Numeri complessi
Esercizi · Numeri e logica · con le soluzioni svolte ·
Esercizio 1
Porre in forma algebrica i seguenti numeri complessi \(z\) identificandone la parte reale e la parte immaginaria. Per ciascuno, poi, trovare il modulo, il coniugato ed il reciproco.
\[
z=\frac{2+5i}{1+i} ~~~~~~~~~~~~
\ z=\frac{2+i}{1-3i}
\]
Soluzione
\[
z=\frac{2+5i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{7+3i}{2}=\frac{7}{2}+i\frac{3}{2}
\]
da cui
\[
\Re z=\frac{7}{2},\ \Im z=\frac{3}{2},\ |z|=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{58}}{2},\ \bar{z}=\frac{7}{2}-i\frac{3}{2}.
\]
Infine
\[
z^{-1}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\bar{z}}{\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{7-3i}{2}\cdot\frac{4}{58}=\frac{7}{29}-i\frac{3}{29}.
\]
Soluzione
\[
z=\frac{2+i}{1-3i}\cdot\frac{1+3i}{1+3i}=\frac{-1+7i}{10}=-\frac{1}{10}+i\frac{7}{10}
\]
da cui
\[
\Re z=-\frac{1}{10},\ \Im z=\frac{7}{10},\ |z|=\sqrt{\frac{1}{100}+\frac{49}{100}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\ \bar{z}=-\frac{1}{10}-i\frac{7}{10}.
\]
Infine
\[
z^{-1}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\bar{z}}{\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=-\frac{1+7i}{10}\cdot2=-\frac{1}{5}-i\frac{7}{5}.
\]
Esercizio 2
Determinare tutti i numeri complessi \(z\) che verificano:
\[
|z|\leq|z-2i|
\]
Soluzione
Conviene passare alla forma \(z=x+iy\) , \(x,y\in\R\) .
\[
\begin{array}{l}
|x+iy|\leq|x+i(y-2)|\\
\\
|x+iy|^{2}\leq|x+i(y-2)|^{2}\\
\\
x^{2}+y^{2}\leq x^{2}+(y-2)^{2}\\
\\
0\leq -4y+4\\
\\
y\leq1.
\end{array}
\]
Rappresentando le soluzioni nel piano cartesiano, si ha un semipiano chiuso.
Esercizio 3
Determinare tutti i numeri complessi \(z\) che verificano:
\[
|z-(3+i)|\leq2
\]
Soluzione
Tale disequazione è soddisfatta da quei numeri complessi \(z=x+iy\) che, nel piano di Gauss, sono rappresentati da quei punti \(P(x, y)\) che distano dal punto \((3, 1)\) di una quantità minore o uguale a 2.
Ossia, tutti e soli i punti del cerchio chiuso di centro \(C(3, 1)\) e raggio 2 (attenzione, non è la circonferenza, bensì il cerchio, vale a dire la parte interna unita al bordo). La circonferenza ha equazione:
\[
\gamma: \quad (x-3)^2+(y-1)^2=4
\]
mentre il cerchio chiuso ha equazione:
\[
(x-3)^2+(y-1)^2\leq4
\]
Alternativamente, la disuguaglianza si può trattare attraverso la sostituzione \(z=x+iy\) , ottenendo
\[
|x+iy-3-i|\leq2
\]
in cui, raccogliendo l'unità immaginaria
\[
|x-3+i(y-1)|\leq2
\]
Applicando la definizione di modulo di numero complesso, si ha
\[
\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}\leq2
\]
Potendo elevare al quadrato ambo i membri non negativi, si ottiene in definitiva:
\[
(x-3)^2+(y-1)^2\leq4
\]
Esercizio 4
Determinare tutti i numeri complessi \(z\) che verificano:
\[
(1-i)z-(1+i)\bar{z}=i
\]
Soluzione
\[
\begin{array}{l}
(1-i)(x+iy)-(1+i)(x-iy)=i\\
\\
x+y-ix+iy-x-y-ix+iy=i\\
\\
i(2y-2x)=i\\
\\
2y-2x=1.
