Proprietà delle successioni

Esercizi · Limiti di successioni · con le soluzioni svolte · PDF

Esercizio 1

Si consideri la successione

\[ a_n = \log \left( 1 + (-1)^n \frac{n}{n+1}\right), \quad {\rm ~~per~~} n=1,2,3, \dots \]

Domande:

1. La successione è limitata superiormente? In caso affermativo determinare il \(\sup \big\{a_n \big\}\).

2. La successione ammette massimo? In caso affermativo determinare il \(\max \big\{a_n \big\}\).

3. La successione è inferiormente limitata? In caso affermativo determinare l'\(\inf \big\{a_n \big\}\).

4. La successione ammette minimo? In caso affermativo determinare il \(\min \big\{a_n \big\}\).

Soluzione

Con \(n=1\) abbiamo

\[ \log \left( 1 -1 \: \frac{1}{2}\right) = \log \frac{1}{2} \approx -0.69314. \]

Con \(n=2\) abbiamo

\[ \log \left( 1 +1 \: \frac{2}{3}\right) = \log \frac{5}{3} \approx 0.510826. \]

La presenza del segno alternato \((-1)^n\) suggerisce di ragionare sull'andamento della successione distinguendo cosa succede per \(n\) pari e \(n\) dispari.

Soluzione

• Se \(n\) è pari:

  \[ a_n = \log \left( 1 + \frac{n}{n+1}\right), \quad {\rm ~~per~~} n=2,4,6 \dots \]

  quindi l'argomento del logaritmo è

  \[ 1 + \frac{n}{n+1} = 1 + \frac{n+1-1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1} \]

  che varia in

  \[ \left[\frac{5}{3},2\right) {\rm ~e~il~logaritmo~in} \left[\log \frac{5}{3}, \log 2\right), \]

  ovvero è positivo e superiormente limitato. Quindi

  \[ \sup \big\{a_n: n {\rm ~~è~pari~} \big\} = \log 2 \approx 0.69314 \]

  ma \(\log 2\) non è il massimo di questi valori.

• Se \(n\) è dispari:

  \[ a_n = \log \left( 1 - \frac{n}{n+1}\right), \quad {\rm ~~per~~} n=1,3,5 \dots \]

  quindi l'argomento del logaritmo è

  \[ 1 - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1} \]

  che varia in

  \[ \left(0,\frac{1}{2}\right] {\rm ~e~il~logaritmo~in} \left(- \infty, \log \frac{1}{2}\right], \]

  ovvero è negativo e al crescere di \(n\) è inferiormente illimitato.

La successione, nel suo complesso, è quindi superiormente ma non inferiormente limitata, non ammette massimo (pur avendo \(\sup\) finito) né minimo (perché è inferiormente illimitata).

Esercizio 2

Si consideri la successione

\[ a_n = e^{-\frac{1}{n}} \: \sin n, \quad {\rm ~~per~~} n=1,2,3, \dots \]

Domande:

1. La successione è limitata superiormente?

2. La successione è limitata inferiormente?

3. È definitivamente positiva?

4. Non si annulla mai?

5. Ha limite (finito o infinito)?

Soluzione

Con \(n=1\) abbiamo

\[ e^{-1} \sin 1 \approx 0.3679 \cdot 0.8415 \approx 0.309560. \]

Con \(n=2\) abbiamo

\[ e^{-\frac{1}{2}} \sin 2 \approx 0.6065 \cdot 0.9093 \approx 0.551517. \]

Con \(n=10\) abbiamo

\[ e^{-\frac{1}{10}} \sin 10 \approx 0.9048 \cdot -0.5440 \approx -0.492251. \]

Con \(n=20\) abbiamo

\[ e^{-\frac{1}{20}} \sin 20 \approx 0.9512 \cdot 0.9129 \approx 0.8684. \]

Soluzione

La successione è il prodotto della successione

\[ n \mapsto e^{- \frac{1}{n}} {\rm ~~con~~} \lim_{n \rr \ip } e^{- \frac{1}{n}} =1, \]

limitata, sempre diversa da zero, convergente, e della successione

\[ n \mapsto \sin n, \]

limitata ma irregolare, mai nulla (dato che \(n\) parte da 1, per l'irrazionalità di \(\pi\), l'angolo \(n\) non è mai multiplo intero di \(\pi\)).

Quindi, la successione data dal prodotto di queste due sarà limitata, mai nulla e irregolare.

