Il numero di Nepero
Parte 3 · Limiti di successioni · Capitolo 3 · dalle dispense di Fabio Furini ·
1. Il numero \(e\) di Nepero
Teorema 1
La successione
\[
a_n = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n {\rm ~~~con~~~} n \ge 1
\]
è convergente.
Dimostrazione
Proveremo che la successione \(\{a_n\}\) è monotona crescente (\(a_n \ge a_{n-1}, \forall n \in \N, n\ge 2\) ) e limitata (\(m \le a_n \le M, \forall n \in \N, n \ge 1\) ); quindi è convergente per il teorema di monotonia delle successioni.
Per provare che \(\{a_n\}\) è monotona crescente, studiamo per \(n \ge 2\) , il rapporto:
\[\begin{align*}
\frac{a_n}{a_{n-1}} & = \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}} = \frac{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}{\left( \frac{n}{n-1} \right)^{n-1}}\\[2ex]
& = \left( \frac{\frac{n+1}{n} }{\frac{n}{n-1} } \right)^n \: \frac{1}{\left( \frac{n}{n-1}\right)^{-1}} = \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right)^n \: \frac{1}{\left( \frac{n-1}{n}\right)}\\[2ex]
& = \frac{\left( 1 - \frac{1}{n^2}\right)^n}{1 - \frac{1}{n}} \ge \frac{1 - n \cdot \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{1}{n}} = 1
\end{align*}\]
dove per il “\(\ge\) ” si è applicata la disuguaglianza di Bernoulli:
\[
(1 + x)^n \ge 1 + n \: x {\rm ~~con~~} x= -\frac{1}{n^2} \ge -1 {\rm ~~e~~} n \ge 2
\]
Quindi abbiamo
\[
\frac{a_n}{a_{n-1}} \ge 1
\]
ossia \(a_{n} \ge a_{n-1}\) e la successione è monotona crescente.
Per provare che \(\{a_n\}\) è limitata, osserviamo che, essendo \(a_1 = 2\) , segue \(a_n \ge 2, \forall n \ge 1\) .
Consideriamo ora la successione
\[
b_n = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} {\rm~~si~noti~che~~} b_n = a_n \: \left( 1 + \frac{1}{n}\right)
{\rm ~~perciò~~} b_n > a_n, \forall n \in \N, n \ge 1
\]
□
Dimostrazione
Per provare che \(\{b_n\}\) è monotona decrescente, studiamo per \(n \ge 2\) , il rapporto:
\[\begin{align*}
\frac{b_n}{b_{n-1}} &
= \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n}}
= \frac{\left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n}{n-1} \right)^{n}}\\[2ex]
&
= \left( \frac{\frac{n+1}{n} }{\frac{n}{n-1} } \right)^{n} \: {\left( \frac{n+1}{n}\right)}
= \frac{1}{\left( \frac{n^2}{n^2-1} \right)^{n}} \: {\left( \frac{n+1}{n}\right)}\\[2ex]
&
=\frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n^2 -1} \right)^{n}} \: {\left( \frac{n+1}{n}\right)}\le
\frac{1}{\left( 1 + \frac{n}{n^2 -1} \right)} \: {\left( \frac{n+1}{n}\right)}\\[2ex]
&
<
\frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)} \: \left( 1 + \frac{1}{n} \right)=1
\end{align*}\]
dove per il “\(\le\) ” si è applicata la disuguaglianza di Bernoulli:
\[
(1 + x)^{n} \ge 1 + n \: x {\rm ~~con~~} x= \frac{1}{n^2-1} \ge -1 {\rm ~~e~~} n \ge 2
\]
e per il “\(<\) ” si è applicata la disuguaglianza
\[
\frac n{n^2-1}>\frac 1n {\rm ~~~~dato~che ~~~~} n^2 > n^2 -1 {\rm ~~per~~} n \ge 2
\]
Quindi abbiamo dimostrato che
\[
\frac{b_n}{b_{n-1}} < 1 {\rm ~~quindi~~ } b_n < b_{n-1}
\]
e la successione \(\{b_n\}\) è monotona (strettamente) decrescente.
Poiché \(b_1=4\) , risulta quindi
\[
a_n < b_n \le b_1 =4, ~\forall n \ge 1
\]
e \(\{a_n\}\) è limitata. □
Esempio 1: Grafici delle successioni \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\)
Il limite della successione \(a_n\) appena studiata è un numero irrazionale molto importante in matematica. Questo limite viene indicato con la lettera \(e\) (numero di Nepero ) e la sua rappresentazione decimale inizia così:
\[
2. 7182818284 \dots
\]
Per definizione, abbiamo:
\[\begin{equation}
e= \lim_{n \rr \ip } \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n \label{nepero}
\end{equation}\]
Questo numero viene molto spesso usato come base dei logaritmi, i quali, quando si usa questa base, vengono detti naturali o neperiani (dal nome del matematico John Napier ) e indicati semplicemente col simbolo \(\log\) (oppure \(\ln\) ) senza indicazione della base.