\end{array}
\]
Rappresentando le soluzioni nel piano cartesiano, si ha una retta.
Esercizio 5
Determinare tutti i numeri complessi \(z\) che verificano:
\[
|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|\leq2
\]
Soluzione
\[
\begin{array}{l}
|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|\leq2\\
\\
2|\Re z|+2|\Im z|\leq2\\
\\
|x|+|y|\leq1.
\end{array}
\]
Rappresentando le soluzioni nel piano cartesiano, si ha un quadrato chiuso di vertici \(\pm1\) , \(\pm i\) .
Esercizio 6
Determinare tutti i numeri complessi \(z\) che verificano:
\[
\Im(z)-|z+\bar{z}|^{2}<1
\]
Soluzione
\[
\begin{array}{l}
\Im(z)-|z+\bar{z}|^{2}<1\\
\\
\Im(z)-4\;|\Re z|^{2}<1\\
\\
y<4\;x^{2}+1.
\end{array}
\]
Rappresentando le soluzioni nel piano cartesiano, si ha la regione aperta al di sotto della parabola \(y=4x^{2}+1\) .
Esercizio 7
Determinare tutti i numeri complessi \(z\) che verificano:
\[
\left\{\begin{array}{l}z\bar{z}\leq2\\
\\
z+\bar{z}\leq2\end{array}\right.
\]
Soluzione
\[
\left\{\begin{array}{l}|z|^{2}\leq2\\
\\
2\Re z\leq2\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}\leq2\\
\\
x\leq1\end{array}\right.
\]
Rappresentando le soluzioni nel piano cartesiano, si ha la parte di piano comune al cerchio chiuso di centro l'origine e raggio \(\sqrt{2}\) ed al semipiano chiuso a sinistra della retta verticale \(x=1\) .
Esercizio 8
Il sistema in \(\C\)
\[
\left\{\begin{array}{l}z^{2}+\bar{z}^{2}=0\\
\\
|\Re(z)|+|\Im(z)|=1\end{array}\right.
\]
ha:
\[
\noindent(a)~~ {\rm due~soluzioni} ~~~~~~~ (b) ~~{\rm tre~soluzioni}
\]
\[
\noindent(c)~~ {\rm quattro~soluzioni} ~~~~~~~ (d)~~ {\rm nessuna~delle~altre~risposte ~\`e~corretta}
\]
Soluzione
Posto \(z=x+iy\) , \(x,y\in\R\) , si ha
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}(x+iy)^{2}+(x-iy)^{2}=0\\
\\
|x|+|y|=1\end{array}\right.\\
\\
\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y^{2}+2ixy+x^{2}-y^{2}-2ixy=0\\
\\
|x|+|y|=1\end{array}\right.\\
\\
\left\{\begin{array}{l}x^{2}=y^{2}\\
\\
|x|+|y|=1\end{array}\right.
~~~
\left\{\begin{array}{l}|x|=|y|\\
\\
|x|+|y|=1\end{array}\right.
~~~~
\left\{\begin{array}{l}|x|=1/2\\
\\
|y|=1/2\end{array}\right.\end{array}
\]
Si ottengono i quattro punti \((1+i)/2\) , \((-1+i)/2\) , \((1-i)/2\) , \(-(1+i)/2\) . La risposta corretta è (c).
Esercizio 9
Le soluzioni \(z=x+iy\) dell'equazione complessa
\[
z^{2}-z\bar{z}+iz=-3+2i
\]
soddisfano
\[
{\rm (a)}~~ \left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=1~~~~~~~~~~ {\rm (b)}~~ y=\frac{2}{3}x+1
\]
\[
{\rm (c)}~~ \left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=1 ~~~~~~~~~~~~~{\rm (d)}~~ y=\frac{3}{2}x
\]
Soluzione
\[
\begin{array}{l}
(x+iy)^{2}-(x^{2}+y^{2})+ix-y=-3+2i\\
\\
-2y^{2}-y+i(x+2xy)=-3+2i\\
\\
\left\{\begin{array}{l}2y^{2}+y-3=0\\
\\
x+2xy=2\end{array}\right.
