Equazioni e disequazioni di variabile reale

Esercizi · Numeri e logica · con le soluzioni svolte · PDF

Esercizio 1

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ \frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4x+3}>0 \]

Soluzione

Il numeratore \(x^{2}-2x\) è positivo per \(x<0\) oppure per \(x>2\), nullo per \(x=0\), \(x=2\), negativo per \(0<x<2\). Il denominatore \(x^{2}-4x+3\) è positivo per \(x<1\) oppure per \(x>3\), negativo per \(1<x<3\). Il quoziente è definito ed ha il segno positivo richiesto per

\[ x\in(-\infty,0)\cup(1,2)\cup(3,+\infty). \]

Esercizio 2

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ \log(x-1)^{2}-\log(x-2)>0 \]

Soluzione

La funzione \(f(x)=\log(x-1)^{2}-\log(x-2)\) è definita per \(x>2\) in quanto per tali \(x\), e solo per tali, risulta \(x-2>0\), \((x-1)^{2}>0\). Nel suo dominio, si ha, come richiesto, \(f(x)>0\) se e solo se

\[ \log(x-1)^{2}>\log(x-2), \ \ \ x>2 \]

quindi se e solo se

\[ \left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}>x-2\\ \\ x>2\end{array} \right. \]

Otteniamo

\[ \left\{\begin{array}{l}x^{2}-3x+3>0\\ \\ x>2\end{array}\right. \]

che equivale a

\[ x>2 \]

in quanto \(x^{2}-3x+3>0\) è soddisfatta per ogni \(x\). In tutto il proprio dominio \((2,+\infty)\) la funzione \(f(x)\) assume valori positivi.

Esercizio 3

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ e^{x}+e^{-x}<\frac{10}{3} \]

Soluzione

Per ogni \(x\in\R\)

\[ e^{x}+e^{-x}<\frac{10}{3} \]

equivale a

\[ 3e^{2x}-10e^{x}+3<0 \]

quindi a

\[ \frac{1}{3}<e^{x}<3. \]

Ne segue che la disequazione è risolta da

\[ -\log3<x<\log3. \]

Esercizio 4

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ 8^{x+1}\geq2^{x^{2}} \]

Soluzione

Per ogni \(x\in\R\)

\[ 8^{x+1}\geq2^{x^{2}} \]

equivale a

\[ 2^{3x+3}\geq2^{x^{2}} \]

quindi a

\[ 3x+3\geq x^{2} \]

dal momento che \(2^{x}\) è una funzione strettamente crescente in \(\R\). Ne segue che la disequazione è risolta da

\[ \frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{21}}{2}. \]

Esercizio 5

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ \log(1-\sin x)\geq0 \]

Soluzione

La funzione \(f(x)=\log(1-\sin x)\) è definita per \(\sin x<1\) quindi per

\[ x\neq\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \ \ k\in{\bf Z}. \]

Per tali \(x\) si ha \(f(x)\geq0\) se e solo se

\[ 1-\sin x\geq1 \]

quindi per

\[ \sin x\leq 0. \]

La disequazione data è risolta per

\[ \pi+2k\pi\leq x\leq 2\pi+2k\pi,\ \ \ k\in{\bf Z} \]

cioè per

\[ x\in\bigcup_{k\in{\bf Z}}[\pi+2k\pi, 2\pi+2k\pi]. \]

Esercizio 6

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ |x|\sqrt{1-2x^{2}}>2x^{2}-1 \]

Soluzione

\(\sqrt{1-2x^{2}}\) è definita per \(1-2x^{2}\geq0\). Quando \(1-2x^{2}=0\) la disequazione non è soddisfatta in quanto si riduce a \(0>0\). Quando \(1-2x^{2}>0\) la disequazione è soddisfatta in quanto il primo membro \(|x|\sqrt{1-2x^{2}}\) è il prodotto di due numeri positivi mentre il secondo membro \(2x^{2}-1=-(1-2x^{2})\) è negativo. Dunque la disequazione è risolta per

\[ -\sqrt{\frac{1}{2}}<x<\sqrt{\frac{1}{2}}. \]

Esercizio 7

Risolvere la seguente equazione di variabile reale \(x\):

\[ \sin^{2}x=2\cos^{2}x-\frac{1}{2} \]

Soluzione

L'equazione

\[ \sin^{2}x=2\cos^{2}x-\frac{1}{2} \]

equivale a

\[ \begin{array}{l}2\sin^{2}x=4(1-\sin^{2}x)-1\\ \\ 6\sin^{2}x=3\\ \\ \sin x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}.\end{array} \]

Le soluzioni sono date da

\[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ \ \ k\in{\bf Z}. \]

Esercizio 8

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ e^{\sin^{2}x-\sin x}\leq1 \]

Soluzione

Per ogni \(x\in\R\), \(e^{\sin^{2}x-\sin x}\leq1\) equivale a

\[ \sin^{2}x-\sin x\leq0 \]

quindi a

\[ 0\leq\sin x\leq1. \]

Le soluzioni sono date da

\[ 2k\pi\leq x\leq \pi+2k\pi,\ \ \ k\in{\bf Z} \]

cioè da

\[ x\in\bigcup_{k\in{\bf Z}}[2k\pi, \pi+2k\pi]. \]

Esercizio 9

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ 2\left|x^{2}-x\right|>|x| \]

Soluzione

La disequazione \(2\left|x^{2}-x\right|>|x|\) non è soddisfatta per \(x=0\). Per \(x\neq0\), dividendo per il termine positivo \(|x|\), equivale a

\[ 2\left|x-1\right|>1 \]

quindi a

\[ |x-1|>1/2. \]