Abbiamo di conseguenza:
\[\begin{equation*}
\lim_{n \rr \ip } n \: \log \left( 1 + \frac{1}{n}\right) = \lim_{n \rr \ip } \log \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n = \log e =1
\end{equation*}\]
Esempio 2: Calcolo dei limiti con la successione che tende a \(e\)
\[\begin{align*}
\lim_{n \rr \ip } \left( 1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}
\end{align*}\]
Dato che:
\[
\left( \frac{n-1}{n}\right)^n = \frac{1}{\left( \frac{n}{n-1}\right)^n} = \frac{1}{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^n} = \frac{1}{\underbrace{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}_{\rr e}} \cdot \frac{1}{\underbrace{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)}_{\rr 1}}
\]
Teorema 2
Sia \(\{c_n\}\) una qualsiasi successione divergente (a \(\ip\) o \(\im\) ), allora
\[\begin{equation}
\lim_{n \rr \ip } \left( 1 + \frac{1}{c_n}\right)^{c_n} = e, \qquad \lim_{n \rr \ip } \left( 1 - \frac{1}{c_n}\right)^{c_n} = \frac{1}{e} \label{nepero_tris}
\end{equation}\]
Dimostrazione
Ricordiamo che, dato \(x \in \R\) , la sua parte intera, denotata con \(\lfloor x \rfloor\) , è il più grande intero che non supera \(x\) .
Se \(c_n \rr \ip\) , poiché \(\lfloor c_n \rfloor > c_n -1\) , per confronto si ha anche \(\lfloor c_n \rfloor \rr \ip\) . Quindi, per la \(\eqref{nepero}\) e per la definizione di limite abbiamo
\[
\lim_{n \rr \ip } \left( 1 + \frac{1}{\lfloor c_n \rfloor + 1}\right)^{\lfloor c_n \rfloor + 1} = \lim_{n \rr \ip } \left( 1 + \frac{1}{\lfloor c_n \rfloor }\right)^{\lfloor c_n \rfloor } = e
\]
Usando:
\[
\lfloor c_n \rfloor \le c_n < \lfloor c_n \rfloor + 1
\]
si ottiene
\[
\left( 1 + \frac{1}{ c_n }\right)^{ c_n } < \left( 1 + \frac{1}{\lfloor c_n \rfloor }\right)^{\lfloor c_n \rfloor + 1} = \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{\lfloor c_n \rfloor }\right)^{\lfloor c_n \rfloor }}_{\rr e} \cdot \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{ \lfloor c_n \rfloor }\right)}_{\rr 1}
\]
e anche
\[
\left( 1 + \frac{1}{ c_n }\right)^{ c_n } > \left( 1 + \frac{1}{\lfloor c_n \rfloor +1 }\right)^{\lfloor c_n \rfloor } = \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{\lfloor c_n \rfloor +1}\right)^{\lfloor c_n \rfloor +1}}_{\rr e} \cdot \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{ \lfloor c_n +1\rfloor }\right)^{-1}}_{\rr 1}
\]
quindi il primo limite del teorema segue dal teorema del confronto.
Se invece \(c_n \rr \im\) , allora la successione \(d_n = -c_n \rr \ip\) , e si ha
\[
\left( 1 + \frac{1}{ c_n }\right)^{ c_n } = \left( 1 - \frac{1}{ d_n }\right)^{ -d_n } = \left( \frac{d_n}{d_n-1}\right)^{ d_n } = \left( 1 + \frac{1}{d_n-1}\right)^{ d_n -1} \cdot \left( 1 + \frac{1}{d_n-1}\right)
\]
Poiché \(d_n-1 \rr \ip\) , la tesi segue dal caso precedente.