~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}y=1\vee y=-3/2\\
\\
x=2/(1+2y)\end{array}\right.
\end{array}
\]
Si ottengono i due punti \((2/3)+i\) , \(-1-i(3/2)\) che giacciono sulla retta \(y=(3/2)x\) . La risposta corretta è (d).
Esercizio 10
Trovare modulo ed argomento principale di
\[
{\rm (a)}\ z=-1-i\sqrt{3}\ \ ,\ \ {\rm (b)}\ z=-4i.
\]
Soluzione
(a) Si ha \(|z|=\sqrt{1+3}=2\) . L'argomento principale \({\rm Arg}\ z\) è l'unico \(\vartheta\in[-\pi,\pi)\) tale che
\[
\cos\vartheta=\Re z/|z|=-1/2,\ \sin\vartheta=\Im z/|z|=-\sqrt{3}/2
\]
quindi \({\rm Arg}\ z=-2\pi/3\) .
Soluzione
(b) Si ha \(|z|=4\) . L'argomento principale \({\rm Arg}\ z\) è l'unico \(\vartheta\in[-\pi,\pi)\) tale che
\[
\cos\vartheta=\Re z/|z|=0,\ \sin\vartheta=\Im z/|z|=-1
\]
quindi \({\rm Arg}\ z=-\pi/2\) .
Esercizio 11
Sia
\[
w=\frac{z+1-i}{z+i}
\]
Determinare, individuandoli sul piano di Gauss, i numeri complessi \(z\) affinché \(w\) sia un numero immaginario puro.
Soluzione
Il numero complesso \(w\) è definito per \(z \neq -i\) . Inoltre
\[
w=\frac{z+1-i}{z+i}\cdot\frac{z-i}{z-i}=\frac{z^2+z-1+i(-2z-1)}{z^2+1}
\]
Ossia, separando la parte reale di \(w\) dalla sua parte immaginaria:
\[
w=\frac{z^2+z-1}{z^2+1}+i\frac{-2z-1}{z^2+1}
\]
Il numero complesso \(w\) è immaginario puro quando \(\Re(w)=0\) , vale a dire
\[
\Re(w)=\frac{z^2+z-1}{z^2+1}=0
\]
Tale equazione fratta, sotto condizione \(z \neq \pm \sqrt{-1}\) , ovvero \(z \neq \pm i\) , restituisce i numeri reali
\[
z_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}, \; z_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}
\]
che, sul piano di Gauss, sono rappresentabili come due punti appartenenti all'asse dei reali. In definitiva, \(w\) è immaginario puro in corrispondenza dei due valori di \(z\) trovati.
Esercizio 12
Sia \(z=\sqrt{3}-3i\) . Le soluzioni \(w\) con \(\Im(w)<0\) dell'equazione
\[
w^{6}=|z|(z+\bar{z})
\]
sono in numero di:
\[
\noindent(a)~~ {\rm due} ~~~~~~~ (b) ~~{\rm tre}
\]
\[
\noindent(c)~~ {\rm nessuna} ~~~~~~~ (d)~~ {\rm nessuna~delle~altre~risposte ~\`e~corretta}
\]
Soluzione
Si ha \(|z|=\sqrt{12}\) , \(z+\bar{z}=2\sqrt{3}\) quindi
\[
w^{6}=12.
