Equazioni parametriche

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Esercizio 1

Determinare il numero delle soluzioni della equazione \(f(x)=k\) al variare del parametro reale \(k\) nei casi seguenti:

\[ f(x)=\frac{2x^{2}-1}{x} \]

\[ f(x)=x^{2}e^{-x^{2}} \]

\[ f(x)=\frac{e^{x}-1}{\log(e^{x}-1)} \]

\[ f(x)=\log^{2}x+2\log x \]

\[ f(x)=e-x\log^{2}x \]

\[ f(x)=\frac{x}{x+1}-\arctan x \]

Soluzione

Tutte le funzioni sono derivabili (infinite volte) nei loro dominii. Per rispondere, è sufficiente determinare i limiti agli estremi del dominio, l'andamento di monotonia e gli eventuali estremanti.

Soluzione

La funzione \(f(x)=\frac{2x^{2}-1}{x}=2x-\frac{1}{x}\) è definita per \(x\neq0\), è dispari, con

\[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty,\ \ \lim_{x\to0^{\pm}}f(x)=\mp\infty \]

(il grafico è una iperbole di asintoti \(x=0\), \(y=2x\)).

Si ha poi

\[ f'(x)=2+\frac{1}{x^{2}}, \]

positiva per ogni \(x\neq0\). La funzione è strettamente crescente sia su \((-\infty,0)\) che su \((0,+\infty)\) ed in entrambi gli intervalli assume tutti i valori reali tra i limiti \(-\infty\) e \(+\infty\).

Concludendo, per ogni valore di \(k\in\R\) l'equazione \(f(x)=k\) ha due soluzioni: una positiva, l'altra negativa. In particolare l'equazione \(f(x)=0\) ha le due soluzioni \(x=\pm\sqrt{1/2}\).

Soluzione

La funzione \(f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}\) è definita per \(x\in\R\), è pari, con

\[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0. \]

La funzione assume solo valori non negativi, il punto \(x=0\), dove \(f(0)=0\), è (l'unico) punto di minimo assoluto.

Si ha poi

\[ f'(x)=2x(1-x^{2})e^{-x^{2}}, \]

da cui, per \(x>0\), si ha \(f\) strettamente crescente in \((0,1)\), strettamente decrescente in \((1,+\infty)\). Il punto \(x=1\) è di massimo assoluto con valore \(f(1)=1/e\). Per simmetria pari si ottiene il comportamento per \(x<0\).

Concludendo, per ogni valore \(k<0\) oppure \(k>1/e\), l'equazione \(f(x)=k\) non ha soluzioni: l'insieme dei valori di \(f\) è l'intervallo \([0,1/e]\).

Per \(k=0\), l'equazione \(f(x)=0\) ha per unica soluzione \(x=0\).

Per \(0<k<1/e\), l'equazione \(f(x)=k\) ha quattro soluzioni, una nell'intervallo \((0,1)\), una nell'intervallo \((1,+\infty)\), le altre due opposte a queste per simmetria pari.

Per \(k=1/e\), l'equazione \(f(x)=1/e\) ha le due soluzioni \(x=\pm1\).

Soluzione

La funzione \(f(x)=\frac{e^{x}-1}{\log(e^{x}-1)}\) è definita per \(e^{x}-1>0\), \(e^{x}-1\neq1\), quindi per

\[ x\in(0,\log2)\cup(\log2,+\infty). \]

Abbiamo

\[ \begin{array}{l}\ds\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{y\to0}\frac{y}{\log y}=0,\ \lim_{x\to\log2^{\pm}}f(x)=\lim_{y\to1^{\pm}}\frac{y}{\log y}=\pm\infty,\\ \\ \ds\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{y\to+\infty}\frac{y}{\log y}=+\infty.\end{array} \]

Si ha poi

\[ f'(x)=\frac{e^{x}\left[\log(e^{x}-1)-1\right]}{\log^{2}(e^{x}-1)}, \]

da cui si ha \(f\) strettamente decrescente in \((0,\log2)\), dove assume tutti valori tra i limiti \(-\infty\) e \(0\); strettamente decrescente in \((\log2,\log(e+1))\), dove assume tutti i valori \(k>e\); il punto \(x=\log(e+1)\) è di minimo relativo con valore \(f(\log(1+e))=e\); \(f\) è di nuovo strettamente crescente nell'intervallo \((\log(1+e),+\infty)\) dove assume ancora tutti i valori \(k>e\).

Concludendo, per ogni valore \(k<0\) l'equazione \(f(x)=k\) ha una soluzione che si trova nell'intervallo \((0,\log2)\).

Per \(0\leq k<e\), l'equazione \(f(x)=k\) non ha soluzioni.

Per \(k=e\), l'equazione \(f(x)=e\) ha l'unica soluzione \(x=\log(e+1)\).

Per \(k>e\), l'equazione \(f(x)=k\) ha due soluzioni, una in \((\log2,\log(1+e))\), l'altra in \((\log(e+1),+\infty)\).

