Calcolo dei limiti delle successioni

Parte 3 · Limiti di successioni · Capitolo 2 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Il calcolo dei limiti delle successioni

• Le dimostrazioni dei teoremi basilari sul calcolo limiti si basano sulla definizione di limite, sull'uso di disuguaglianze, e sull'uso di proprietà definitivamente vere.

• In particolare, questi teoremi illustrano la relazione tra l'operazione di limite e le strutture algebriche¹ e le strutture d'ordine² presenti in \(\R\).

Scriveremo semplicemente \(a_n \rr \ell\) per intendere \(a_n \rr \ell\) per \(n \rr \ip\)

Proprietà dell'operazione di limite rispetto alle operazioni algebriche.

Teorema 1: dell'algebra dei limiti caso dei limiti finiti

Ipotesi:

\[ \textbf{1.}~~a_n \rr \ell_a \in \R \qquad \textbf{2.}~~ b_n \rr \ell_b \in \R. \]

Tesi:

\[ \textbf{1.}~~ a_n \pm b_n \rr \ell_a \pm \ell_b \qquad \textbf{2.}~~ \frac{a_n}{b_n} \rr \frac{\ell_a}{\ell_b} \qquad (b_n, \ell_b\neq 0, {\rm ~definitivamente}) \]

\[ \textbf{3.}~~ a_n \: b_n \rr \ell_a \: \ell_b \qquad \textbf{4.}~~ a_n^{b_n} \rr {\ell_a}^{\ell_b} \qquad (a_n, \ell_a > 0, {\rm ~definitivamente}). \]

Dimostrazione

Dimostriamo che:

\[ a_n \rr \ell_a \in \R, ~b_n \rr \ell_b\in \R ~ \Rightarrow a_n + b_n \rr \ell_a + \ell_b \]

Consideriamo

\[\begin{equation} |(a_n+b_n) - (\ell_a+\ell_b)| = | (a_n - \ell_a) + (b_n - \ell_b) | \le |a_n - \ell_a| + |b_n - \ell_b| \label{AAA} \end{equation}\]

per la disuguaglianza triangolare. Poiché per ipotesi \(a_n \rr \ell_a~\) e \(~b_n \rr \ell_b~\), si ha che

\[ |a_n - \ell_a| < \varepsilon_a {\rm ~~~e~~~} |b_n - \ell_b | < \varepsilon_b \quad ({\rm definitivamente}) \]

per ogni \(\varepsilon_a > 0\) e \(\varepsilon_b > 0\). Maggiorando i termini della parte destra di \(\eqref{AAA}\) concludiamo che

\[ |(a_n+b_n) - (\ell_a+\ell_b)| < \underbrace{2 \: \max \{\varepsilon_a, \varepsilon_b\}}_{=\tilde{\varepsilon} {\rm ~e~}> 0} \]

Per l'arbitrarietà di \(\tilde{\varepsilon}\), abbiamo la tesi. □

Dimostrazione

Dimostriamo che:

\[ a_n \rr \ell_a \in \R, ~b_n \rr \ell_b \in \R~ \Rightarrow a_n - b_n \rr \ell_a - \ell_b \]

Per ogni \(\varepsilon_a > 0\) e \(\varepsilon_b > 0\), abbiamo:

\[\begin{equation*} |(a_n-b_n) - (\ell_a-\ell_b)| = | (a_n - \ell_a) + ( \ell_b - b_n) | \le \underbrace{|a_n - \ell_a|}_{< \varepsilon_a} + \underbrace{|\ell_b - b_n|}_{=|b_n -\ell_b | < \varepsilon_b} \end{equation*}\]

Quindi

\[ |(a_n-b_n) - (\ell_a-\ell_b)| < \underbrace{2 \: \max \{\varepsilon_a, \varepsilon_b\}}_{=\tilde{\varepsilon} {\rm ~e~}> 0} \]

Per l'arbitrarietà di \(\tilde{\varepsilon}\), abbiamo la tesi. □

Dimostrazione

Dimostriamo che:

\[ a_n \rr \ell_a \in \R, ~b_n \rr \ell_b \in \R~ \Rightarrow a_n \: b_n \rr \ell_a \: \ell_b \]

