Metodo di bisezione

Esercizi · Derivate · con le soluzioni svolte · PDF

Esercizio 1

Utilizzando il metodo della bisezione, individuare le soluzioni dell'equazione

\[ x^3+2x-1= 0 \]

con due decimali esatti.

(Anzitutto occorre stabilire quante sono le soluzioni.)

Soluzione

Scritta nella forma

\[ x^3=1-2x, \]

l'equazione suggerisce di confrontare innanzitutto i grafici delle funzioni \(y=x^3\) e \(y=1-2x\), al fine di stabilire preliminarmente il numero delle soluzioni dell'equazione. Dal confronto fra i due grafici, si evince che esiste un'unica soluzione \(\alpha \in (0, 1)\), cioè un unico zero della funzione \(f(x)=x^3+2x-1\) in quell'intervallo. Più formalmente:

\[ \exists ! \; \alpha \in (0,1): \; f(\alpha)=0 \]

Procediamo, dunque, con l'applicazione del metodo di bisezione all'intervallo \([a,b]=[0,1]\), con \(f(0)=-1<0\) e \(f(1)=2>0\).

Iterazione 1 \((n=0)\)

\[\begin{align*} [a_0,b_0]=[0,1] \\ c_0=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{1}{2} \end{align*}\]

con \(f(c_0)=\frac{1}{8}>0\). Allora, nella prossima iterazione, \(b_1=c_0\).

Soluzione

Iterazione 2 \((n=1)\)

\[ [a_1,b_1]=\left[0,\frac{1}{2}\right], \; f(0)<0, \; f\left(\frac{1}{2}\right)>0 \]

\[ c_1=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{1}{4} \]

con \(f(c_1)<0\). Allora, nella prossima iterazione, \(a_2=c_1\).

Iterazione 3 \((n=2)\)

\[ [a_2,b_2]=\left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right], \; f\left(\frac{1}{4}\right)<0, \; f\left(\frac{1}{2}\right)>0 \]

\[ c_2=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{3}{8} \]

con \(f(c_2)<0\). Allora, nella prossima iterazione, \(a_3=c_2\). Per raggiungere il livello di approssimazione desiderato, dovremo attendere fino all'iterazione 9 \((n=8)\), in cui si otterrà

\[ a_8=\frac{29}{64}\simeq0,\mathbf{45}3 \hspace{1cm} b_8=\frac{117}{256}\simeq 0,\mathbf{45}7 \]

Possiamo dichiarare che, in definitiva, \(\alpha \in \left(\frac{29}{64},\frac{117}{256}\right)\) con due decimali esatti.

Esercizio 2

Utilizzando il metodo della bisezione, individuare le soluzioni dell'equazione

\[ x+\log x = 0 \]

con due decimali esatti.

(Anzitutto occorre stabilire quante sono le soluzioni.)

Soluzione

Scritta nella forma

\[ \log x=-x, \]

l'equazione suggerisce di confrontare innanzitutto i grafici delle funzioni \(y=\log x\) e \(y=-x\), al fine di stabilire preliminarmente il numero delle soluzioni dell'equazione. Dal confronto fra i due grafici, si evince che esiste un'unica soluzione \(\alpha \in (0, 1)\), cioè un unico zero della funzione \(f(x)=x+\log x\) in quell'intervallo. Più formalmente:

\[ \exists ! \; \alpha \in (0,1): \; f(\alpha)=0 \]

Procediamo, dunque, con l'applicazione del metodo di bisezione all'intervallo \([a,b]=[0+\varepsilon,1], \; \varepsilon>0\), con \(f(1)=1>0\) e \(f<0\) in un intorno destro del punto \(x_0=0\) di raggio \(\varepsilon\) arbitrariamente piccolo (si noti che \(y=\log x\) non è definita per \(x=0\)).

Iterazione 1 \((n=0)\)

\[\begin{align*} [a_0,b_0]=[0+\varepsilon,1] \\ c_0=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{1+\varepsilon}{2}\simeq \frac{1}{2} \end{align*}\]

con \(f(c_0)=\frac{1}{2}-\log 2<0\). Allora, nella prossima iterazione, \(a_1=c_0\).

Iterazione 2 \((n=1)\)

\[ [a_1,b_1]=\left[\frac{1}{2},1\right], \; f\left(\frac{1}{2}\right)<0, \; f(1)>0 \]

\[ c_1=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{3}{4} \]

con \(f(c_1)>0\). Allora, nella prossima iterazione, \(b_2=c_1\).

Iterazione 3 \((n=2)\)

\[ [a_2,b_2]=\left[\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right], \; f\left(\frac{1}{2}\right)<0, \; f\left(\frac{3}{4}\right)>0 \]

\[ c_2=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{5}{8} \]

con \(f(c_2)>0\). Allora, nella prossima iterazione, \(b_3=c_2\).

Soluzione

Iterazione 4 \((n=3)\)

\[ [a_3,b_3]=\left[\frac{1}{2},\frac{5}{8}\right], \; f\left(\frac{1}{2}\right)<0, \; f\left(\frac{5}{8}\right)>0 \]

\[ c_3=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{9}{16} \]

con \(f(c_3)<0\). Allora, nella prossima iterazione, \(a_4=c_3\). Si osservi che

\[ a_3=0,5, \; b_3=0,625 \]

e siamo, dunque, ancora lontani dall'avere due cifre decimali esatte. Per raggiungere il livello di approssimazione desiderato, dovremo attendere fino all'iterazione 10 \((n=9)\), in cui si otterrà

\[ a_9=\frac{145}{256}\simeq0,\mathbf{56}6 \hspace{1cm} b_9=\frac{291}{512}\simeq 0,\mathbf{56}8 \]

Possiamo dichiarare che, in definitiva, \(\alpha \in \left(\frac{145}{256},\frac{291}{512}\right)\) con due decimali esatti.

Esercizio 3

Utilizzando il metodo della bisezione, individuare le soluzioni dell'equazione

\[ 2\sin x= x \]

con un decimale esatto.

(Anzitutto occorre stabilire quante sono le soluzioni.)

Esercizio 4

Utilizzando il metodo della bisezione, individuare le soluzioni dell'equazione

\[ x^2-2-\log x=0 \]

con un decimale esatto.

(Anzitutto occorre stabilire quante sono le soluzioni.)