Punti angolosi, cuspidi, punti a tangente verticale/orizzontale

Parte 4 · Derivate · Capitolo 3 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Derivata destra e derivata sinistra

Definizione 1: di derivata destra (sinistra)

Sia \(f: (a, b) \rr \R\), la funzione \(f\) si dice derivabile in \(x_0 \in (a, b)\) da destra (da sinistra) se esiste finito

\[ \lim_{h \rr 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \quad \left(~ \lim_{h \rr 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} ~\right) \]

allora \(f\) è derivabile da destra (da sinistra) e il limite si chiama derivata destra (sinistra).

• La derivata destra si indica con il simbolo \(f'_{+}(x_0)\) mentre la derivata sinistra si indica con il simbolo \(f'_{-}(x_0)\)

2. Punti angolosi

Definizione 2: di punto angoloso

Nel caso in cui \(f\) sia continua e derivabile da destra e da sinistra (ma non derivabile) in \(x_0\) si dice che \(f\) abbia un punto angoloso in \(x = x_0\).

Esempio 1: Punti angolosi

Consideriamo la funzione \(f(x) = |x|\) e il punto \(x_0=0\). Abbiamo:

\[ f'_{+}(0)=\lim_{h \rr 0^+}\frac{|h|}{h} = \lim_{h \rr 0^+} \frac{h}{h} = 1 {\rm ~~~~e~~~~} f'_{-}(0)=\lim_{h \rr 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rr 0^-} \frac{-h}{h} = -1 \]

Non esistendo il limite del rapporto incrementale, \(f\) non è derivabile in \(x =0\). La funzione è continua in \(x=0\) nell'origine dato che

\[ \lim_{x \rr 0^+} f(x)=\lim_{x \rr 0^+} x = 0 {\rm ~~~e~~~} \lim_{x \rr 0^-} f(x) =\lim_{x \rr 0^-} -x = 0 {\rm ~~~~quindi~~~} \lim_{x \rr 0} f(x) = f(0)=0 \]

Dato che esistono finiti i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in \(x=0\), il grafico presenta quindi un punto angoloso in \(x=0\).

La formula che esprime sinteticamente la derivata della funzione valore assoluto (fuori dall'origine) è la seguente:

\[ f(x)= |x|, \quad f'(x) = sgn (x) = \begin{cases} 1 & {\rm se~~} x > 0\\ -1 & {\rm se~~} x < 0 \end{cases} \]

3. Punti a tangente verticale/orizzontale

• Se \(f\) è continua in un punto \(x_0\) e

  \[ \lim_{h \rr 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= \pm \infty \]

  allora \(f\) non è derivabile in \(x_0\) ma, geometricamente, il grafico di \(f\) ha una retta tangente ben definita e parallela all'asse delle ordinate.

  Ammetteremo in tal caso la scrittura

  \[ f'(x_0) = \ip, ~~~~ f'(x_0) = \im \]

  e parleremo di punto a tangente verticale.

Definizione 3: di punto a tangente verticale

Se

\[ f'(x_0) = \ip {\rm ~~~oppure~~~} f'(x_0) = \im \]

si dice che \(f\) ha un punto a tangente verticale in \(x = x_0\).

• Analogamente, se \(f\) è continua in un punto \(x_0\) e

  \[ \lim_{h \rr 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0 \]

  il grafico di \(f\) ha una retta tangente ben definita e parallela all'asse delle ascisse. Parleremo in questo caso di punto a tangente orizzontale.

Definizione 4: di punto a tangente orizzontale

Se

\[ f'(x_0) = 0 \]

si dice che \(f\) ha un punto a tangente orizzontale in \(x = x_0\).

Esempio 2: Punto a tangente verticale

Sia

\[ f(x) = \sqrt[3]{x} \]

allora per \(x_0=0\)

\[ \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{ \sqrt[3]{h}}{h} = \frac{ 1}{h^{2/3}} \]

e i limiti sono:

\[ \lim_{h \rr 0^-} \frac{ 1}{h^{2/3}} = \ip {\rm ~~~e~~~}\lim_{h \rr 0^+} \frac{ 1}{h^{2/3}} = \ip {\rm ~~~~quindi~~~~} \lim_{h \rr 0} \frac{ 1}{h^{2/3}} = \ip {\rm ~~~e~~~} f'(0)= \ip. \]

La funzione ha un punto a tangente verticale in \(x_0=0\). La funzione:

\[ f(h) = \frac{1}{h^{{2}/{3}}} = h^{-\frac{2}{3}} \]

è una potenza a esponente razionale \(\frac{m}{n}\) negativo con \(n\) dispari (quindi definita su \(\R \setminus \{0\}\)) e \(m\) pari (quindi funzione pari). Il suo grafico è:

Esempio 3: Punto a tangente verticale

Sia

\[ f(x) = -\sqrt[3]{x-2}+1 \]

allora per \(x_0=2\)

\[ \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{- \sqrt[3]{(2+h)-2}+1 - 1}{h} = -\frac{ \sqrt[3]{h}}{h}=-\frac{ 1}{h^{2/3}} \]

e i limiti sono

\[ \lim_{h \rr 0^-} -\frac{ 1}{h^{2/3}} = \im {\rm ~~~e~~~}\lim_{h \rr 0^+} -\frac{ 1}{h^{2/3}} = \im {\rm ~~~~quindi~~~~} \lim_{h \rr 0} - \frac{ 1}{h^{2/3}} = \im {\rm ~~~e~~~} f'(2)= \im. \]

La funzione ha un punto a tangente verticale in \(x_0=2\).