Consideriamo

\[\begin{align*} |(a_n \: b_n) - (\ell_a \: \ell_b)| &= | a_n \: b_n - a_n \: \ell_b + a_n \: \ell_b - \ell_a \: \ell_b|\\[2ex] &= | a_n \: (b_n - \ell_b) + \ell_b \: (a_n - \ell_a) | \le |a_n\: (b_n - \ell_b)| + |\ell_b \: (a_n - \ell_a)|\\[2ex] &=|a_n| \: |b_n - \ell_b| + |\ell_b| \: |a_n - \ell_a| \end{align*}\]

per la disuguaglianza triangolare e le proprietà del valore assoluto. Quindi

\[\begin{equation} |(a_n \: b_n) - (\ell_a \: \ell_b)| \le |a_n| \: |b_n - \ell_b| + |\ell_b| \: |a_n - \ell_a| \label{BBB} \end{equation}\]

Poiché per ipotesi \(a_n \rr \ell_a~\) e \(~b_n \rr \ell_b~\), si ha che per ogni \(\varepsilon_a > 0\) e \(\varepsilon_b > 0\) abbiamo

\[ |a_n - \ell_a| < \varepsilon_a {\rm ~~~e~~~} |b_n - \ell_b | < \varepsilon_b \quad ({\rm definitivamente}). \]

Inoltre dato che

\[ |a_n - \ell_a| \ge |a_n| - |\ell_a| {\rm ~~abbiamo~~} |a_n| < |\ell_a| + \varepsilon_a, \quad {\rm definitivamente}. \]

Perciò, maggiorando i termini della parte destra di \(\eqref{BBB}\), concludiamo che

\[ |(a_n \: b_n) - (\ell_a \: \ell_b)| < (|\ell_a| + \varepsilon_a) \: \varepsilon_b + |\ell_b| \: \varepsilon_a = \underbrace{|\ell_a| \: \varepsilon_b + |\ell_b| \: \varepsilon_a + \varepsilon_a \cdot \varepsilon_b }_{=\tilde{\varepsilon} {\rm ~e~}> 0} \]

Per l'arbitrarietà di \(\tilde{\varepsilon}\), abbiamo la tesi. □

• L'operazione di limite mantiene inoltre l' ordinamento

Teorema 2: di permanenza del segno \(1^a\) forma

Ipotesi:

\[ \textbf{1.} ~~ a_n \rr \ell_a \qquad \textbf{2.}~~ \ell_a \lessgtr 0. \]

Tesi:

\[ a_n \lessgtr 0, {\rm ~~definitivamente}. \]

Dimostrazione

Consideriamo il caso con \(\ell_a > 0\). Per definizione di limite abbiamo che

\[ |a_n - \ell_a| < \varepsilon, \quad {\rm definitivamente}, \]

per ogni \(\varepsilon>0\), che riscriviamo nella forma:

\[ \ell_a - \varepsilon < a_n < \ell_a + \varepsilon, \quad {\rm definitivamente}. \]

Poiché \(\ell_a > 0\), possiamo scegliere \(\varepsilon > 0\) in modo che \(\ell_a - \varepsilon > 0\), allora la disuguaglianza

\[ 0 < \ell_a - \varepsilon < a_n \]

mostra che \(a_n > 0\), definitivamente.

In modo analogo si dimostra il caso con \(\ell_a < 0\). □

Teorema 3: di permanenza del segno \(2^a\) forma (parte I)

Ipotesi:

\[ \textbf{1. }~~ a_n \rr \ell_a \in \R \qquad \textbf{2.}~~ a_n \ge 0, {\rm ~~definitivamente}. \]

Tesi:

\[ \ell_a \ge 0. \]

Dimostrazione

Segue dal teorema precedente. Infatti, se per assurdo fosse \(\ell_a < 0\), dal teorema precedente si avrebbe \(a_n < 0\) definitivamente, il che è incompatibile con l'ipotesi che sia \(a_n \ge 0\) definitivamente.

Questo caso non può accadere ovvero si verifica il contrario, la tesi del teorema. □

Teorema 4: di permanenza del segno \(2^a\) forma (parte II)

Ipotesi:

\[ \textbf{1. }~~ a_n \rr \ell_a \in \R \qquad \textbf{2.}~~ b_n \rr \ell_b \in \R \qquad \textbf{3.}~~ a_n \ge b_n, {\rm~~definitivamente}. \]

Tesi:

\[ \ell_a \ge \ell_b. \]

Dimostrazione

Consideriamo la successione \(a_n - b_n\), abbiamo per il Teorema dell'Algebra dei limiti

\[ a_n - b_n \rr \ell_a - \ell_b. \]

Dato che per ipotesi

\[ a_n \ge b_n {\rm ~~~e~quindi~~~~} a_n - b_n \ge 0, \]

per il teorema permanenza del segno \(2^a\) forma (parte I) applicato alla successione \(a_n - b_n\) abbiamo

\[ \ell_a - \ell_b \ge 0 {\rm ~~~e~quindi~~} \ell_a \ge \ell_b. \]

□

• Questo teorema ci dice che in una disuguaglianza tra due successioni si può passare al limite ad ambo i membri, mantenendo il “\(\le\)” o il “\(\ge\)”.

• Si noti che in generale, invece, nel passaggio al limite non si conservano le diseguaglianze strette “\(<\)” e “\(>\)”.

  Esempio 1: Passaggio al limite con disuguaglianze strette

  Ad esempio, anche se gli \(a_n\) sono strettamente positivi, il loro limite \(\ell_a\) è positivo o nullo come mostra il semplice esempio di \(\frac{1}{n} \rr 0\).

Teorema 5: del confronto

Ipotesi:

\[ \textbf{1.}~~ a_n \rr \ell, c_n \rr \ell {\rm ~~e~~} \ell \in \R, \qquad \textbf{2. }~~ a_n \le b_n \le c_n, ~~{\rm definitivamente}. \]

Tesi:

\[ b_n \rr \ell. \]

Dimostrazione

Per definizione di limite abbiamo, definitivamente, che

\[ \ell - \varepsilon_a < a_n < \ell + \varepsilon_a \quad {\rm~e~} \quad \ell - \varepsilon_c < c_n < \ell + \varepsilon_c \]

per ogni \(\varepsilon_a >0\) e \(\varepsilon_c >0\). Quindi:

\[ \ell - \max\{ \varepsilon_a, \varepsilon_c\} < a_n < \ell + \max\{ \varepsilon_a, \varepsilon_c\} \quad {\rm~e~} \quad \ell - \max\{ \varepsilon_a, \varepsilon_c\} < c_n < \ell + \max\{ \varepsilon_a, \varepsilon_c\} \]

Dalle ipotesi del teorema abbiamo quindi, definitivamente, che

\[ \ell - \max\{ \varepsilon_a, \varepsilon_c\} < a_n \le b_n \le c_n < \ell + \max\{ \varepsilon_a, \varepsilon_c\} \]

Ma allora, definitivamente, abbiamo

\[ \ell - \underbrace{\max\{ \varepsilon_a, \varepsilon_c\}}_{=\tilde{\varepsilon} {\rm ~e~}> 0} < b_n < \ell + \underbrace{\max\{ \varepsilon_a, \varepsilon_c\}}_{=\tilde{\varepsilon} {\rm ~e~}> 0}. \]

Per l'arbitrarietà di \(\tilde{\varepsilon}\), abbiamo la tesi. □

• Casi particolari di questo teorema che si usano frequentemente sono espressi dai prossimi corollari, molto utili quando si studia il prodotto tra una successione oscillante (ma limitata) e una che tende a zero

Corollario 1: del teorema del confronto (parte I)

Ipotesi:

\[ \textbf{1.}~~c_n \rr 0 \qquad \textbf{2. }~~ |b_n|\le c_n, ~~{\rm definitivamente}. \]

