Teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi

Parte 3 · Limiti di funzioni e continuità · Capitolo 9 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Teorema di Weierstrass

• Il seguente teorema stabilisce condizioni sufficienti ma non necessarie affinché una funzione abbia massimo e minimo.

Teorema 1: di Weierstrass

Se una funzione \(f: [a,b] \rr \R\) è continua nell'intervallo \([a,b]\) allora ha massimo \(M\) e minimo \(m\) in \([a,b]\).

Sotto le ipotesi del teorema esistono:

\[ x_m {\rm ~~e~~} x_M \in [a, b] {\rm ~~~~tali~che~~~~} f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) {\rm ~~~per~ogni~~~} x \in [a, b] \]

Si dice che \(x_m\) è punto di minimo per \(f\) e \(m = f (x_m)\) è il minimo di \(f\).

Si dice che \(x_M\) è punto di massimo per \(f\) e \(M = f (x_M)\) è il massimo di \(f\).

Proprietà dell'estremo superiore/inferiore

• Dati due sottoinsiemi \(E_1\), \(E_2\) non vuoti di \(\R\) abbiamo:

  \[ \sup \big(E_1 \cup E_2 \big) = \max \big(\sup E_1, \sup E_2 \big) \]

  Questa proprietà è vera per insiemi sia limitati che illimitati. Se uno o entrambi gli insiemi sono superiormente illimitati abbiamo: \(\sup (E_1 \cup E_2) = \ip\). Per l'estremo inferiore abbiamo:

  \[ \inf \big(E_1 \cup E_2 \big) = \min \big(\inf E_1, \inf E_2 \big) \]

Dimostrazione

Proveremo che \(f\) ammetta massimo in \([a, b]\). Consideriamo la funzione:

\[ f : [a, b] \rr \R, {\rm ~~~e~poniamo~~~~} \ell = \sup_{[a,b]} f \]

Si tratta ora di dimostrare che:

• \(i)\) \(\ell\) assuma valore finito, ovvero \(\ell \in \R\);

• \(ii)\) \(\ell\) sia uguale a \(f(x_0)\) per un qualche \(x_0\in [a,b]\) (e quindi \(\ell\) è il massimo e \(x_0\) è il punto di massimo).

Suddividiamo l'intervallo \([a, b]\) in due intervalli uguali: \(I_{1}\) e \(I_{2}\); per le proprietà dell'estremo superiore abbiamo:

\[ \sup_{[a,b]} f = \max \bigg( \sup_{I_{1}} f, \sup_{I_{2}} f \bigg) {\rm ~~~ovvero~~~} \sup_{[a,b]} f = \sup_{I_{1}} f {\rm ~~~oppure~~~} \sup_{[a,b]} f = \sup_{I_{2}} f \]

Quindi per uno dei due intervalli, che chiamiamo \([a_1, b_1]\), sarà vero che:

\[ \ell = \sup_{[a_1,b_1]} f \]

Suddividiamo ora \([a_1 , b_1]\) in due intervalli uguali; per uno di questi, che chiamiamo \([a_2, b_2]\), sarà vero che:

\[ \ell = \sup_{[a_2,b_2]} f \]

Procedendo per dicotomia, così facendo, costruiamo una successione di intervalli \([a_n, b_n]\), ciascuno contenuto nei precedenti, con le proprietà:

1. la successione \(\{a_n\}\) è monotona crescente e limitata e la successione \(\{b_n\}\) monotona decrescente e limitata;

2. \(b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \rr 0 {\rm~~per~~} n \rr \ip;\)

3. \(\displaystyle \ell = \sup_{[a_n,b_n]} f\) ( l'estremo superiore di \(f\) si trova nell'intervallo \([a_n,b_n]\))

Per lo stesso ragionamento fatto nella dimostrazione del teorema degli zeri (che utilizza il teorema di monotonia delle successioni), dai punti 1) e 2) segue che le successioni \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\) convergono ad uno stesso limite \(x_0 \in [a, b]\):

\[ a_n \rr x_0 {\rm ~~e~~} b_n \rr x_0 {\rm ~~per~~} n \rr \ip. \]

Procediamo ora per casi. □

Dimostrazione

Caso 1: \(\ell \in \R\)

Se \(\ell \in \R\), per ogni \(n\) esiste un punto \(t_n \in [a_n, b_n]\) tale che:

\[\begin{equation} \label{RRRR} \ell - \frac{1}{n} < f(t_n) \le \ell \end{equation}\]

Infatti, poiché \(\ell - \frac{1}{n}\) è minore di \(\ell\) che è il minimo dei maggioranti dei valori di \(f(x)\) in \([a_n, b_n]\), \(\ell - \frac{1}{n}\) non è un maggiorante, quindi esiste \(t_n \in [a_n, b_n]\) con la proprietà \(\eqref{RRRR}\).