\]
Le radici seste complesse di un numero reale positivo sono sei, a due a due opposte e due tra loro sono reali. Delle quattro rimanenti due hanno parte immaginaria positiva e due parte immaginaria negativa. La risposta corretta è (a). Vogliamo comunque determinarne i valori. Posto \(w=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)\) , tenendo conto che \(|12|=12\) , \({\rm arg} 12=2k\pi\) , \(k\in \Z\) , otteniamo
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}
r^{6}=12\\
\\
6\vartheta=2k\pi
\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}
r=12^{1/6}\\
\\
\vartheta=k\pi/3
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Abbiamo quindi le sei radici
\[
w_{k}=12^{1/6}(\cos k\pi/3+i\sin k\pi/3),\ \ \ k=0,1,2,3,4,5,
\]
cioè
\[
\begin{array}{l}w_{0}=12^{1/6},\ w_{1}=12^{1/6}(1/2+i\sqrt{3}/2),\ w_{2}=12^{1/6}(-1/2+i\sqrt{3}/2)\\
\\
w_{3}=-12^{1/6},\ w_{4}=12^{1/6}(-1/2-i\sqrt{3}/2),\ w_{5}=12^{1/6}(1/2-i\sqrt{3}/2).\end{array}
\]
Le due con parte immaginaria negativa sono \(w_{4}\) e \(w_{5}\) .
Esercizio 13
Risolvere il seguente sistema nella incognita \(z\in \C\) .
\[
\left\{\begin{array}{l}z^{6}=i\\
\\
\Re(z)\Im(z)<0\end{array}\right.
\]
Soluzione
Risolviamo prima l'equazione \(z^{6}=i\) . Posto \(z=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)\) , tenendo conto che \(|i|=1\) , \({\rm arg}(i)=\pi/2+2k\pi\) , \(k\in{\bf Z}\) , otteniamo
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}
r^{6}=1\\
\\
6\vartheta=\pi/2+2k\pi
\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}
r=1\\
\\
\vartheta=\pi/12+k\pi/3.
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Abbiamo quindi le sei radici
\[
z_{k}=\cos((\pi+4k\pi)/12)+i\sin ((\pi+4k\pi)/12),\ \ \ k=0,1,2,3,4,5.
\]
Quelle che soddisfano la condizione \(\Re(z)\Im(z)<0\) (punti del II o IV quadrante) sono:
\[
z_{2}=-\sqrt{1/2}+i\sqrt{1/2},\ z_{5}=\sqrt{1/2}-i\sqrt{1/2}.
\]
Esercizio 14
Risolvere le seguenti equazioni di variabile complessa \(z\) .
\[
\ z^{3}+8=0
\]
Soluzione
L'equazione da risolvere è, chiaramente,
\[
z^3=-8
\]
Posto \(z=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)\) , tenendo conto che \(|-8|=8\) , \({\rm arg}(-8)=\pi+2k\pi\) , \(k\in \Z\) , otteniamo
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}
r^{3}=8\\
\\
3\vartheta=\pi+2k\pi
\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}
r=2\\
\\
\vartheta=(2k+1)\pi/3.
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Abbiamo quindi le tre radici
\[
z_{k}=2\cos((2k+1)\pi/3)+2i\sin ((2k+1)\pi/3),\ \ \ k=0,1,2,
\]
cioè
\[
z_{0}=1+\sqrt{3}i,\ z_{1}=-2,\ z_{2}=1-\sqrt{3}i.
\]
Esercizio 15
Risolvere le seguenti equazioni di variabile complessa \(z\) .
\[
\ z^{3}=-27i
\]
Soluzione
Posto \(z=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)\) , tenendo conto che \(|-27i|=27\) , \({\rm arg}(-27i)=-\pi/2+2k\pi\) , \(k\in \Z\) , otteniamo
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}
r^{3}=27\\
\\
3\vartheta=-\pi/2+2k\pi
\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}
r=3\\
\\
\vartheta=(4k-1)\pi/6.
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Abbiamo quindi le tre radici
\[
z_{k}=3\cos((4k-1)\pi/6)+3i\sin ((4k-1)\pi/6),\ \ \ k=0,1,2,
\]
cioè
\[
z_{0}=3\sqrt{3}/2-3i/2,\ z_{1}=3i,\ z_{2}=-3\sqrt{3}/2-3i/2.
\]
Esercizio 16
Risolvere le seguenti equazioni di variabile complessa \(z\) .
\[
z^{5}+(3+i\sqrt{3})z=0
\]
Soluzione
Abbiamo
\[
z(z^{4}+3+i\sqrt{3})=0
\]
quindi una soluzione è \(z=0\) . Le altre quattro si trovano risolvendo
\[
z^{4}=-3-i\sqrt{3}.
\]
Posto \(z=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)\) , tenendo conto che
\[
|-3-i\sqrt{3}|=2\sqrt{3},\ {\rm arg}(-3-i\sqrt{3})=-5\pi/6+2k\pi,k \in \Z
\]
otteniamo
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}
r^{4}=12^{1/2}\\
\\
4\vartheta=-5\pi/6+2k\pi
\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}
r=12^{1/8}\\
\\
\vartheta=-5\pi/24+k\pi/2.
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Oltre alla soluzione \(z=0\) , abbiamo quindi le ulteriori quattro radici
\[
z_{k}=12^{1/8}\cos((12k-5)\pi/24)+12^{1/8}i\sin ((12k-5)\pi/24),\ \ \ k=0,1,2,3.
\]
Esercizio 17
Risolvere le seguenti equazioni di variabile complessa \(z\) .
\[
\left(\frac{z+i}{1+i}\right)^{3}=-8i
\]
Soluzione
Posto \(w=(z+i)/(1+i)\) , risolviamo \(w^{3}=-8i\) . Scrivendo \(w=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)\) , tenendo conto che \(|-8i|=8\) , \({\rm arg}(-8i)=-\pi/2+2k\pi\) , \(k\in \Z\) , otteniamo
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}
r^{3}=8\\
\\
3\vartheta=-\pi/2+2k\pi
\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}
r=2\\
\\
\vartheta=(4k-1)\pi/6.
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Abbiamo quindi le tre radici
\[
w_{k}=2\cos((4k-1)\pi/6)+2i\sin ((4k-1)\pi/6),\ \ \ k=0,1,2,
\]
cioè
\[
w_{0}=\sqrt{3}-i,\ w_{1}=2i,\ w_{2}=-\sqrt{3}-i.
\]
Tornando alla variabile \(z\) , da \(z=(1+i)w-i\) , le tre soluzioni dell'equazione data sono
\[
z_{0}=\sqrt{3}+1+i\sqrt{3}-2i,\ \ z_{1}=-2+i,\ \ z_{2}=1-\sqrt{3}-i\sqrt{3}-2i.
\]
Esercizio 18
Risolvere le seguenti equazioni di variabile complessa \(z\) .
\[
\left(\frac{z-i}{i}\right)^{4}=-16
\]
Soluzione
Da \(i^{4}=1\) abbiamo \((z-i)^{4}=-16\) . Posto \(w=z-i\) , risolviamo \(w^{4}=-16\) . Scrivendo \(w=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)\) , tenendo conto che \(|-16|=16\) , \({\rm arg}(-16)=-\pi+2k\pi\) , \(k\in \Z\) , otteniamo
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}
r^{4}=16\\
\\
4\vartheta=-\pi+2k\pi
\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}
r=2\\
\\
\vartheta=-\pi/4+k\pi/2.
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Abbiamo quindi le quattro radici
\[
w_{k}=2\cos((2k-1)\pi/4)+2i\sin ((2k-1)\pi/4),\ \ \ k=0,1,2,3,
\]
cioè
\[
w_{0}=\sqrt{2}-i\sqrt{2},\ w_{1}=\sqrt{2}+i\sqrt{2},\ w_{2}=-\sqrt{2}+i\sqrt{2},\ w_{3}=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}.
\]
Tornando alla variabile \(z\) , da \(z=w+i\) , le quattro soluzioni dell'equazione data sono
\[
z_{0}=\sqrt{2}-i\sqrt{2}+i,\ z_{1}=\sqrt{2}+i\sqrt{2}+i,\ z_{2}=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}+i,\ z_{3}=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}+i.