Tesi:

\[ b_n \rr 0. \]

Dimostrazione

Sappiamo che definitivamente abbiamo \(-c_n \le b_n \le c_n\). Ovviamente

\[ {\rm se~~} c_n \rr 0 {\rm ~~allora~~} -c_n \rr 0. \]

Quindi per il teorema del confronto (con \(a_n = -c_n\) e \(\ell = 0\)) si ha che \(b_n \rr 0\). □

Corollario 2: del teorema del confronto (parte II)

Ipotesi:

\[ \textbf{1.}~~c_n \rr 0 \qquad \textbf{2. }~~ \{b_n\} ~~{\rm ~è~limitata ~~(ma~non~necessariamente~convergente)}. \]

Tesi:

\[ c_n \: b_n \rr 0. \]

Dimostrazione

Se \(\{b_n\}\) è limitata, ossia \(|b_n| \le M\) per un certo \(M>0\) e per ogni \(n \in \N\). Possiamo quindi scrivere

\[ |b_n \: c_n| \le M \: |c_n|. \]

Poiché

\[ c_n \rr 0 {\rm ~~anche~~} M \: |c_n| \rr 0, \]

per il corollario Corollario 1 si conclude che \(b_n \: c_n \rr 0\). □

Il prodotto di una successione infinitesima e una limitata è infinitesimo.

Esempio 2: Applicazione del corollario

Consideriamo la successione di un rapporto di due espressioni ognuna costituita dalla somma di potenze di \(n\), come ad esempio:

\[ n \mapsto \frac{n^{{5}/{2}} - 3 \: n + 7}{n^3 + \sqrt{n} - 3 \: n^2} \]

Mettendo in evidenza a numeratore come a denominatore la potenza maggiore si ottiene:

\[ \frac{ n^{{5}/{2}} \: \left( 1 - \frac{3}{n^{{3}/{2}} } + \frac{7}{n^{5/2}}\right)}{n^3\:\left(1 + \frac{1}{n^{{5}/{2}} } - \frac{3}{n} \right)} = \frac{1}{\sqrt{n}} \: \frac{ 1 - \frac{3}{n^{{3}/{2}} } + \frac{7}{n^{5/2}}}{ 1 + \frac{1}{n^{{5}/{2}} } - \frac{3}{n} } \]

Ora per il teorema Teorema 1 sull'algebra dei limiti e sapendo che potenze negative di \(n\) tendono a zero possiamo affermare che:

\[ 1 - \underbrace{\frac{3}{n^{{3}/{2}} }}_{\rr 0} + \underbrace{\frac{7}{n^{5/2}}}_{\rr 0} \rr 1, \quad 1 + \underbrace{\frac{1}{n^{{5}/{2}} }}_{\rr 0} - \underbrace{\frac{3}{n}}_{\rr 0} \rr 1 {\rm ~~~e~~~} \left( \frac{ 1 - \frac{3}{n^{{3}/{2}} } + \frac{7}{n^{5/2}}}{ 1 + \frac{1}{n^{{5}/{2}} } - \frac{3}{n} } \right) \rr 1 \]

quindi l'ultima successione è convergente e di conseguenza limitata. Ora per il corollario Corollario 2 e dato che

\[ \frac{1}{\sqrt{n}} \rr 0 {\rm~~abbiamo~~} \frac{n^{{5}/{2}} - 3 \: n + 7}{n^3 + \sqrt{n} - 3 \: n^2} \rr 0 \]

Esempio 3: Applicazione del corollario

La successione

\[ n \mapsto \frac{\sin n}{n} \]

è il prodotto di due successioni

\[ n \mapsto \frac{1}{n} {\rm ~~(convergente,~infinitesima)} {\rm ~~e~~} n \mapsto \sin n {\rm ~~(irregolare)}, \]

quindi il teorema Teorema 1 sull'algebra dei limiti non è applicabile (il secondo limite non esiste).

