

allora \(f \circ g\) è definita almeno in un intorno di \(x_0\) ed è continua in \(x_0\).

Dimostrazione

Poiché \(g\) è continua in \(x_0\),

\[ \lim_{x \rr x_0} g(x) = g(x_0) = t_0 \]

allora per il teorema del cambio di variabile nel limite, si ha:

\[ \lim_{x \rr x_0} f\big(g(x)\big) = \lim_{t \rr t_0} f(t) \]

e poiché \(f\) è continua in \(t_0\), si ha

\[ \lim_{t \rr t_0} f(t) = f(t_0) \]

e la tesi è dimostrata. □

• Ne segue che tutte le funzioni che si possono ottenere con somma, prodotto, quoziente e composizioni da funzioni elementari sono continue nel loro insieme di definizione. Quindi combinando in questo modo le funzioni si ottengono ancora funzioni continue.

Riassumendo:

• somma, prodotto, quoziente di funzioni continue danno funzioni continue (dove il denominatore non si annulla);

• le funzioni elementari dell'analisi matematica sono continue nel loro insieme di definizione;

• composizione di funzioni continue dà una funzione continua.

• È quindi possibile sapere a priori che una funzione è continua nel suo insieme di definizione, senza applicare caso per caso la definizione di continuità.

Per le funzioni continue, se \(x_0\) è un punto del dominio, il limite per \(x \rr x_0\) si calcola semplicemente sostituendo \(x_0\) nell'espressione analitica della funzione, ovvero:

\[ f(x) \rr f(x_0) {\rm ~~~~per~~~} x \rr x_0 \]

Esempio 1: Funzioni continue e limiti finiti al finito

La seguente funzione è continua con \(x \in \R\):

\[ f(x)=e^{-x^2} \]

quindi:

\[ \lim_{x \rr 1} e^{-x^2} = e^{-1} = \frac{1}{e} \]

Esempio 2: Funzioni continue e limiti finiti al finito

La seguente funzione è continua con \(x \in \R\) e \(2 \;k \;\pi \le x \le 2 \;k \;\pi+\pi, \forall k \in \Z\):

\[ f(x)=\sqrt{\sin x} {\rm ~~~~quindi~~~~~} \lim_{x \rr \pi^{-}} \sqrt{\sin x} = \sqrt{\sin \pi} = 0 \]

Esempio 3: Funzioni continue e limiti finiti al finito

La seguente funzione è continua con \(x \in \R\) e \(x \neq (2\:k+1) \: \frac{\pi}{2}, \forall k \in \mathbb{Z}\):

\[ f(x)=\log_a \big( 1 + (\tan x)^2\big),~~ \forall a >0, a \neq 1 \]

quindi:

\[ \lim_{x \rr 0} \log_a \big( 1 + (\tan x)^2\big) = \log_a \big( 1 + (\tan 0)^2\big) = \log_a 1 =0 \]

Ad esempio con \(a=e\) abbiamo: