Serie numeriche

Parte 5 · Serie · Capitolo 1 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Serie numeriche

• Introduciamo ora le serie numeriche, che estendono l'operazione di somma a un numero infinito di addendi.

La somma di infiniti termini, anche tutti positivi, può dare un risultato finito.

• Immaginiamo di misurare un quadrato di area 2 usando questo procedimento: dividiamo il quadrato a metà usando la diagonale e misuriamo il primo triangolo rettangolo: otterremo 1; poi dividiamo a metà il secondo triangolo rettangolo e misuriamone il primo triangolo rettangolo: otterremo \(\frac{1}{2}\); il rimanente triangolo rettangolo è diviso ancora a metà... e così via indefinitamente. Otteniamo la somma infinita:

  \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + {\rm \dots} + \frac{1}{2^k} + {\rm \dots} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} \]

  che, per come è stata costruita, deve dare come risultato 2.

Definizione 1: di serie numerica

Data una successione \(\{a_k\}_{k \in \N}\), chiamiamo serie numerica dei termini \(a_k\) la scrittura:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k \]

• Si legge “serie (ma anche somma) per \(k\) da 0 a \(\ip\) di \(a_k\)”. I valori \(a_k\) prendono il nome di termini generali della serie.

Definizione 2: di successione delle somme parziali

I numeri

\[ s_n = \sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + {\rm \dots} + a_n,~~~~ \forall n \in \N \]

vengono detti somme parziali \(n\)-esime della serie e definiscono la successione \(\{s_n\}\) delle somme parziali.

Il carattere della serie è determinato dal limite della successione \(\{ s_n\}\) per \(n\) che tende all'infinito. Diremo che una serie è convergente, divergente, irregolare, se la successione \(\{s_n\}\) delle somme parziali è convergente, divergente o irregolare, rispettivamente.

Definizione 3: di somma della serie

Se la successione \(\{s_n\}\) delle somme parziali è convergente, ovvero se

\[ s_n \rr s \in \R {\rm ~~~~per~~~~}n \rr \ip \]

diciamo che \(s\) è la somma della serie, e scriviamo \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k = s\).

Quindi se la successione \(\{s_n\}\) è convergente abbiamo:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k = \lim_{n \rr \ip} \sum_{k=0}^{n} a_k = \lim_{n \rr \ip} s_n = s \]

La serie traduce con precisione l'idea di somma di infiniti addendi, ovvero si calcola il limite per \(n \rr \ip\) della somma finita dei primi \(n\) addendi.

• Se invece di sommare a partire da \(0\) si parte da un indice \(n_0 >0\), scriviamo \(\sum_{k=n_0}^{\infty} a_k\)

• Per indicare una generica serie numerica senza indicare l'indice di partenza \(n_0\) utilizzeremo il simbolo \(\sum a_k\)

Una generica serie numerica \(\sum a_k\) coinvolge sempre due diverse successioni:

1. la successione \(\{a_k\}\) dei termini della serie

2. la successione \(\{ s_n\}\) delle somme parziali

Esempio 1: carattere di una serie

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} \]

Abbiamo:

\[ s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} = \underbrace{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}+{\dots}+\frac{1}{\sqrt{n}}}_{n {\rm ~addendi,~ciascuno~} \ge \frac{1}{\sqrt{n}} } \ge n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} \rr \ip {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

Quindi la successione delle somme parziali \(\{s_n\}\) è divergente per il teorema del confronto per le successioni e, di conseguenza, la serie è divergente.

1.1 Principali proprietà delle serie numeriche

Osservazione 1

Se una successione \(\{a_k\}\) è a termini non-negativi, ovvero \(a_k \ge 0,\forall k\), allora la successione delle somme parziali \(\{s_n\}\) è crescente e regolare.

Dimostrazione

Data una successione \(\{a_k\}\) a termini non negativi, la successione delle somme parziali \(\{s_n\}\) è crescente dato che:

\[ s_{n+1}= s_{n} + \underbrace{a_{n+1}}_{\ge 0} \ge s_{n}, ~~~\forall n, {\rm ~~~~quindi~~} \lim_{n \rr \ip} s_n = \sup_{n \in \N} \{s_n\} \]

per il teorema di monotonia delle successioni. Di conseguenza la successione \(\{s_n\}\) non può essere irregolare. È quindi regolare ovvero o converge o diverge. □

Data una successione \(\{a_k\}\) a termini non negativi:

• Se \(\{s_n\}\) è crescente e limitata allora ammette limite finito e \(\sum a_k\) converge.