• Tuttavia è applicabile il corollario Corollario 2. La successione \(\left\{\frac{1}{n}\right\}\) è infinitesima e, dato che \(|\sin n| \le 1\), la successione \(\{\sin n\}\) è limitata, perciò abbiamo

  \[ \lim_{n \rr \ip} \frac{\sin n}{n} = 0 \]

• Fin qui abbiamo visto teoremi che operano su coppie di successioni entrambe convergenti o comunque limitate.

Successioni con limiti \(\ip\) e \(\im\)

• Supponiamo per esempio, che

  \[ a_n \rr \ell_a {\rm~~e~~} b_n \rr \ip \]

  allora è facile (e intuitivo) vedere che

  \[ a_n + b_n \rr \ip \]

  Abbrevieremo questa scrittura così:

  \[ \ell_a \ip = \ip \]

• Ragionando in maniera analoga possiamo compendiare le regole per il limite della somma (o differenza) di due successioni delle quali una o entrambe sono divergenti.

Regole di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito

Teorema 6: di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (addizione)

Ipotesi:

\[ \textbf{1.}~~ a_n \rr \ell_a \in \R \qquad \textbf{2.}~~b_n \rr \ip \qquad \textbf{3.}~~ c_n \rr \ip. \]

Tesi:

\[ \textbf{1.}~~ a_n + b_n \rr \ell_a \ip = \ip \qquad \textbf{2.}~~a_n - b_n \rr \ell_a \im = \im \]

\[ \textbf{3.}~~ b_n + c_n \rr \ip \ip = \ip \qquad \textbf{4.}~~- b_n - c_n \rr \im \im = \im. \]

Teorema 7: di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (prodotto)

Ipotesi:

\[ \textbf{1.}~~ a_n \rr \ell_a \in \R \qquad \textbf{2.}~~b_n \rr 0 \qquad \textbf{3.}~~ c_n \rr \infty. \]

Tesi:

\[ \textbf{1.}~~ a_n \:\: c_n \rr \ell_a \:\: \infty = \infty \quad (\ell_a \neq 0) \qquad \textbf{2.}~~\frac{a_n}{b_n} \rr \frac{\ell_a}{0} = \infty \quad (\ell_a \neq 0) \qquad \textbf{3.}~~ \frac{a_n}{c_n} \rr \frac{\ell_a}{\infty} = 0. \]

• il segno di \(\infty\) va determinato con la usuale regola dei segni.

Esempio 4: Regola dei segni

Abbiamo:

• \({\rm se~~} a_n \rr \ell_a \in \R, \ell_a > 0 {\rm ~~e~~} b_n \rr 0^+ {\rm ~~allora~~} \frac{a_n}{ b_n} \rr \ip\)

• \({\rm se~~} a_n \rr \ell_a \in \R, \ell_a < 0 {\rm ~~e~~} b_n \rr 0^- {\rm ~~allora~~} \frac{a_n}{ b_n} \rr \ip\)

• \({\rm se~~} a_n \rr \ell_a \in \R, \ell_a > 0 {\rm ~~e~~} b_n \rr 0^- {\rm ~~allora~~} \frac{a_n}{ b_n} \rr \im\)

• \({\rm se~~} a_n \rr \ell_a \in \R, \ell_a < 0 {\rm ~~e~~} b_n \rr 0^+ {\rm ~~allora~~} \frac{a_n}{ b_n} \rr \im\)

È quindi necessario, per applicare le regole di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito, determinare se \(b_n\) tenda a zero per eccesso o per difetto.

Dimostrazione

Dimostriamo che:

\[ a_n \rr \ell_a \in \R,~~c_n \rr \ip ~~\Rightarrow~~ \frac{a_n}{c_n} \rr 0. \]

Per ogni \(\varepsilon >0\), poiché \(a_n \rr \ell_a\), definitivamente, si ha

\[ \underbrace{|a_n - \ell_a|}_{\ge |a_n| - |\ell_a|} < \varepsilon {\rm ~~~~quindi~~~~}|a_n| < |\ell_a| + \varepsilon. \]

