Le funzioni

Parte 2 · Funzioni · Capitolo 1 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Il concetto di funzione

L'esistenza di una grandezza variabile sottintende l'esistenza di una relazione tra due grandezze, ovvero la dipendenza di una grandezza da un'altra.

• Questa relazione segue, di volta in volta, una certa legge o formula.

Esempio 1: Leggi/formule \(\rightarrow\) funzioni

Se si lascia cadere un oggetto pesante da una certa altezza, lo spazio percorso dall'oggetto varia col tempo \(t\) secondo la formula:

\[\begin{equation*} s(t) = \frac{1}{2}\:g\:t^2 \qquad {\rm ~~con~~} t \ge 0 \end{equation*}\]

dove \(g \approx 9,8\) è costante di accelerazione di gravità.

Al tempo \(t\) viene quindi associato lo spazio percorso \(s(t)\): \(t \mapsto s(t)\).

Esempio 2: Leggi/formule \(\rightarrow\) funzioni

Se un capitale unitario viene investito per un anno al tasso annuale \(i\) con interessi pagati mensilmente a un tasso \(\frac{i}{12}\), avremo:

• dopo il primo mese, un capitale pari a:

  \[ 1+ \frac{i}{12} \cdot 1= \underbrace{1 + \frac{i}{12}}_{\alpha} \]

• dopo il secondo mese, un capitale pari a:

  \[ \underbrace{1 + \frac{i}{12}}_{\alpha} + \frac{i}{12} \underbrace{\left( 1 + \frac{i}{12} \right)}_{\alpha} = \left(1 + \frac{i}{12}\right) \: \left(1 + \frac{i}{12}\right) = \underbrace{\left(1 + \frac{i}{12}\right)^2}_{\beta} \]

• dopo il terzo mese, un capitale pari a:

  \[ \underbrace{\left(1 + \frac{i}{12}\right)^2}_{\beta} + \frac{i}{12} \: \underbrace{\left(1 + \frac{i}{12}\right)^2}_{\beta} = \left(1 + \frac{i}{12}\right)^2 \: \left(1 + \frac{i}{12}\right) = \left(1 + \frac{i}{12}\right)^3 \]

Ripetendo il ragionamento, il capitale alla fine dell'anno dipende quindi dal tasso \(i\) secondo la formula:

\[\begin{equation*} k(i) = \left( 1 + \frac{i}{12}\right)^{12} \qquad {\rm ~~con~~} i \in [0,1] \end{equation*}\]

Al tasso \(i\) viene quindi associato il capitale \(k(i)\) alla fine dell'anno: \(i \mapsto k(i)\)

• In ciascuno degli esempi precedenti, a un numero reale (ingresso) viene associato univocamente un altro numero reale (uscita). È proprio l'univocità della relazione a caratterizzare una funzione.

• In generale, gli ingressi ammissibili per una data relazione (funzione) sono soggetti a restrizioni naturali, legate alla natura stessa della relazione.

Esempio 3: Ingressi ammissibili

• Nel primo esempio il numero reale “di partenza” ha il significato di tempo; immaginando di lasciar cadere l'oggetto a un tempo iniziale \(t = 0\) è evidente che ci si dovrà limitare a tempi \(t \ge 0\).

• Nel secondo esempio, evidentemente dovrà essere \(0 \le i \le 1\), dove \(1\) corrisponde a un tasso del 100%.

2. Definizione di funzione, dominio, codominio e immagine

Definizione 1: di dominio

L'insieme degli ingressi ammissibili per una data funzione prende il nome di dominio.

• Spesso si usano le locuzioni variabile indipendente per indicare un ingresso generico e variabile dipendente per indicare l'uscita.

Esempio 4: Altri tipi di relazioni

Consideriamo l'insieme degli studenti di un determinato corso.

• Se \(A\) è l'insieme degli studenti e \(B\) è l'insieme dei loro nomi, la relazione che associa ad ogni studente il suo nome è univoca.

• In questo caso né \(A\) né \(B\) sono insiemi numerici, ma tuttavia risulta ben definita una relazione univoca tra questi due insiemi.

