Confronti e stime asintotiche¶

Parte 3 · Limiti di successioni · Capitolo 4 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Confronti e stime asintotiche¶

Abbiamo visto che una successione che tende a \(0\) è un infinitesimo; una successione che diverge (a \(\ip\), a \(\im\)) si dice infinito.
Quando due successioni sono entrambe infinitesimi o entrambe infiniti è utile poter stabilire un confronto tra di esse, per capire quale delle due tenda “più rapidamente” a \(0\) o all'infinito.

Esempio 1: Infiniti

Esempi di infiniti sono le successioni seguenti:

\[ \left\{\log n \right\}, \quad \left\{\sqrt{n} \right\}, \quad \left\{n^2 \right\}, \quad \left\{2^n \right\} \]

Esempio 2: Infinitesimi

Esempi di infinitesimi sono le successioni seguenti:

\[ \left\{ \frac{1}{\log n} \right\}, \quad \left\{ \frac{1}{ \sqrt{n}} \right\}, \quad \left\{ \frac{1}{n^2} \right\}, \quad \left\{ \frac{1}{2^n} \right\} \]

Siano \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\) due infiniti, considerando il limite del loro rapporto abbiamo 4 casi:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \begin{cases} 0 & {\rm ~~~~caso~~1):~~} \{a_n\} {\rm ~~è~un~infinito~di ~\textbf{ordine~inferiore~} a~~} \{b_n\}\\ l \in \R, l \neq 0 & {\rm ~~~~caso~~2):~~} \{a_n\} {\rm ~e~} \{b_n\} {\rm ~sono~infiniti~dello~\textbf{stesso~ordine}} \\ \pm \infty & {\rm ~~~~caso~~3):~~} \{a_n\} {\rm ~~è~un~infinito~di ~\textbf{ordine~superiore~} a~~} \{b_n\}\\ {\rm inesistente} & {\rm ~~~~caso~~4):~~} \{a_n\} {\rm ~e~} \{b_n\} {\rm ~non~sono~confrontabili} \end{cases} \]
Siano \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\) due infinitesimi (e \(b_n\) è definitivamente diverso da zero), considerando il limite del loro rapporto abbiamo 4 casi:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \begin{cases} 0 & {\rm ~~~~caso~~1):~~} \{a_n\} {\rm ~~è~un~infinitesimo~di ~\textbf{ordine~superiore~} a~~} \{b_n\}\\ l \in \R, l \neq 0 & {\rm ~~~~caso~~2):~~} \{a_n\} {\rm ~e~} \{b_n\} {\rm ~sono~infinitesimi~dello~\textbf{stesso~ordine}} \\ \pm \infty & {\rm ~~~~caso~~3):~~} \{a_n\} {\rm ~~è~un~infinitesimo~di ~\textbf{ordine~inferiore~} a~~} \{b_n\}\\ {\rm inesistente} & {\rm ~~~~caso~~4):~~} \{a_n\} {\rm ~e~} \{b_n\} {\rm ~non~sono~confrontabili} \end{cases} \]

Il caso

\[ \frac{a_n}{b_n} \rr 1 \]

è particolarmente importante: si usa dire, in tal caso, che le due successioni \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\) sono asintotiche .
Per indicare questa circostanza, si scrive

\[ a_n \thicksim b_n \]

(si legge: \(a_n\) è asintotico a \(b_n\))

Il simbolo di asintotico è molto utile nel calcolo dei limiti per le seguenti proprietà:

Proposizione 1: del comportamento asintotico

Se \(a_n \thicksim b_n\), le due successioni hanno lo stesso comportamento:
- o convergono allo stesso limite,
- o divergono entrambe a \(\pm\infty\),
- o entrambe non hanno limite.
Si possono scrivere catene di relazioni asintotiche, cioè:

\[ {\rm se~~} a_n \thicksim b_n \thicksim \dots \thicksim c_n {\rm ~~~~allora~~~~} a_n \thicksim c_n \]
Un'espressione composta da prodotto o quoziente di più fattori può essere stimata fattore per fattore:

\[ {\rm se~~} a_n \thicksim a'_n, b_n \thicksim b'_n, c_n \thicksim c'_n {\rm ~~~~allora~~~~} \frac{a_n \: b_n}{c_n} \thicksim \frac{a'_n \: b'_n}{c'_n} \]
- Attenzione: lo stesso non vale per le somme o per l'esponenziale.

Dimostrazione

Dimostriamo la prima affermazione

\[ {\rm se~} a_n \thicksim b_n {\rm~allora~} \{a_n\} {\rm~e~} \{b_n\} {\rm ~~hanno~lo~stesso~comportamento} \]
- Se \(a_n \rr l \in \R\), poiché
  
  \[ b_n = \frac{b_n}{a_n} \cdot a_n {\rm~~e~~} \frac{b_n}{a_n} \rr 1 \quad ({\rm per~definizione~di~asintotico}), \]
  
  allora per il teorema sull'algebra dei limiti abbiamo
  
  \[ b_n \rr 1 \cdot l = l. \]
- Con gli stessi passaggi, il teorema di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito permette di concludere che
  
  \[ {\rm se~~} a_n \rr \pm \infty {\rm~~~e~~~} a_n \thicksim b_n {\rm~~~allora~~~} b_n \rr \pm \infty. \]
Osservando che la relazione di asintotico è simmetrica, quindi quanto appena provato mostra anche che se \(\{b_n\}\) converge (diverge), anche \(\{a_n\}\) converge (diverge).
- Ne concludiamo che se \(\{a_n\}\) è irregolare, anche \(\{b_n\}\) è irregolare, perché se per assurdo non lo fosse, per quanto appena dimostrato anche \(\{a_n\}\) sarebbe convergente o divergente.
Proviamo la transitività della relazione di asintotico:

\[ {\rm se~~} a_n \thicksim b_n \thicksim c_n {\rm ~~~~allora~~~~} a_n \thicksim c_n. \]