• Se \(\{s_n\}\) è crescente e illimitata allora \(\sum a_k\) diverge a \(\ip\).

• Questa osservazione è valida anche per successioni a termini definitivamente non-negativi, positivi o definitivamente positivi.

Teorema 1

Se una serie \(\sum a_k\) è convergente allora \(\lim_{k \rr \ip} a_k=0\)

Dimostrazione

Per definizione di serie convergente, la successione delle somme parziali \(\{s_n\}\) converge a un numero reale \(s\), cioè \(s_n \rr s \in \R\) per \(n \rr \ip\). Senza perdita di generalità consideriamo \(n_0=0\).

Osserviamo che la successione \(\{s_n\}\) può essere definita in maniera ricorsiva:

\[ s_0= a_0,~~~~ s_n = s_{n-1} + a_n,~~ \forall n \ge 1 \]

Di conseguenza abbiamo:

\[ a_n = s_n - s_{n-1} {\rm ~~~~e~quindi~~~} \lim_{n \rr \ip} a_n = \lim_{n \rr \ip} \big( s_n -s_{n-1} \big)= s -s =0 \]

□

La convergenza di una serie implica quindi che \(a_k \rr 0\) per \(k \rr \ip\), ovvero:

\[\begin{equation} \sum a_k {\rm ~~convergente~~} ~~\Rightarrow~~ \lim_{k \rr \ip} a_k=0 \label{BBB} \end{equation}\]

ma il viceversa non è vero (l'esempio 1 è un controesempio):

\[\begin{equation} \lim_{k \rr \ip} a_k=0 ~~\nRightarrow~~ \sum a_k {\rm ~~convergente~~} \label{CCC} \end{equation}\]

Quindi il fatto che \(a_k \rr 0\) per \(k \rr \ip\) è condizione necessaria ma non sufficiente alla convergenza di una serie.

• Dalla contronominale o implicazione inversa di \(\eqref{BBB}\) abbiamo:

  \[ \lim_{k \rr \ip} a_k \neq 0 ~~\Rightarrow~~ \sum a_k {\rm ~è~divergente~o ~irregolare~~} \]

  ovvero se il limite non è uguale a zero allora la serie non è convergente.

1.2 Code delle serie

Se si modifica un numero finito di termini di una serie, il valore della somma può cambiare, ma il carattere della serie resta immutato.

• Se si modifica il valore di un termine, per esempio \(a_{n_0}\), per \(n \ge n_0\) le successioni delle somme parziali, originale e modificata, differiscono solo per tale termine: quindi entrambe convergono, divergono o sono irregolari. Lo stesso vale se si modificano un numero finito di termini.

I risultati sul carattere delle serie valgono quindi anche se le ipotesi sono verificate “definitivamente”, cioè da un certo indice \(n_0\) in poi.

Definizione 4: di coda di una serie

Data una serie \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\) e un valore \(m \in \N\), la serie \(\sum_{k=m+1}^{\infty} a_k\) viene detta coda della serie.

• Data una serie \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\) e \(m \in \N\) abbiamo:

  \[\begin{equation} \sum_{k=m+1}^{n} a_k = \left(\sum_{k=0}^{n} a_k\right) - \left(\sum_{k=0}^{m} a_k\right) = s_n -s_m, \qquad \forall n > m \label{MMMMM} \end{equation}\]

  quindi per ogni coda (ovvero per ogni \(m\)) l'associata successione delle somme parziali è uguale a quella della serie di partenza meno una costante. Abbiamo di conseguenza la seguente osservazione:

Ogni coda di una serie ha lo stesso carattere della serie di partenza.

