Funzioni reali di variabile reale

Parte 2 · Funzioni · Capitolo 2 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Funzione reale di variabile reale

Definizione 1: funzione reale di variabile reale

Una funzione che ha per dominio \(D\) un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) e per codominio \(\mathbb{R}\):

\[\begin{align*} f&: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~~~f: x \mapsto f(x) \end{align*}\]

si chiama funzione reale di variabile reale.

• Sono funzioni in cui la variabile di “ingresso” \(x\) e quella di “uscita” \(f(x)\) sono numeri reali.

• Le funzioni reali di variabile reale più comuni hanno come dominio \(D\) e come immagine \(f(D)\) un intervallo (eventualmente tutto \(\mathbb{R}\)) o l'unione di un numero finito di intervalli.

La dipendenza dell'uscita \(f(x)\) dall'ingresso \(x\) si visualizza efficacemente disegnando il grafico di \(f\), ossia l'insieme dei punti del piano di coordinate \((x,y)\) con \(y = f(x)\) e \(x\) nel dominio \(D\).

Esempio di grafico di funzione reale di variabile reale di dominio \(D = [a, b]\) (un intervallo chiuso e limitato):

Ogni retta parallela all'asse delle ordinate che interseca l'asse delle ascisse in un punto \(x_0\) del dominio \(D\), interseca il grafico di \(f\) in uno e un solo punto. ¹ Non tutte le curve sono quindi grafici di funzioni.

Si noti che, invece, nulla impedisce che una retta parallela all'asse delle ascisse intersechi il grafico di \(f\) in più punti o in nessun punto.

Esempio 1: curva che non corrisponde al grafico di una funzione

Consideriamo ad esempio la curva dei punti della circonferenza di raggio \(r\):

\[ {x^2+y^2=r^2} ~~\Longleftrightarrow~~ y = \pm \sqrt{r^2-x^2} \]

All'ingresso \(x_0 \in (-r,r)\) non è possibile associare un'unica uscita, quindi questa curva non corrisponde al grafico di una funzione!

2. Funzioni limitate

!!! definizione "Definizione 2: funzioni limitate"

Data una funzione $f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, la funzione si dice

$$
\begin{cases}
{\rm limitata~superiormente} & {\rm se~~} \exists M \in \R: f(x) \le M,~~ \forall  x \in D\\[2ex]
{\rm limitata~inferiormente} & {\rm se~~} \exists M \in \R: f(x) \ge M,~~ \forall  x \in D\\[2ex]
{\rm limitata} & {\rm se~~} \exists M \in \R_{\ge 0}: |f(x)| \le M,~~ \forall  x \in D\\
\end{cases}
$$

• Graficamente abbiamo:

  1. una funzione è limitata superiormente se il suo grafico è contenuto nel semipiano inferiore delimitato da una retta parallela all'asse delle ascisse

  2. una funzione è limitata inferiormente se il suo grafico è contenuto nel semipiano superiore delimitato da una retta parallela all'asse delle ascisse

  3. una funzione è limitata se il suo grafico è contenuto in una striscia orizzontale

Esempio 2: funzione limitata

Consideriamo la funzione:

\[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~~ f: x \mapsto \frac{1}{1 + x^2} +1 \]

abbiamo

\[ \frac{1}{1 + x^2} +1= \frac{1+ x^2- x^2}{1 + x^2} +1 = 2- \frac{x^2}{1+x^2} \qquad {\rm ~~e~~} \qquad \frac{x^2}{1+x^2} \ge 0, ~~\forall x \in \R \]

\[ {\rm ~~~quindi~~~}1 < \frac{1}{1 + x^2} +1 \le 2, \forall x \in \mathbb{R} \]

Esempio 3: Funzione non limitata

La funzione

\[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~~ f: x \mapsto x^3 \qquad (y=x^3) \]

non è limitata né superiormente, né inferiormente.

Esempio 4: Funzione limitata inferiormente

La funzione

\[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~~ f: x \mapsto x^2 \qquad (y=x^2) \]

è limitata inferiormente; infatti \(x^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}\)

• Equivalentemente, si può dire che una funzione è limitata superiormente (limitata inferiormente, limitata) se, rispettivamente, la sua immagine è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) limitato superiormente (limitato inferiormente, limitato).

3. Funzioni simmetriche

Definizione 3: di funzione pari

Funzioni che hanno il grafico simmetrico rispetto all'asse delle ordinate si chiamano pari.

• Sono caratterizzate dalla relazione

  \[ f(-x) = f(x) \]

  che esprime l'uguaglianza delle ordinate corrispondenti ai punti \(x\) e \(-x\), simmetrici rispetto a \(x = 0\).