Il secondo limite del teorema si dimostra in maniera analoga. □
Questo teorema è utile nel calcolo di limiti che coinvolgono la forma di indecisione \(1^{\infty}\)
Esempio 3: Calcolo dei limiti con la successione che tende a \(e\)
Calcoliamo
\[
\lim_{n \rr \ip} \left( \frac{n}{3 +n}\right)^{5 \: n+1} = [1^{\infty}]
\]
dato che:
\[
\lim_{n \rr \ip} \frac{n}{3+n} = \lim_{n \rr \ip} 1 - \frac{3}{3+n} = 1, \qquad\lim_{n \rr \ip} 5\:n +1 =\ip
\]
Riscriviamo la successione come segue:
\[\begin{align*}
\left( \frac{n}{3 +n}\right)^{5 \: n +1} &= \left( \frac{3 +n}{n}\right)^{-(5 \: n +1)} = \frac{1}{\left(1 + \frac{3}{n} \right)^{5 \: n +1}} \\[2ex]
&= \frac{1}{\left( \left( 1 + \frac{3}{n} \right)^{\frac{n}{3}} \right)^{\frac{3\:(5\:n+1)}{n}}} = \frac{1}{\left( \left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{3}} \right)^{\frac{n}{3}} \right)^{\frac{3\:(5\:n+1)}{n}}}
\end{align*}\]
e consideriamo il denominatore
\[
\left( \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{3}} \right)^{\frac{n}{3}} }_{\rr e}\right)^{\overbrace{\frac{3\:(5\:n+1)}{n}}^{\rr 15}}
\rr e^{15}
\qquad{\rm ~~~dato~che~~~}
\frac{n}{3} \rr \ip {\rm ~per~} n \rr \ip
\]
Riassumendo quindi abbiamo:
\[
\lim_{n \rr \ip} \left( \frac{n}{3 +n}\right)^{5 \: n+1} = \frac{1}{e^{15}}
\]
Metodo alternativo :
\[
\lim_{n \rr \ip} \left( \frac{n}{3 +n}\right)^{5 \: n+1} = \lim_{n \rr \ip} \left( 1- \frac{3}{3 +n}\right)^{5 \: n +1} = \lim_{n \rr \ip} \left( \underbrace{\left( 1- \frac{1}{\frac{3 +n}{3}}\right)^{\frac{3+n}{3}}}_{\rr \frac{1}{e}} \right)^{ \overbrace{\frac{3\:(5\:n+1)}{3+n}}^{\rr 15}} = \frac{1}{e^{15}}
\]
dato che
\[
\frac{3+n}{3} \rr \ip {\rm ~per~} n \rr \ip
\]
Esempio 4: Calcolo dei limiti con la successione che tende a \(e\)
\[\begin{align*}
\lim_{n \rr \ip } \left( 1 - \frac{1}{n}\right)^{-n} = e
\end{align*}\]
Dato che:
\[
\left( \frac{n-1}{n}\right)^{-n} = \left( \frac{n}{n-1}\right)^{n} = \left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{n} = \underbrace{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}_{\rr e} \cdot \underbrace{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)}_{\rr 1}
\]
Esempio 5: Calcolo dei limiti con la successione che tende a \(e\)
\[\begin{align*}
\lim_{n \rr \ip } \left( 1 + \frac{\alpha}{n}\right)^n = e^\alpha {\rm ~~~con~~~} \alpha \in \R
\end{align*}\]
Dato che:
\[
\left( 1 + \frac{\alpha}{n}\right)^n = \left(
1 + \frac{1}{\frac{n}{\alpha}}\right)^n = \left( \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{\alpha}}\right)^{\frac{n}{\alpha}}}_{\rr e} \right)^\alpha
\]
Ad esempio con \(\alpha=2\) abbiamo:
\[\begin{align*}
\lim_{n \rr \ip } \left( 1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2
\end{align*}\]
Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.
2. Il numero di Nepero in finanza
Supponiamo di possedere un capitale di valore unitario e un tasso d'interesse annuale \(t\) . Se l'interesse viene pagato annualmente, dopo un anno il capitale posseduto sarà
\[
1 + t \cdot 1 = 1 + t
\]
Se invece l'interesse viene pagato mensilmente avremo
dopo il primo mese, un capitale pari a
\[
1+ \frac{t}{12} \cdot 1= \underbrace{1 + \frac{t}{12}}_{\alpha}
\]
dopo il secondo mese, un capitale pari a
\[
\underbrace{1 + \frac{t}{12}}_{\alpha} + \frac{t}{12} \underbrace{\left( 1 + \frac{t}{12} \right)}_{\alpha} = \underbrace{\left(1 + \frac{t}{12}\right)^2}_{\beta}
\]
dopo il terzo mese, un capitale pari a
\[
\underbrace{\left(1 + \frac{t}{12}\right)^2}_{\beta} + \frac{t}{12} \: \underbrace{\left(1 + \frac{t}{12}\right)^2}_{\beta} = \left(1 + \frac{t}{12}\right)^3
\]
alla fine dell'anno avremo un capitale pari a
\[
\left(1 + \frac{t}{12}\right)^{12}
\]
Se l'interesse viene calcolato ogni \(n\) -esimo di anno, avremo alla fine un capitale pari a
\[
\left(1 + \frac{t}{n}\right)^{n}
\]
Per \(t = 1\) (rendita del 100%) otteniamo esattamente la successione che definisce \(e\)
Quindi anche se gli interessi vengono pagati un numero infinito di volte all'anno, il capitale non cresce all'infinito ma tende a \(e\) , dato che:
\[
\lim_{n \rr \ip } \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n= e
\]