Poiché \(t_n \in [a_n, b_n]\), e abbiamo:

\[ a_n \rr x_0 {\rm ~~e~~} b_n \rr x_0 {\rm ~~per~~} n \rr \ip {\rm ~~~allora~~~}t_n \rr x_0 {\rm ~~per~~} n \rr \ip \]

per il teorema del confronto. Ancora per il teorema del confronto, la \(\eqref{RRRR}\) dà allora

\[ \lim_{n \rr \ip} f(t_n) = \ell \]

D'altro canto, poiché \(f\) è continua e \(t_n \rr x_0\) si ha che:

\[ \lim_{n \rr \ip} f(t_n) = f(x_0) {\rm ~~~~perciò~~~~} f(x_0) = \ell. \]

Allora, poiché \(\ell\) è il \(\sup\) dei valori di \(f\) in \([a, b]\), \(\ell\) è il massimo di \(f\) in \([a, b]\), ed è assunto nel punto \(x_0\), punto di massimo. In questo caso perciò il teorema è dimostrato.

Caso 2: \(\ell = \ip\)

Se \(\ell = \ip\), per ogni \(n\) esiste un punto \(t_n \in [a_n,b_n]\) tale che:

\[\begin{equation} \label{RRRRR} f (t_n) \ge n \end{equation}\]

Ragionando come sopra si prova che \(t_n \rr x_0\) per un certo \(x_0 \in [a, b]\). Poiché \(f\) è continua in \(x_0\):

\[ \lim_{n \rr \ip} f(t_n) = f (x_0) \]

ma per la \(\eqref{RRRRR}\) abbiamo

\[ \lim_{n \rr \ip} f(t_n) = \ip \]

che è un assurdo dato che in \(x_0\) la funzione deve avere un valore finito. Quindi questo caso non si può verificare.

Analogamente si prova che la funzione ammetta minimo in \([a, b]\). □

La dimostrazione è una prova di esistenza costruttiva (simile a quella del teorema degli zeri) che però non può essere utilizzata in maniera algoritmica dato che, dopo ogni bisezione, non è noto a priori l'intervallo a cui è associato l'estremo superiore o inferiore.

Le ipotesi del teorema di Weierstrass sono tutte essenziali

1. L'intervallo deve essere chiuso

   Consideriamo come controesempio:

   \[ f(x) = x {\rm ~~con~~} x \in (0,1) \]

   La funzione è continua su un intervallo limitato, ma non chiuso. In questo caso, la funzione non ha né massimo né minimo (il suo estremo superiore, \(1\), e il suo estremo inferiore, \(0\); e non sono assunti dalla funzione).

2. L'intervallo deve essere limitato

   Consideriamo come controesempio:

   \[ f(x) = x {\rm ~~con~~} x \in \R \]

   La funzione è continua su un intervallo non limitato ma non ha né massimo né minimo (non è nemmeno limitata).

3. La funzione deve essere continua

   Consideriamo come controesempio:

   \[ f(x) = \begin{cases} x & {\rm ~~per~~} x \in (0,1)\\ \frac{1}{2} & {\rm ~~per~~} x=0 {\rm ~~e~~} x=1 \end{cases} \]

   La funzione è definita su un intervallo chiuso e limitato \([0, 1]\) ma non è continua. La funzione non ha né massimo né minimo (il suo estremo superiore, \(1\), e il suo estremo inferiore, \(0\); e non sono assunti dalla funzione).

2. Teorema dei valori intermedi

Teorema 2: dei valori intermedi

Se una funzione \(f: [a,b] \rr \R\) è continua in \([a,b]\), allora ha massimo \(M\) e minimo \(m\) in \([a,b]\) e assume tutti i valori compresi fra \(m\) e \(M\).

Siamo sotto le ipotesi del teorema di Weierstrass quindi abbiamo:

\[ x_m {\rm ~~e~~} x_M \in [a, b] {\rm ~~~~tali~che~~~~} f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) {\rm ~~~per~ogni~~~} x \in [a, b] \]

Il teorema dei valori intermedi ci dice inoltre che:

\[ \forall \lambda \in (m,M), {\rm ~~~esiste~~~} x(\lambda) \in [x_m,x_M] {\rm ~~tale~che~~} f\big(x(\lambda)\big) = \lambda \]

Questa proprietà prende il nome di proprietà dei valori intermedi.