Definizione 4: Funzione dispari

Funzioni che hanno il grafico simmetrico rispetto all'origine si chiamano dispari.

• Sono caratterizzate dalla relazione

  \[ f(-x) = - f(x) \]

  che esprime che le ordinate corrispondenti ai punti \(x\) e \(-x\), simmetrici rispetto a \(x = 0\), sono una l'opposto dell'altra.

Esempio 5: Funzioni pari e dispari

Per esempio, la funzione \(x \mapsto x^2\) è pari, mentre \(x \mapsto x^3\) è dispari. Più in generale, le potenze a esponente intero sono funzioni pari se l'esponente è pari e sono dispari se l'esponente è dispari.

1. Esempio di grafico di funzione pari:

   

2. Esempio di grafico di funzione dispari:

   

Una funzione non può avere il grafico simmetrico rispetto all'asse \(x\), in quanto verrebbe meno l'univocità della corrispondenza.

4. Funzioni monotone

Definizione 5: Funzione crescente

Una funzione si dice non decrescente se per ogni coppia di punti \(x_1\), \(x_2\) nel dominio di \(f\) si ha:

\[\begin{equation} x_1 > x_2 ~~\Longrightarrow~~ f(x_1) \ge f(x_2) \label{ed:monCRE} \end{equation}\]

Definizione 6: Funzione strettamente crescente

Una funzione si dice crescente se per ogni coppia di punti \(x_1\), \(x_2\) nel dominio di \(f\) si ha:

\[\begin{equation} x_1 > x_2 ~~\Longrightarrow~~ f(x_1) > f(x_2) \label{ed:monCRES} \end{equation}\]

Definizione 7: Funzione decrescente

Una funzione si dice non crescente se per ogni coppia di punti \(x_1\), \(x_2\) nel dominio di \(f\) si ha:

\[\begin{equation} x_1 > x_2 ~~\Longrightarrow~~ f(x_1) \le f(x_2) \label{ed:monDECRE} \end{equation}\]

Definizione 8: Funzione strettamente decrescente

Una funzione si dice decrescente se per ogni coppia di punti \(x_1\), \(x_2\) nel dominio di \(f\) si ha:

\[\begin{equation} x_1 > x_2 ~~\Longrightarrow~~ f(x_1) < f(x_2) \label{ed:monDECRES} \end{equation}\]

• Una funzione \(f\) è non decrescente se, all'aumentare di \(x\), l'ordinata corrispondente sul grafico della funzione non diminuisce (quindi o rimane uguale o aumenta);

• Una funzione \(f\) è non crescente se, all'aumentare di \(x\), l'ordinata corrispondente sul grafico della funzione non aumenta (quindi o rimane uguale o diminuisce).

Le funzioni crescenti o decrescenti si chiamano monotone. Le funzioni strettamente crescenti o decrescenti si chiamano strettamente monotone.

Esempio 6: Funzioni monotone

Per esempio, la funzione \(x \mapsto x^3\) è strettamente monotona crescente; la funzione costante \(x \mapsto k\) (che ha come grafico la retta di equazione \(y = k\)) è sia non decrescente che non crescente.

1. Esempio di grafico di funzione non decrescente (tratto orizzontale):

   

2. Esempio di grafico di funzione crescente:

   

3. Le funzioni crescenti o decrescenti (strettamente o non) si dicono monotone.

5. Funzioni periodiche

Definizione 9: Funzione periodica

Una funzione \(f:D \rightarrow \mathbb{R}\) (non costante) è periodica di periodo \(T\) , \(T > 0\), se \(T\) è il più piccolo numero reale positivo tale che

\[ f(x+T)=f(x) {\rm~~~per~ogni~~} x \in D \]

• Ogni intervallo di lunghezza \(T\), contenuto in \(D\), si chiama intervallo di periodicità.

Esempio 7: Funzioni periodiche

Tipici esempi di funzioni periodiche sono le funzioni trigonometriche \(x \mapsto \sin(x)\) (\(T=2\:\pi\)), \(x \mapsto \cos(x)\) (\(T=2\:\pi\)) e \(x \mapsto \tan(x)\) (\(T=\pi\)).

Esempio 8: Grafico di funzioni periodiche

Grafico di funzione periodica di periodo \(T=2\):

• Le rette parallele all'asse delle ascisse, hanno equazione

  \[ y = k \qquad k \in \mathbb{R} \]

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1. Se la retta non intersecasse il grafico significherebbe che all'ingresso \(x\) non corrisponde alcuna uscita. Se la retta intersecasse in più di un punto significherebbe che all'ingresso \(x\) corrispondono più uscite distinte, cadendo quindi l'univocità della funzione. ↩