Inoltre, poiché \(c_n \rr \ip\), definitivamente, si ha

\[ c_n > \frac{1}{\varepsilon} \]

Ne segue che, definitivamente, si ha

\[ \frac{|a_n|}{|c_n|} < \frac{|\ell_a|+\varepsilon}{\frac{1}{\varepsilon}} {\rm ~~~~e~quindi~~~~} \left| \frac{a_n}{c_n}\right| < \varepsilon \: (|\ell_a| + \varepsilon) = \underbrace{|\ell_a| \: \varepsilon + \varepsilon^2}_{=\tilde{\varepsilon} {\rm ~e~}> 0} \]

Per l'arbitrarietà di \(\tilde{\varepsilon}\), abbiamo la tesi. □

Le quattro operazioni mancanti:

\[ \ip \im, \quad 0 \cdot \infty, \quad \frac{0}{0} {\rm ~~~~e~~~~} \frac{\infty}{\infty} \]

si chiamano forme di indecisione, poiché nessuna regola può essere stabilita a priori per determinarne il risultato.

Esempio 5: Risoluzione di forme di indecisione \(\ip\im\)

Consideriamo la successione

\[ n \mapsto \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1} \]

Abbiamo la differenza di due successioni:

\[ n \mapsto \sqrt{n+1} {\rm ~~con~~} \lim_{n \rr \ip} \sqrt{n+1} = +\infty \]

\[ n \mapsto \sqrt{n-1} {\rm ~~con~~} \lim_{n \rr \ip} \sqrt{n-1} = +\infty \]

Quindi ricadiamo nella forma di indecisione \(\ip \im\).

Moltiplicando e dividendo per \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}\) otteniamo

\[ \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2 - \left(\sqrt{n-1}\right)^2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} = \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} \]

Ricordando che \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Ora considerando la successione al denominatore abbiamo

\[ \lim_{n \rr \ip} \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}= +\infty+\infty= +\infty \]

Usando la regola

\[ a_n \rr \ell_a \in \R,~~c_n \rr \infty ~~\Rightarrow~~ \frac{a_n}{c_n} \rr 0 \]

del teorema di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (prodotto), abbiamo:

\[ \lim_{n \rr \ip} \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}= \lim_{n \rr \ip} \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} = \frac{2}{+\infty}= 0 \]

• Limiti di successioni che si presentano nella forma:

  \[ \left\{a_n^{b_n}\right\} \]

  si possono trattare considerando la successione dei loro logaritmi, prendendo per semplicità la base \(e\).

Data una successione \(\left\{a_n^{b_n}\right\}\), abbiamo che:

\[\begin{align} {\rm se~~~} b_n \: \log a_n \rr \ell &{\rm ~~allora~~} a_n^{b_n} \rr e^\ell\\[2ex] {\rm se~~~} b_n \: \log a_n \rr \ip &{\rm ~~allora~~} a_n^{b_n} \rr \ip\\[2ex] {\rm se~~~} b_n \: \log a_n \rr 0 &{\rm ~~allora~~} a_n^{b_n} \rr 1\\[2ex] {\rm se~~~} b_n \: \log a_n \rr \im &{\rm ~~allora~~} a_n^{b_n} \rr 0 \end{align}\]

Se la successione \(\left\{b_n \log a_n\right\}\) è indeterminata allora anche \(\left\{a_n^{b_n}\right\}\) è indeterminata.

Esempio 6: Calcolo dei limiti col passaggio al logaritmo

\[ \lim_{n \rr \ip} (3 \: n )^{\left(-3 \: n^2 +7\right)} \]

passando ai logaritmi abbiamo

\[ \underbrace{\left(-3 \: n^2 +7\right)}_{b_n} \:\: \log \overbrace{3\:n}^{a_n} \]

dato che

\[ \lim_{n \rr \ip} \left(-3 \: n^2 +7\right) \: \log (3\:n) = \im \cdot \ip = \im \]

allora

\[ \lim_{n \rr \ip} (3 \: n)^{\left(-3 \: n^2 +7\right)} = 0 \]