• Data una serie convergente, passando al limite per \(n \rr \ip\) nella \(\eqref{MMMMM}\) si ottiene la relazione:

  \[\begin{equation} \sum_{k=m+1}^{\infty} a_k = \left(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\right) - \left(\sum_{k=0}^{m} a_k\right) = s -s_m~~~ {\rm ~~per~~} n \rr \ip \label{NNNNN} \end{equation}\]

  Abbiamo di conseguenza la seguente osservazione:

Dato \(m \in \N\), ogni coda \(\sum_{k=m+1}^{\infty} a_k\) di una serie convergente, può essere interpretata come l'errore che si commette approssimando la somma \(s\) con la somma parziale \(s_m\).

Teorema 2

Se una serie \(\sum a_k\) è convergente allora

\[ \underbrace{s-s_m}_{\displaystyle=\sum_{k=m+1}^{\infty} a_k} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} m \rr \ip \]

Dimostrazione

Per ogni \(n > m\), la somma parziale \(n\)-esima della serie vale:

\[ s_n = s_{m} + \sum_{k=m+1}^{n} a_k \]

Passando al limite per \(n \rr \ip\), abbiamo:

\[ s = s_{m} + \underbrace{\lim_{n \rr \ip}\sum_{k=m+1}^{n} a_k }_{\displaystyle =\sum_{k=m+1}^{\infty} a_k} \]

Passando ora al limite per \(m \rr \ip\), abbiamo:

\[ s = s + \lim_{m \rr \ip} \sum_{k=m+1}^{\infty} a_k ~~~\Rightarrow~~~ \lim_{m \rr \ip} \sum_{k=m+1}^{\infty} a_k = 0 \]

ovvero la tesi del teorema. □

Questo teorema ci dice che, se una serie è convergente, allora il valore \(s - s_m\), ovvero l'errore che si commette approssimando la somma \(s\) con la somma parziale \(s_m\), tende a zero per \(m \rr \ip\). In altre parole, la coda di una serie convergente tende a zero per \(m\) che tende a infinito.

1.3 Serie armonica

Definizione 5: di serie armonica

Si dice serie armonica la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\)

Teorema 3: del carattere della serie armonica

La serie armonica è divergente a \(\ip\)

• Graficamente abbiamo:

La serie armonica \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) è un controesempio che dimostra la \(\eqref{CCC}\), dato che:

\[ \lim_{k \rr \ip} \frac{1}{k} = 0 {\rm ~~~~~~~e~~~~~~~} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}{\rm ~~~~~è~divergente~a} \ip \]

• Prima di dimostrare il teorema, osserviamo che per determinati valori di \(n\) le somme parziali sono:

  \[ \underbrace{s_1}_{\displaystyle =s_{2^{\red 0}}}=1+\frac{\red 0}{2},~~~~\underbrace{s_2}_{\displaystyle =s_{2^{\red 1}}}= s_1 +\frac{1}{2}=1+\frac{0}{2}+\frac{1}{2} = 1+\frac{\red 1}{2},~~~~\underbrace{s_4}_{\displaystyle =s_{2^{\red 2}}}=s_2 + \underbrace{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}_{\ge \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}}\ge 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1 + \frac{\red 2}{2} \]
  \[ \underbrace{s_8}_{\displaystyle =s_{2^{\red 3}}}=s_4 + \underbrace{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)}_{\ge \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}} \ge 1 + \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\red 3}{2} \]
  \[ \underbrace{s_{16}}_{\displaystyle =s_{2^{\red 4}}}=s_8 + \underbrace{\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+ \frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16} \right)}_{\ge \frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}} \ge 1 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\red 4}{2} \]

Dimostrazione

Dimostriamo per induzione su \(2^n\) che

\[ s_{2^n} \ge 1 + \frac{n}{2},~~~ \forall n \in \N \]

Primo passo dell'induzione. Sia \(n = 0\). Allora l'asserto diventa \(s_{2^0} \ge 1+\frac{0}{2}\) cioè \(1 \ge 1\) che è evidentemente vero.

Passo induttivo. Supponiamo che sia vero per \(2^{n-1}\) e proviamolo per \(2^{n}\). Per ipotesi induttiva, abbiamo:

\[ s_{2^{n-1}} \ge 1 + \frac{n-1}{2} \]

Abbiamo inoltre:

\[ s_{2^{n}} = s_{2^{n-1}} + \underbrace{\sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n} \left( \frac{1}{k} \right)}_{\displaystyle \ge 2^{n-1} \cdot \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}} {\rm ~~~~quindi~~~~~} s_{2^{n}} \ge 1 + \frac{n-1}{2} + \frac{1}{2} = 1 +\frac{n}{2} \]

che è esattamente l'asserto voluto per \(2^{n}\).