Le soluzioni sono date da

\[ (x-1<-1/2, \ x\neq0)\vee (x-1>1/2), \]

\[ (x<1/2, \ x\neq0)\vee x>3/2 \]

quindi da

\[ x\in(-\infty,0)\cup(0,1/2)\cup(3/2,+\infty). \]

Esercizio 10

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ (x+1)^{x^{2}-1}>1 \]

Soluzione

La funzione \(f(x)=(x+1)^{x^{2}-1}\) è definita per \(x>-1\). Per tali \(x\), \(f(x)>1\) equivale a

\[ e^{(x^{2}-1)\log(x+1)}>1 \]

quindi a

\[ (x^{2}-1)\log(x+1)>0,\ \ \ x>-1. \]

Dividendo per il termine positivo \(x+1\) si ottiene

\[ (x-1)\log(x+1)>0,\ \ \ x>-1. \]

Il fattore \(x-1\) è positivo per \(x>1\), nullo per \(x=1\), negativo per \(-1<x<1\). Il fattore \(\log(x+1)\) è positivo per \(x>0\), nullo per \(x=0\), negativo per \(-1<x<0\). Per la regola dei segni, le soluzioni sono date da

\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty). \]

Esercizio 11

Risolvere la seguente equazione di variabile reale \(x\):

\[ 3^{|x^{2}-4|}=0 \]

Soluzione

\(3^{|x^{2}-4|}=0\) non ha soluzioni in quanto \(3^{y}>0\) per ogni \(y\in\R\).

Esercizio 12

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ \frac{\log_{a}(4x-3)}{\log_{a}(2x-1)} > 1 \quad 0<a<1 \]

Soluzione

Per le condizioni di esistenza del logaritmo e del denominatore, bisogna imporre il sistema

\[ \begin{cases*} 4x-3 > 0 \\ 2x-1 > 0 \\ \log_{a}(2x-1) \neq 0 \end{cases*} \]

che fornisce \(\frac{3}{4}<x<1, x>1\). Portando ora tutto a primo membro, determinando il minimo comune denominatore ed utilizzando le proprietà dei logaritmi, si ricava

\[ \frac{\log_{a}(\frac{4x-3}{2x-1})}{\log_{a}(2x-1)}>0 \]

Studiando il segno di numeratore e denominatore e tenendo presente che \(a<1\), per il numeratore si ottiene

\[ \log_{a}\left(\frac{4x-3}{2x-1}\right) > 0 \Longleftrightarrow \frac{4x-3}{2x-1}<1 \Longleftrightarrow \frac{1}{2}<x<1 \]

mentre per il denominatore si ottiene

\[ \log_{a}(2x-1)>0 \Longleftrightarrow x<1 \]

Componendo i segni, la disequazione è verificata per \(\frac{1}{2}<x<1, x>1\). Unendo a sistema tale intervallo di soluzioni con le condizioni di esistenza precedentemente studiate, si ottiene che la disequazione è soddisfatta per ogni \(x\) appartenente all'insieme \((\frac{3}{4};1) \cup (1,+\infty)\).

Esercizio 13

Risolvere la seguente disequazione di variabile reale \(x\):

\[ \sqrt{x^2-3x+5} \leq x+3 \]

Soluzione

La disequazione irrazionale si presenta nella forma \(\sqrt{A(x)} \leq B(x)\), con \(A(x)\) e \(B(x)\) polinomi in \(x\). Bisogna innanzitutto imporre la condizione di esistenza del radicale, cioè \(x^2-3x+5 \geq 0\). Inoltre, essendo un radicale sempre positivo o nullo in \(\mathbb{R}\), imponiamo \(x+3 \geq 0\). Risolviamo dunque il sistema:

\[ \begin{cases*} x^2-3x+5 \geq 0 \\ x+3 \geq 0 \\ x^2-3x+5 \leq (x+3)^2 \end{cases*} \]

dove, nell'ultima disequazione, abbiamo potuto elevare entrambi i membri, in quanto positivi, al quadrato. Il sistema si riduce a:

\[ \begin{cases*} \forall x \in \mathbb{R} \\ x \geq -3 \\ x \geq -\frac{4}{9} \end{cases*} \]

il cui intervallo di soluzioni è \([-\frac{4}{9}, +\infty)\).

Esercizio 14

Risolvere la seguente disequazione frazionaria di variabile reale \(x\):

\[ \frac{x^3-3x^2+2x-6}{x^2-2x-3} > \frac{2}{x+1} \]

Soluzione

Bisogna innanzitutto porre nella forma canonica (0 al secondo membro) la disequazione. Le condizioni di esistenza (denominatori diversi da zero) saranno automaticamente incluse nello studio del segno. Otteniamo

\[ \frac{x^3-3x^2+2x-6}{x^2-2x-3} - \frac{2}{x+1} > 0 \]

Scomponiamo in fattori il numeratore e il denominatore della prima frazione, ottenendo:

\[ \frac{(x^2+2)(x-3)}{(x-3)(x+1)} - \frac{2}{x+1} > 0 \]

Potendo semplificare \(x-3\) ottenendo una frazione equivalente, a patto che \(x \neq 3\) per condizione di esistenza, si ha

\[ \frac{x^2+2}{x+1} - \frac{2}{x+1} > 0 \]

ovvero

\[ \frac{x^2}{x+1} > 0 \]

Il numeratore è positivo \(\forall x \in \mathbb{R}, x \neq 0\), il denominatore è positivo per \(x>-1\). Componendo i segni, e tenendo conto della condizione \(x \neq 3\), si ottiene l'insieme delle soluzioni \((-1,0) \cup (0,3) \cup (3,+\infty)\).