Esempio 7: Calcolo dei limiti col passaggio al logaritmo (metodo alternativo)

\[ \lim_{n \rr \ip} (3 \: n )^{\left(-3 \: n^2 +7\right)} = \lim_{n \rr \ip} e^{ \log \left( (3 \: n )^{\left(-3 \: n^2 +7\right)}\right)} = \lim_{n \rr \ip} e^{ (-3 \: n^2 +7) \; \log (3 \: n) } \]

dato che

\[ \lim_{n \rr \ip} \left(-3 \: n^2 +7\right) \: \log (3\:n) = \im \cdot \ip = \im \]

allora

\[ \lim_{n \rr \ip} (3 \: n)^{\left(-3 \: n^2 +7\right)} = e^{\im}=0 \]

Abbiamo anche le seguenti forme di indecisione:

\[ 1^{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0 \]

Passando al logaritmo corrispondono alla forma di indecisione

\[ 0 \cdot \infty \]

dato che:

\[ \log \left( 1^{\infty} \right)= \infty \: \log 1 = \infty \cdot 0 \]

\[ \log \left( 0^{0} \right) = 0 \: \log 0 = 0 \cdot -\infty \]

\[ \log \left(+\infty^0\right)= 0 \: \log \left(+\infty\right) = 0 \cdot +\infty \]

Infine dato che \(-\infty^0= -1 \cdot (+\infty^0)\), abbiamo

\[ -1 \cdot \left(\log \left(+\infty^0\right) \right) = -1 \cdot \left( 0 \: \log +\infty\right) = -1 \cdot \left( 0 \cdot +\infty \right) \]

I limiti nella forma

\[ 0^{\ip} {\rm ~~e~~} 0^{\im} \]

non sono forme di indecisione. Abbiamo:

\[ 0^{\ip} = 0 {\rm ~~e~~} 0^{\im}= \ip. \]

dato che passando al logaritmo abbiamo

\[ \log \left( 0^{+\infty} \right)= +\infty \cdot \log 0 = +\infty \cdot -\infty = -\infty {\rm ~~~~e~~~~} e^{-\infty}=0 \]

\[ \log \left( 0^{-\infty} \right)= -\infty \cdot \log 0 = -\infty \cdot -\infty = +\infty {\rm ~~~~e~~~~} e^{+\infty}=+\infty \]

Esempio 8: Limiti nelle forme \(0^{\ip}\) e \(0^{\im}\)

• Esempio del caso \(0^{\ip}= 0\):

  \[ \lim_{n \rr \ip } \left( \frac{1}{n}\right)^{\log n} = 0^{\ip}= 0. \]

  Infatti abbiamo

  \[ \left( \frac{1}{n}\right)^{\log n} = e^{\log \left( \frac{1}{n}\right)^{\log n}} = e^{\log n \: \log \frac{1}{n} } \]

  quindi

  \[ \lim_{n \rr \ip } \left( \frac{1}{n}\right)^{\log n} = \lim_{n \rr \ip } e^{ \overbrace{\log n}^{\rr \ip} \: \overbrace{\log \frac{1}{n}}^{\rr \im} } = e^{\im} = 0. \]

• Esempio del caso \(0^{\im}= \ip\):

  \[ \lim_{n \rr \ip } \left( \frac{1}{n}\right)^{-\log n} = 0^{\im}= \ip. \]

  Infatti abbiamo

  \[ \left( \frac{1}{n}\right)^{-\log n} = e^{\log \left( \frac{1}{n}\right)^{-\log n}} = e^{-\log n \: \log \frac{1}{n} } \]

  quindi

  \[ \lim_{n \rr \ip } \left( \frac{1}{n}\right)^{-\log n} = \lim_{n \rr \ip } e^{ \overbrace{-\log n}^{\rr \im} \: \overbrace{\log \frac{1}{n}}^{\rr \im} } = e^{\ip} = \ip. \]

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1. Un insieme su cui è definita un'operazione è detto struttura algebrica ↩

2. Un insieme è dotato di una struttura d'ordine se su di esso è definita una relazione d'ordine ↩