Abbiamo quindi:

\[ s_{2^n} \ge 1 + \frac{n}{2}\rr \ip {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

e \(\{s_n\}\) è illimitata superiormente e anche monotona crescente, visto che \(a_k=1/k>0, \forall k >1\). Di conseguenza \(\{s_n\}\) diverge a \(\ip\) per il teorema di monotonia delle successioni e la serie armonica diverge a \(\ip\). □

La successione \(a_k=1/k, \forall k \ge 1\), della serie armonica è a termini positivi quindi la successione delle somme parziali \(\{s_n\}\) è crescente e divergente dato che è illimitata.

1.4 Serie geometrica

Definizione 6: di serie geometrica

Dato \(q \in \R\), si dice serie geometrica di ragione \(q\) la serie \(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\)

Teorema 4: del carattere e somma della serie geometrica

Data la ragione \(q \in \R\),

\[ {\rm la~serie~geometrica~} \sum_{k=0}^{\infty} q^k {\rm ~~~~è~~~~} \begin{cases} {\rm convergente~} & {\rm se~} |q| < 1\\[1ex] {\rm divergente~a~} \ip & {\rm se~} q \ge 1\\[1ex] {\rm irregolare~} & {\rm se~} q \le -1 \end{cases} \]

Se la serie geometrica è convergente, la somma \(s\) vale \(\frac{1}{1-q}\)

Dimostrazione

Dati \(q \in \R\) e \(n \in \N\), la somma parziale \(n\)-esima della serie geometrica vale:

\[ \sum_{k=0}^n q^k = \begin{cases} \displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q} & {\rm se~} q \neq 1\\[3ex] n+1 & {\rm se~} q = 1 \end{cases} \]

dato che equivale alla somma dei primi \(n+1\) termini della progressione geometrica. Inoltre, abbiamo:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} q^n = \begin{cases} +\infty & {\rm se~} q >1\\[2ex] 1 & {\rm se~} q = 1\\[2ex] 0 & {\rm se~} |q| < 1\\[2ex] {\rm non~esiste~} & {\rm se~} q \le -1 \end{cases} \]

Quindi, se \(q \neq 1\):

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} s_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q} \; \lim_{n \rightarrow +\infty} \big(1-q^{n+1}\big) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{1-q} & {\rm se~} |q| < 1\\[2ex] +\infty & {\rm se~} q > 1\\[2ex] {\rm non~esiste~} & {\rm se~} q \le -1 \end{cases} \]

e se \(q=1\) abbiamo:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} s_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} (n+1)= +\infty \]

□

Esempio 2: di serie geometrica

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k \]

È una serie geometrica di ragione \(q=1/2\) quindi è convergente e la somma \(s\) vale \(1/(1-1/2) =2\).

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{13}{12}\right)^k \]

È una serie geometrica di ragione \(q=13/12\) quindi è divergente.

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.

1.5 Serie telescopica

Definizione 7: di serie telescopica

Si dice serie telescopica una serie con la forma:

\[ \sum_{k=n_0}^{\infty} (b_k-b_{k+1}) {\rm ~~~~~dove~~} \{b_k\} {\rm~è~una ~successione} \]

Teorema 5: del carattere e somma della serie telescopica

Una serie telescopica converge, diverge o è irregolare a seconda che la successione \(\{b_k\}\) rispettivamente converga, diverga o sia irregolare.

\[ {\rm ~~Se~~} \lim_{k \rr \ip} b_k = \ell \in \R^* {\rm ~~~~allora~~~~} \sum_{k=n_0}^{\infty} (b_k-b_{k+1})= b_{n_0} - \underbrace{\lim_{k \rr \ip} b_k}_{=\ell \in \R^*} \]

Inoltre, se \(\ell \in \R\), allora la serie telescopica è convergente e la somma \(s\) vale \(b_{n_0} - \ell\)