Le ipotesi significano che

\[ \frac{a_n}{b_n} \rr 1 {\rm~~e~~} \frac{b_n}{c_n} \rr 1 \]

Allora per il teorema sull'algebra dei limiti abbiamo

\[ \frac{a_n}{c_n} = \frac{a_n}{b_n} \cdot \frac{b_n}{c_n} \rr 1. \]
Analogamente si prova la terza proprietà. □

Esempio 3: Successioni asintotiche applicando la definizione

Dimostriamo che:

\[ \log n \thicksim \log (n+1) \]

Fattorizzando \(n\) nella seconda successione otteniamo

\[ \log (n+1) = \log \left(n \: \left(1 + \frac{1}{n} \right)\right)= \log n + \log \left(1+\frac{1}{n}\right) \]

Quindi

\[ \lim_{n \rr \ip} \frac{\log n}{\log (n+1)} = \lim_{n \rr \ip} \frac{\log n}{\log n + \underbrace{\log \left(1+\frac{1}{n}\right)}_{\rr 0}} =1 \]

Un tipico modo per mostrare che

\[ a_n \thicksim b_n \]

consiste nello scrivere

\[ a_n = b_n \: c_n {\rm ~~~con~~~} c_n \rr 1. \]

Ovvero decomporre \(\{a_n\}\) nel prodotto di una successione \(\{b_n\}\) e una successione \(\{c_n\}\) che tende a 1.

Esempio 4: Successioni asintotiche col metodo della decomposizione

Esempio:

\[ \underbrace{2 \: n^2+ 3\:n +1}_{a_n} = ~~\underbrace{2 \: n^2}_{b_n} ~~ \underbrace{\left( 1 + \frac{3}{2\:n} + \frac{1}{2\: n^2}\right)}_{c_n} \thicksim 2\: n^2 \quad {\rm ~~quindi~~} a_n \thicksim b_n \]

poiché

\[ \underbrace{\left( 1 + \frac{3}{2\:n} + \frac{1}{2\: n^2}\right)}_{c_n} \rr 1 \]

Esempio 5: Calcolo dei limiti con stime asintotiche

Calcoliamo il limite

\[ \lim_{n \rr \ip} \frac{2\:n^3+4n+1}{5\:(n+1)^3}= \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \qquad {\rm~~(forma~indeterminata)} \]

Procedendo come prima possiamo scrivere

\[ \underbrace{2 \: n^3+ 4\:n +1}_{a_n} = ~~\underbrace{2 \: n^3}_{a'_n} ~~ \underbrace{\left( 1 + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{2\: n^3}\right)}_{\rr 1} \thicksim 2\: n^3 \]

\[ 5\:(n+1)^3= \underbrace{5 \: (n^3 + 3\:n^2 + 3 \:n +1)}_{c_n} = ~~\underbrace{5 \: n^3}_{c'_n} ~~ \underbrace{\left( 1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right)}_{\rr 1} \thicksim 5\: n^3 \]

Usando il punto 3 della proposizione Proposizione 1 del comportamento asintotico possiamo scrivere:

\[ {\rm se~~} a_n \thicksim a'_n, c_n \thicksim c'_n {\rm ~~~~allora~~~~} \frac{a_n}{c_n} \thicksim \frac{a'_n}{c'_n} \]

e ottenere

\[ \frac{2\:n^3+4n+1}{5\:(n+1)^3} \thicksim \frac{2\:n^3}{5\:n^3} \]

ovvero le due successioni hanno lo stesso comportamento. Quindi

\[ \lim_{n \rr \ip} \frac{2\:n^3+4n+1}{5\:(n+1)^3}= \lim_{n \rr \ip} \frac{2\:n^3}{5\:n^3} = \frac{2}{5} \]

Un altro modo per mostrare che

\[ a_n \thicksim b_n \]

è usare il principio di sostituzione.

Ad esempio, noto che

\[ \lim_{n \rr \ip} \underbrace{\log \: n}_{a_n} \rr \ip \]

possiamo affermare

\[ \lim_{n \rr \ip} \log \: c_n \rr \ip \]

dove \(\{c_n\}\) è una qualsiasi successione divergente a \(\ip\), dunque

\[ \underbrace{\log n}_{a_n} \thicksim \underbrace{\log \: c_n}_{b_n} \]

Esempio 6: Calcolo dei limiti col principio di sostituzione e stime asintotiche

Calcoliamo il limite

\[ \lim_{n \rr \ip} \log_3 (n^2 + 4n +1) \]

usando il principio di sostituzione e definendo

\[ c_n = n^2 + 4n +1 {\rm ~~~abbiamo~~~} \lim_{n \rr \ip} n^2 + 4n +1 = \ip \]

allora

\[ \log_3 n \thicksim \log_3 (n^2 + 4n +1) \]

e quindi

\[ \lim_{n \rr \ip} \log_3 (n^2 + 4n +1) = \lim_{n \rr \ip} \log_3 n =\ip \]

Il fatto che la relazione di asintotico soddisfi le 3 proprietà:

Riflessiva: \(a_n \thicksim a_n\)
Simmetrica: se \(a_n \thicksim b_n\) allora \(b_n \thicksim a_n\)
Transitiva: se \(a_n \thicksim b_n\) e \(b_n \thicksim c_n\) allora \(a_n \thicksim c_n\)

fa sì che “asintotico” sia una relazione di equivalenza.