Mentre il viceversa non è necessariamente vero: potrebbero esserci due studenti con lo stesso nome.

Definizione 2: di funzione

Dati due insiemi \(A\), \(B\) qualsiasi, una funzione \(f\) di dominio \(A\) a valori in \(B\) (o anche “di codominio \(B\)”) è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di \(A\) associa uno e un solo elemento di \(B\).

• La scrittura:

  \[\begin{equation*} f: A \rightarrow B \end{equation*}\]

  (che si legge “\(f\) definita da \(A\) a \(B\)”), indica il dominio e il codominio della funzione \(f\).

• La scrittura

  \[\begin{equation*} f: x \mapsto f(x) \end{equation*}\]

  (che si legge “\(f\) ad \(x\) associa \(f(x)\)”) indica come la funzione \(f\) agisce sugli elementi.

• Il simbolo \(f(x)\) indica l'uscita o il valore che la funzione \(f\) associa ad \(x\), e non va confuso col simbolo \(f\), che denota la funzione stessa.

Esempio 5: Notazione delle funzioni

Per la funzione

\[\begin{equation*} k(i) = \left( 1 + \frac{i}{12}\right)^{12} \end{equation*}\]

dell'esempio precedente si avrebbe:

\[ k: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \]

\[ k: i \mapsto \left( 1 + \frac{i}{12}\right)^{12} \]

• Si usa anche la scrittura

  \[ y = f (x) \]

  per indicare che la variabile \(y\) è funzione di \(x\). In questo caso \(y\) è l'uscita o il valore che \(f\) associa all'ingresso \(x\).

  Per brevità, a volte si definisce direttamente il valore di \(f(x)\) in funzione di \(x\), come ad esempio \(f(x)=x^2+10\).

• In generale, si può pensare a una funzione come a una scatola nera che a ogni ingresso ammissibile \(x\) (input) associa un'unica uscita \(f(x)\) (output) :

Definizione 3: di immagine e immagine del dominio

L'uscita corrispondente a \(x\) si chiama immagine di \(x\); l'insieme delle possibili uscite si chiama immagine del dominio \(A\) tramite \(f\) e si indica con il simbolo \(f(A)\) o \(\Ima f\).

• Si noti che nella scrittura \(f: A \rightarrow B\), il codominio \(B\) può essere più grande dell'immagine \(f(A)\), ovvero in generale abbiamo

  \[ f(A) \subseteq B. \]

• Se \(f\) ha valori reali, solitamente si scrive \(f : A \rightarrow \mathbb{R}\) senza precisare quale sia l'effettiva immagine di \(f\).

3. Suriezioni, iniezioni e biiezioni

Definizione 4: di suriezione (funzione suriettiva)

Una funzione \(f\) è una suriezione se l'immagine del suo dominio corrisponde al suo codominio.

• Una suriezione \(f: A \rightarrow B\) si chiama talvolta anche un mapping da \(A\) a \(B\).

• Rappresentazione insiemistica:

Esempio 6: funzioni suriettive e non suriettive

• La funzione \(f(n)=\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) è una funzione suriettiva da \(\mathbb{N}\) a \(\mathbb{N}\), dato che ogni elemento nel codominio \(\mathbb{N}\) è l'immagine di un qualche valore del dominio.

• La funzione \(f(n)= 2\:n\) non è una funzione suriettiva da \(\mathbb{N}\) a \(\mathbb{N}\), dato che nessun argomento di \(f\) produce \(3\) come valore.

• La funzione \(f(n)= 2\:n\) è però una funzione suriettiva dai numeri naturali ai numeri pari.

Osservazione 1

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), e una funzione \(f: A \rightarrow B\), se \(f\) è suriettiva allora \(|A| \ge |B|\).

Dimostrazione

Procediamo per induzione sul numero \(n\) di elementi nel codominio della funzione.