Dimostrazione

Abbiamo

\[\begin{align*} s_n &= \sum_{k=n_0}^{n_0+n} \big(b_k - b_{k+1}\big)\\[2ex] & = (b_{n_0} - b_{n_0+1}) + (b_{n_0+1} - b_{n_0+2}) + {\rm \dots} + (b_{n_0+n} - b_{n_0+n+1})\\[2ex] &= b_{n_0} - b_{n_0+n+1} \end{align*}\]

quindi:

\[ \sum_{k=n_0}^{\infty} (b_k-b_{k+1})=\lim_{n \rightarrow +\infty} s_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} (b_{n_0} - b_{n_0+n+1}) = b_{n_0} -\lim_{n \rr \ip} b_n \]

□

Osservazione 2

La serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \; (k+1)}\), detta serie di Mengoli, è convergente e la somma \(s\) è uguale a \(1\).

Dimostrazione

Abbiamo:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \; (k+1)} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k+1) - k }{k \; (k+1)} = \sum_{k=1}^{\infty} \underbrace{\frac{1}{k}}_{=b_k} - \underbrace{\frac{1}{k+1}}_{=b_{k+1}} \]

La serie di Mengoli ha quindi la forma:

\[ b_k - b_{k+1} {\rm ~~~con~~~} b_k = \frac{1}{k} {\rm ~~~~~e~inoltre~~} \lim_{k \rr \ip} b_k = \lim_{k \rr \ip} \frac{1}{k} = 0 \]

quindi è una serie telescopica convergente (\(n_0=1\)) e inoltre \(s= b_1 = 1\). □

• Graficamente abbiamo:

Dimostrazione

Dimostrazione alternativa

Per ogni \(n\ge 1\), il valore della somma parziale della serie di Mengoli è:

\[ s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k \; (k+1)}= \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)= \left(1 -\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} -\frac{1}{3} \right) + {\rm \dots} + \left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \right)= 1 - \frac{1}{n+1} \]

Quindi abbiamo

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \rr \ip} s_n = \lim_{n \rr \ip} 1 - \frac{1}{n+1} = 1 \]

Di conseguenza la serie di Mengoli è convergente e la sua somma \(s\) vale 1. □

Esempio 3: serie telescopica

Determiniamo il carattere della serie:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3\;k+2)\;(3\;k+5)} \]

Abbiamo:

\[ \frac{1}{(3\;k+2)\;(3\;k+5)} = \frac{\alpha}{3\;k+2}-\frac{\beta}{3\;k+5} = \frac{\alpha\:(3\;k+5)-\beta\;(3\;k+2)}{(3\;k+2)\;(3\;k+5)} = \frac{3\;(\alpha-\beta)\;k +5\;\alpha -2\;\beta}{(3\;k+2)\;(3\;k+5)} \]

\[ \Rightarrow \begin{cases} 3\;(\alpha-\beta) =0\\ 5\;\alpha -2\;\beta =1 \end{cases} \Rightarrow \alpha=\beta,~~~ 3\;\alpha=1 {\rm ~~quindi~~} \alpha=\beta=\frac{1}{3} \]

di conseguenza:

\[ \frac{1}{(3\;k+2)\;(3\;k+5)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3\;k+2} - \frac{1}{3\;k+5} \right) = \frac{1}{3} \left( \underbrace{\frac{1}{3\;k+2}}_{=b_k} - \underbrace{\frac{1}{3\;(k+1)+2}}_{=b_{k+1}} \right) \]

La serie ha quindi la forma:

\[ b_k - b_{k+1} {\rm ~~~con~~~} b_k = \frac{1}{3\;k+2} {\rm ~~~~~e~inoltre~~} \lim_{k \rr \ip} b_k = \lim_{k \rr \ip} \frac{1}{3\;k+2} = 0 \]

ovvero una serie telescopica (\(n_0=1\)) e abbiamo:

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3\;k+2)\;(3\;k+5)} = \frac{1}{3} \left( b_1 - \underbrace{ \lim_{k \rr \ip} b_{k}}_{\rr 0}\right) = \frac{1}{3} \; b_1 = \frac{1}{15} \end{align*}\]

Quindi è una serie telescopica convergente e la somma \(s\) vale \(\frac{1}{15}\).