Soluzione

La funzione \(f(x)=\log^{2}x+2\log x\) è definita per \(x>0\). Abbiamo

\[ \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{y\to-\infty}y^{2}+2y=+\infty,\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{y\to+\infty}y^{2}+2y=+\infty. \]

Si ha poi

\[ f'(x)=\frac{2(\log x+1)}{x}, \]

da cui si ha \(f\) strettamente decrescente in \((0,1/e)\), dove assume tutti \(k>-1\); il punto \(x=1/e\) è di minimo assoluto con valore \(f(1/e)=-1\); \(f\) è strettamente crescente nell'intervallo \((1/e,+\infty)\) dove assume ancora tutti i valori \(k>-1\).

Concludendo, per ogni valore \(k<-1\) l'equazione \(f(x)=k\) non ha soluzioni.

Per \(k=-1\), l'equazione \(f(x)=-1\) ha l'unica soluzione \(x=1/e\).

Per \(k>-1\), l'equazione \(f(x)=k\) ha due soluzioni, una in \((0,1/e)\), l'altra in \((1/e,+\infty)\). In particolare, l'equazione \(f(x)=0\) ha le due soluzioni \(x=1/e^{2}\), \(x=1\).

Soluzione

La funzione \(f(x)=e-x\log^{2}x\) è definita per \(x>0\). Abbiamo

\[ \lim_{x\to0}f(x)=e,\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]

Si ha poi

\[ f'(x)=-\log x(\log x+2), \]

da cui si ha \(f\) strettamente decrescente in \((0,1/e^{2})\), dove assume tutti i valori \(k\in \left(e-\frac{4}{e^{2}}, e\right)\); il punto \(x=1/e^{2}\) è di minimo relativo con valore \(f(1/e^{2})=e-\frac{4}{e^{2}}\); \(f\) è strettamente crescente nell'intervallo \((1/e^{2},1)\) dove assume ancora tutti i valori \(k\in \left(e-\frac{4}{e^{2}}, e\right)\); il punto \(x=1\) è di massimo assoluto con valore \(f(1)=e\); \(f\) è di nuovo strettamente decrescente in \((1,+\infty)\), dove assume tutti i valori \(k\in(-\infty,e)\).

Concludendo, per ogni valore \(k<e-\frac{4}{e^{2}}\) l'equazione \(f(x)=k\) ha una sola soluzione che si trova nell'intervallo \((1,+\infty)\). In particolare l'equazione \(f(x)=0\) ha l'unica soluzione \(x=e\).

Per \(k=e-\frac{4}{e^{2}}\), l'equazione \(f(x)=e-\frac{4}{e^{2}}\) ha due soluzioni, una è \(x=1/e^{2}\), l'altra si trova nell'intervallo \((1,e)\).

Per \(e-\frac{4}{e^{2}}<k<e\), l'equazione \(f(x)=k\) ha tre soluzioni, una in \((0,1/e^{2})\), una in \((1/e^{2},1)\), una in \((1,e)\).

Per \(k=e\), l'equazione \(f(x)=e\) ha l'unica soluzione \(x=1\).

Per \(k>e\), l'equazione \(f(x)=k\) non ha soluzioni.

Soluzione

La funzione \(f(x)=\frac{x}{x+1}-\arctan x\) è definita per \(x\neq-1\). Abbiamo

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=1+\frac{\pi}{2},\ \lim_{x\to-1^{\pm}}f(x)=\mp\infty,\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1-\frac{\pi}{2}. \]

Si ha poi

\[ f'(x)=-\frac{2x}{(x+1)^{2}(x^{2}+1)} \]

da cui si ha \(f\) strettamente crescente in \((-\infty,-1)\), dove assume tutti i valori \(k\in \left(1+\frac{\pi}{2}, +\infty\right)\); \(f\) è strettamente crescente anche nell'intervallo \((-1,0)\) dove assume tutti i valori \(k\in(-\infty, 0)\); il punto \(x=0\) è di massimo relativo con valore \(f(0)=0\); \(f\) è strettamente decrescente in \((0,+\infty)\), dove assume tutti i valori \(k\in\left(1-\frac{\pi}{2},0\right)\).

Concludendo, per ogni valore \(k\leq1-\frac{\pi}{2}\) l'equazione \(f(x)=k\) ha una sola soluzione che si trova nell'intervallo \((-1,0)\).

Per \(1-\frac{\pi}{2}<k<0\), l'equazione \(f(x)=k\) ha due soluzioni, una è in \((-1,0)\), l'altra si trova nell'intervallo \((0,+\infty)\).

Per \(k=0\), l'equazione \(f(x)=0\) ha l'unica soluzione \(x=0\).

Per \(0<k\leq1+\frac{\pi}{2}\), l'equazione \(f(x)=k\) non ha soluzioni.

Per \(k>1+\frac{\pi}{2}\), l'equazione \(f(x)=k\) ha una unica soluzione che si trova nell'intervallo \((-\infty,-1)\).