Poiché

\[ e^{- \frac{1}{n}} \rr 1 \]

e il segno di \(\sin n\) non è definitivamente costante, la successione data dal prodotto delle due non è definitivamente positiva.

Esercizio 3

Si consideri la successione

\[ a_n = e^{n} \: \sin n, \quad {\rm ~~per~~} n=1,2,3, \dots \]

Domande:

1. La successione è limitata superiormente?

2. La successione è limitata inferiormente?

3. È definitivamente positiva?

4. Non si annulla mai?

5. Ha limite (finito o infinito)?

Soluzione

Con \(n=1\) abbiamo

\[ e^{1} \sin 1 \approx 2.7183 \cdot 0.8415 \approx 2.2874. \]

Con \(n=2\) abbiamo

\[ e^{2} \sin 2 \approx 7.3891 \cdot 0.9093 \approx 6.7188. \]

Con \(n=5\) abbiamo

\[ e^{5} \sin 5 \approx 148.4132 \cdot -0.9589 \approx -142.3170. \]

Soluzione

La successione è il prodotto della successione

\[ n \mapsto e^{n} {\rm ~~con~~} \lim_{n \rr \ip } e^{n} =+\infty, \]

illimitata superiormente, limitata inferiormente, sempre diversa da zero, divergente, e della successione

\[ n \mapsto \sin n, \]

limitata ma irregolare, mai nulla (dato che \(n\) parte da 1, per l'irrazionalità di \(\pi\), l'angolo \(n\) non è mai multiplo intero di \(\pi\)).

Quindi, la successione data dal prodotto di queste due sarà illimitata superiormente, illimitata inferiormente, mai nulla e irregolare.

Poiché

\[ e^{n} \rr +\infty \]

e il segno di \(\sin n\) non è definitivamente costante, la successione data dal prodotto delle due non è definitivamente positiva.

Esercizio 4

Si consideri la successione

\[ a_n = \frac{n^{(-1)^n}}{n+1}, \quad {\rm ~~per~~} n=1,2,3, \dots \]

Domande:

1. La successione è limitata superiormente? In caso affermativo determinare il \(\sup \big\{a_n \big\}\).

2. La successione ammette massimo? In caso affermativo determinare il \(\max \big\{a_n \big\}\).

3. La successione è inferiormente limitata? In caso affermativo determinare l'\(\inf \big\{a_n \big\}\).

4. La successione ammette minimo? In caso affermativo determinare il \(\min \big\{a_n \big\}\).

Soluzione

Con \(n=1\) abbiamo

\[ 1^{(-1)^1} \frac{1}{2} = 1 \: \frac{1}{2} \]

Con \(n=2\) abbiamo

\[ 2^{(-1)^2} \frac{1}{3} = 2 \: \frac{1}{3}. \]

Con \(n=3\) abbiamo

\[ 3^{(-1)^3} \frac{1}{4} = \frac{1}{3} \: \frac{1}{4}. \]

Con \(n=4\) abbiamo

\[ 4^{(-1)^4} \frac{1}{5} = 4 \: \frac{1}{5}. \]

La presenza del segno alternato \((-1)^n\) suggerisce di ragionare sull'andamento della successione distinguendo cosa succede per \(n\) pari e \(n\) dispari.

Soluzione

• Se \(n\) è pari:

  \[ a_n = \frac{n}{n+1}, \quad {\rm ~~per~~} n=2,4,6 \dots \]

  Aggiungendo \(+1\) e \(-1\) al numeratore, ottengo

  \[ a_n=\frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \]

  che varia in

  \[ \left[\frac{2}{3},1\right), \]

  ovvero è positiva e superiormente limitata. Quindi

  \[ \sup \big\{a_n: n {\rm ~~è~pari~} \big\} = 1 \]

  ma \(1\) non è il massimo di questi valori.

• Se \(n\) è dispari:

  \[ a_n = \frac{\frac{1}{n}}{n+1} = \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}, \quad {\rm ~~per~~} n=1,3,5 \dots \]

  che varia in

  \[ \left(0,\frac{1}{2}\right], \]

  ovvero è positiva e inferiormente limitata. Quindi

  \[ \inf \big\{a_n: n {\rm ~~è~dispari~} \big\} = 0 \]

  ma \(0\) non è il minimo di questi valori.

La successione, nel suo complesso, è limitata, non ammette massimo (pur avendo \(\sup\) finito) né minimo (pur avendo \(\inf\) finito).