• Primo passo dell'induzione

  Se c'è un solo elemento nel codominio (\(|B|=1\)), poiché la funzione è suriettiva, abbiamo \(|A| \ge 1\) (ogni elemento di \(B\) è immagine di almeno un elemento di \(A\)). Quindi \(1 \ge 1\), che è evidentemente vero.

• Passo induttivo

  Supponiamo allora che tutte le funzioni con codominio di dimensione \(n\) soddisfino \(|A_{n}| \ge |B_{n}|\).

  Considerando codomini di dimensione \(n+1\) abbiamo \(|B_{n+1}|=|B_{n}|+1\). Dato che il codominio ha un elemento in più e la funzione è suriettiva allora abbiamo \(|A_{n+1}| \ge |A_{n}| +1\). Sostituendo abbiamo:

  \[ \underbrace{|A_{n}|}_{\le~|A_{n+1}|-1} \ge \underbrace{|B_{n}|}_{=~|B_{n+1}|-1} {\rm~~quindi~~} |A_{n+1}| \ge |B_{n+1}|. \]

□

Definizione 5: di iniezione (funzione iniettiva)

Una funzione \(f\) è un'iniezione se argomenti distinti di \(f\) producono valori distinti, ovvero se \(a \neq b\) implica \(f(a) \neq f(b)\).

• rappresentazione insiemistica:

Esempio 7

• La funzione \(f(n)= 2\:n\) è una funzione iniettiva da \(\mathbb{N}\) a \(\mathbb{N}\), dato che ciascun numero pari \(b\) è l'immagine attraverso \(f\) di esattamente un elemento del dominio, ovvero \(n=\frac{b}{2}\)

• La funzione \(f(n)=\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) non è una funzione iniettiva dato che il valore 1 si ottiene con due argomenti: \(2\) e \(3\).

• Una iniezione è anche chiamata una funzione one-to-one.

Osservazione 2

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), e una funzione \(f: A \rightarrow B\), se \(f\) è iniettiva allora \(|A| \le |B|\).

Dimostrazione

Procediamo per induzione sul numero di elementi \(n\) del dominio della funzione.

• Primo passo dell'induzione

  Se c'è un solo elemento nel dominio (\(|A|=1\)), poiché ogni elemento del dominio è associato a uno e un solo elemento nel codominio, abbiamo \(|B| \ge 1\). Quindi \(1 \le 1\), che è evidentemente vero.

• Passo induttivo

  Supponiamo allora che tutte le funzioni con dominio di dimensione \(n\) soddisfino \(|A_{n}| \le |B_{n}|\).

  Considerando domini di dimensione \(n+1\) abbiamo \(|A_{n+1}|=|A_{n}|+1\) e dato che la funzione è iniettiva \(|B_{n+1}| \ge |B_{n}| +1\). Sostituendo abbiamo

  \[ \underbrace{|A_{n}|}_{=~|A_{n+1}|-1} \le \underbrace{|B_{n}|}_{\le~|B_{n+1}|-1} {\rm~~quindi~~} |A_{n+1}| \le |B_{n+1}|. \]

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Definizione 6: di biiezione (funzione biunivoca o bigettiva)

Una funzione \(f\) è una biiezione se: \((i)\) è iniettiva e \((ii)\) è suriettiva.

• rappresentazione insiemistica:

Esempio 8

• La funzione \(f(n)= (-1)^n\:\lceil \frac{n}{2} \rceil\) è una biiezione da \(\mathbb{N}\) a \(\mathbb{Z}\). I valori della funzione sono:

  \[ f(0)=0,~~~f(1)=-1,~~~f(2)=1,~~~f(3)=-2,~~~f(4)=2 \dots \]

  La funzione è iniettiva, dato che nessun elemento di \(\mathbb{Z}\) è immagine di più di un elemento di \(\mathbb{N}\). La funzione è suriettiva, dato che tutti gli elementi di \(\mathbb{Z}\) sono immagini di un qualche elemento di \(\mathbb{N}\).

• Una biiezione è chiamata anche una corrispondenza one-to-one, dato che accoppia elementi del dominio a elementi del codominio.

• Una biiezione da un insieme \(A\) a se stesso è chiamata anche permutazione.