Dimostrazione

Dal teorema di Weierstrass abbiamo punto di massimo \(x_{M}\) e punto di minimo \(x_m\) tali che \(f(x_M)=M\) (massimo) e \(f(x_m)=m\) (minimo) in \([a,b]\). Sia

\[ m < \lambda < M \]

e consideriamo la funzione

\[ g(x) = f(x) - \lambda {\rm ~~con~~} x \in [x_m,x_M] \]

che è continua dato che \(f(x)\) è continua in \([a,b]\) e \(x_m, x_M \in [a,b]\).

Quindi:

\[ g(x_M) = f(x_M) -\lambda = M -\lambda >0 \]

\[ g(x_m) = f (x_m) -\lambda = m -\lambda < 0 \]

Allora, dal teorema degli zeri, esiste \(x(\lambda) \in (x_m,x_M)\) tale che:

\[ g\big(x(\lambda)\big) = 0 {\rm ~~~~e~cioè~~~~} f\big(x(\lambda)\big) = \lambda \]

□

• Presa una funzione continua in un intervallo \([a,b]\) abbiamo graficamente:

!!! esempio "Esempio 1: Funzione discontinua e assenza della proprietà dei valori intermedi"

Consideriamo ad esempio il grafico della seguente funzione discontinua in $[a,b]$:

![Figura 3](../img/limiti-09-weierstrass/fig03.svg){ .fig .ovale loading=lazy style="width:85%" }

Questa funzione non ha la proprietà dei valori intermedi ovvero i valori $\lambda \in (y_1,y_2)$ non sono uscite di $f$.

• Le proprietà dei due teoremi precedenti si possono sintetizzare nell'unico enunciato seguente:

Corollario 1

Se \(f: [a, b] \rr \R\) è continua, allora

\[ f([a, b]) = [m, M]; \]

cioè l'immagine di un intervallo \([a, b]\) è l'intervallo di estremi:

\[ \displaystyle m = \min_{[a,b]} f {\rm ~~~e~~} M = \max_{[a,b]} f. \]

Dimostrazione

Derivato dal teorema di Weierstrass e dal teorema dei valori intermedi. □

Esempio 2: non validità del teorema dei valori intermedi in \(\Q\)

• Sia

  \[ f(x) = x^2 \]

  e consideriamo \(f\) come funzione definita dall'insieme \(\Q\) dei razionali a \(\Q\) stesso (questo è lecito perché il quadrato di un razionale è un razionale).

• Allora f non ha la proprietà dei valori intermedi.

• Infatti, ad esempio,

  \[ f (1) = 1, f(2) = 4, \]

  ma \(f\) non assume tutti i valori razionali compresi tra 1 e 4: per esempio non assume mai il valore 2, o 3.

• In altre parole, la proprietà dei valori intermedi è vera per le funzioni continue grazie alle proprietà dell'insieme dei numeri reali.

• Questo è un ulteriore motivo per cui è utile avere come ambiente di lavoro l'insieme dei reali e non l'insieme dei razionali.

3. Teorema di esistenza della radice \(n\)-esima

Teorema 3

Per ogni \(y \in \R\), \(y > 0\) e \(n \in \N\), \(n \ge 1\), esiste uno e un solo \(x \in \R, x >0\), tale che \(x^n = y\).

Questo numero \(x\) si definisce radice \(n\)-esima di \(y\)

Dimostrazione

Consideriamo la funzione \(f (x) = x^n\).

Questa funzione è continua su tutto \(\R\), perché è il prodotto di \(n\) funzioni continue \(g (x) = x\).

Mostriamo che esistono

\[ x_2 > x_1 > 0 {\rm ~~tali~che~~} x_1^n < y < x_2^n. \]

Se \(y=1\) la radice ennesima esiste ed è unica, inoltre:

1. Se \(y > 1\): basta scegliere

   \[ x_1 = 1, x_2 = y {\rm ~~e~si~ha~~} x_1^n < y < x_2^n ~~~(1 < y < y^n) \]

2. Se \(y < 1\): basta scegliere

   \[ x_1 = y, x_2 = 1 {\rm ~~e~si~ha~~} x_1^n < y < x_2^n ~~~(y^n< y < 1 ) \]

Allora possiamo applicare il teorema dei valori intermedi alla funzione continua \(f(x) = x^n\) sull'intervallo \([x_1, x_2]\). Dove il suo minimo è \(x_1^n\) e il suo massimo è \(x_2^n\).

Poiché:

\[ x_1^n < y < x_2^n, {\rm ~~esiste~~} x_0 \in [x_1,x_2] {\rm ~~tale~che~~} x_0^n = y. \]

L'unicità deriva dal fatto che la funzione è strettamente crescente. □