4. Cuspidi

Definizione 5: di cuspide

Sia \(f\) una funzione continua in \(x_0\) se

\[ f'_+(x_0)= \pm \infty {\rm ~~e~~} f'_-(x_0)= \mp \infty \]

si dice che \(f\) ha una cuspide in \(x_0\).

Esempio 4: Cuspide

Sia

\[ f(x) = \sqrt[3]{|x|} \]

allora per \(x_0=0\)

\[ \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{ \sqrt[3]{|h|}}{h} \]

e i limiti sono:

\[ \lim_{h \rr 0^-} \frac{ \sqrt[3]{-h}}{h}=\lim_{h \rr 0^-} -\frac{ 1}{h^{2/3}} = \im {\rm ~~~~e~~~~}\lim_{h \rr 0^+} \frac{ \sqrt[3]{h}}{h} =\lim_{h \rr 0^+} \frac{ 1}{h^{2/3}} = \ip, \]

quindi:

\[ f'_-(0)= \im {\rm ~~~~e~~~~}f'_+(0)= \ip. \]

La funzione ha una cuspide in \(x_0=0\).

• Nel caso misto in cui una delle due derivate è finita e l'altra infinita (con \(f\) continua) si parla ancora di punto angoloso.

• Infine, se la funzione è definita solo per \(x \ge x_0\) e in tal punto ha derivata (destra) infinita, diremo semplicemente che in tal punto ha tangente verticale, senza parlare né di cuspide né di punto a tangente verticale.

Esempio 5: Punto a tangente verticale

Sia

\[ f(x) = \sqrt{x} \]

allora per \(x_0=0\)

\[ \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{ \sqrt{h}}{h} = \frac{1}{h^{1/2}} \]

abbiamo solo il limite destro

\[ \lim_{h \rr 0^+} \frac{1}{h^{1/2}} = \ip {\rm ~~~e~~~}f'_+(0)= \ip. \]

La funzione ha un punto a tangente verticale in \(x_0=0\). La funzione:

\[ f(h) = \frac{1}{h^{{1}/{2}}} = h^{-\frac{1}{2}} \]

è una potenza a esponente razionale \(\frac{m}{n}\) negativo con \(n\) pari (quindi definita solo su \(\R_+\)). Il suo grafico è:

Esempio 6: Prolungamento per continuità da destra e comportamento nell'origine

Sia

\[ f(x) = x\: \log x, {\rm ~~per~~} x>0 {\rm ~~abbiamo~~} \lim_{x \rr 0^+} x\: \log x = 0 \]

quindi la funzione può essere prolungata per continuità da destra in \(x = 0\), ponendo:

\[ f(x)= \begin{cases} x\: \log x & {\rm se~~} x > 0\\[2ex] 0 & {\rm se~~} x = 0 \end{cases} \]

Calcoliamo la derivata destra in \(x_0=0\) di \(f(x) = x\: \log x\) prolungata per continuità da destra in \(x=0\). Abbiamo, per \(x_0=0\):

\[ \frac{f(x_0 + h) - \overbrace{f(x_0)}^{=0}}{h}=\frac{f(x_0 + h)}{h} = \frac{f(h)}{h} \]

e di conseguenza

\[ \lim_{h \rr 0^+}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= \lim_{h \rr 0^+}\frac{h \: \log h}{h}= \lim_{h \rr 0^+} \log h = \im {\rm ~~~~quindi~~~~} f'_+(x_0)= \im \]

La funzione ha quindi un punto a tangente verticale in \(x_0=0\).

Esempio 7: Prolungamento per continuità da destra e comportamento nell'origine

Sia

\[ f(x) = e^{-\frac{1}{x}}, {\rm ~~per~~} x>0 {\rm ~~abbiamo~~} \lim_{x \rr 0^+} e^{-\frac{1}{x}} = 0 \]

quindi la funzione può essere prolungata per continuità da destra in \(x = 0\), ponendo:

\[ f(x)= \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & {\rm se~~} x > 0\\[2ex] 0 & {\rm se~~} x = 0 \end{cases} \]

Calcoliamo la derivata destra in \(x_0=0\) di \(f(x) = e^{-\frac{1}{x}}\) prolungata per continuità da destra in \(x=0\).

Abbiamo:

\[ \lim_{h \rr 0^+}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= \lim_{h \rr 0^+}\frac{e^{-\frac{1}{h}}}{h}= \lim_{h \rr 0^+} \frac{1}{e^{\frac{1}{h}} \; h} \]

Cambiando la variabile:

\[ y=\frac{1}{h}, {\rm ~~se~~} h \rr 0^{+} {\rm ~~allora~~} y \rr \ip \]

Otteniamo:

\[ \lim_{h \rr 0^+} \frac{1}{e^{\frac{1}{h}} \; h} = \lim_{y \rr \ip} \frac{y}{e^y} = 0 {\rm ~~~~quindi~~~~} f'_+(x_0)= 0 \]

e la funzione ha un punto a tangente orizzontale (da destra) in \(x_0=0\).