\]
Esercizio 19
Risolvere le seguenti equazioni di variabile complessa \(z\) .
\[
z^5=-\bar{z}
\]
Soluzione
L'equazione può essere vista come
\[
z^5=(-1)\bar{z}
\]
Posto \(z=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)\) , tenendo conto che \(|\bar{z}|=r\) , \({\rm arg}(\bar{z})=-\vartheta+2k\pi\) , \(k\in \Z\) , e ricordando che \(-1=e^{i\pi}\) , otteniamo
\[
\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}
r^{5}=r\\
\\
5\vartheta=\pi-\vartheta+2k\pi
\end{array}\right.
~~~~~~~~~~~~~
\left\{\begin{array}{l}
r=0, \, r=1\\
\\
\vartheta=(2k+1)\pi/6.
\end{array}\right.
\end{array}
\]
A questo punto,
per \(r=0\) , otteniamo \(z_{0}=0\) ;
per \(r=1\) , otteniamo le radici \(z=\cos((2k+1)\pi/6)+i\sin ((2k+1)\pi/6),\ \ \ k=0,1,2,3,4,5.\)
Esercizio 20
L'equazione
\[
z^{4}-2z^{3}+4z^{2}-2z+3=0
\]
ha \(z_{1}=i\) per soluzione. Indicando con \(z_{2},z_{3},z_{4}\) le altre soluzioni, si ha:
\[
\noindent(a)~~ \Im(z_{1}z_{2}z_{3}z_{4})=0 ~~~~~~~ (b) ~~\Re(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4})=0
\]
\[
\noindent(c)~~ \Re\left((z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4})^{-1}\right)=1/2 ~~~~~~~ (d)~~ {\rm nessuna~delle~altre~risposte ~\`e~corretta}
\]
Soluzione
L'equazione è a coefficienti reali quindi le soluzioni sono coniugate, in particolare un'altra soluzione è \(z_{2}=-i\) . Ne segue che il polinomio
\[
p(z)=z^{4}-2z^{3}+4z^{2}-2z+3
\]
è divisibile per \((z-i)(z+i)\) cioè per \(z^{2}+1\) . Eseguendo la divisione si ottiene
\[
p(z)=(z^{2}+1)(z^{2}-2z+3)
\]
quindi abbiamo tra le soluzioni anche le radici di
\[
z^{2}-2z+3=0
\]
che sono \(z_{3}=1-i\sqrt{2}\) , \(z_{4}=1+i\sqrt{2}\) .
Riassumendo, le soluzioni dell'equazione data sono
\[
z_{1}=i, \ z_{2}=-i,\ z_{3}=1-i\sqrt{2},\ z_{4}=1+i\sqrt{2}.
\]
Dal momento che \(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=2\) e \(z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}=3\) , le risposte corrette sono (a) e (c).
Esercizio 21
Siano \(z_{h}\) , \(h=1,\ldots,6\) le soluzioni di
\[
z^{6}-(8-i)z^{3}-8i=0.
\]
Si ha:
\[
\noindent(a)~~ \sum_{h=1}^{6}\Re(z_{h})=-1 ~~~~~~~ (b) ~~\sum_{h=1}^{6}\Im(z_{h})=-1
\]
\[
\noindent(c)~~ \sum_{h=1}^{6}\Re(z_{h})=1 ~~~~~~~ (d)~~ \sum_{h=1}^{6}\Im(z_{h})=0
\]
\[
\noindent(e)~~ \sum_{h=1}^{6}\Re(z_{h})=2 ~~~~~~~ (f)~~ {\rm nessuna~delle~altre~risposte ~\`e~corretta}
\]
Soluzione
Conviene fattorizzare in
\[
(z^{3}-8)(z^{3}+i)=0
\]
poi risolvere le due equazioni
\[
z^{3}=8,\ z^{3}=-i
\]
con l'usuale metodo più volte illustrato nelle soluzioni degli esercizi precedenti. Si ottengono i valori:
\[
\begin{array}{l}z_{1}=2,\ z_{2}=-1+i\sqrt{3},\ z_{3}=-1-i\sqrt{3},\\
\\
z_{4}=\sqrt{3}/2-i/2,\ z_{5}=i,\ z_{6}=-\sqrt{3}/2-i/2.\end{array}
\]
La risposta corretta è (d).