Sviluppi asintotici

Parte 3 · Limiti di funzioni e continuità · Capitolo 7 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Simbolo di "\(o\) piccolo" e sviluppi asintotici

Definizione 1: di \(o\) piccolo

Date due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\), definite in un intorno di \(c \in \R^*\), si dice che

\[ f(x) = o \big(g(x)\big) {\rm ~~~per~~~} x \rr c \]

(si legge “\(f(x)\) è \(o\) piccolo di \(g(x)\)” per \(x \rr c\)) se e solo se

\[ \frac{f(x)}{g(x)} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr c \]

Il simbolo \(o(g(x))\) per \(x\) che tende a \(c\) non denota una particolare funzione \(f(x)\), ma qualsiasi funzione \(f(x)\) tale che il rapporto tra \(f(x)\) e \(g(x)\) tende a 0 per \(x\) che tende a \(c\).

Esempio 1: \(o\) piccolo

Ad esempio:

\[ x^2 = o(x) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{x^2}{x} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

\[ x^3 = o(x) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{x^3}{x} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

\[ x^3 = o(x^2) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{x^3}{x^2} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

\[ e^{-1/x^2} = o(x^4) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{e^{-1/x^2}}{x^4} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

• Dalla definizione di funzioni asintotiche, si ha:

  \[ f(x) \thicksim g(x) {\rm ~~per~~} x \rr c \Longleftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)} \rr 1 {\rm ~~per~~} x \rr c \]

  in questi casi abbiamo:

  \[ \frac{f(x)}{g(x)}-1 \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c {\rm ~~~~~e~~~~~} \frac{f(x)-g(x)}{g(x)} \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c \]

  dalla definizione di \(o\) piccolo possiamo allora scrivere :

  \[ f(x) - g(x) = o\big(g(x)\big) {\rm ~~per~~} x \rr c \]

  Abbiamo il seguente sviluppo asintotico:

  \[ f(x) \thicksim g(x) {\rm ~~per~~} x \rr c \Longleftrightarrow f(x) = g(x) + o\big(g(x)\big) {\rm ~~per~~} x \rr c \]

• Inoltre si ha:

  \[ g(x) + f(x) \thicksim g(x) {\rm ~~per~~} x \rr c \Longleftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)} \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c, \]

  dato che:

  \[ \frac{g(x) + f(x)}{g(x)} = 1 + \frac{f(x)}{g(x)} \]

  che tende ad 1 per \(x \rr c\) se e solo se \(f(x) / g(x)\) tende a 0 per \(x \rr c\).

  In tali situazioni diremo che \(g(x)\) è la parte principale della somma \(g(x) + f(x)\) e che \(f(x)\) è trascurabile rispetto a \(g(x)\) per \(x \rr c\); ovvero che:

  \[ f(x) = o\big(g(x)\big) {\rm ~~per~~ } x \rr c \]

  Abbiamo il seguente sviluppo asintotico:

  \[ g(x) + f(x) \thicksim g(x) {\rm ~~per~~} x \rr c \Longleftrightarrow f(x) = o\big(g(x)\big) {\rm ~~per~~} x \rr c \]

• Segue dalla definizione di \(o\) piccolo che con tre funzioni abbiamo:

  \[ f(x) = h(x) + o\big(g(x)\big) {\rm ~~per~~} x \rr c \Longleftrightarrow \frac{f(x)-h(x)}{g(x)} \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c \]

• Il simbolo di "\(o\) piccolo" si comporta al seguente modo con i prodotti:

  \[ f \cdot o \big(g\big) = o \big(f \cdot g\big) \]
  \[ o \big(f\big) \cdot o \big(g\big) = o \big(f \cdot g\big) \]

  Esempio 2: \(o\) piccolo e prodotti

  Ad esempio per \(x \rr c\):

  \[ x \cdot o\big(x^2\big) = o\big(x^3\big),~~~~~~~ \frac{o\big(x^3\big)}{x} = o\big(x^2\big),~~~~~~~ o(x) \cdot o\big(x^2\big)=o\big(x^3\big) \]

Alcune proprietà del simbolo \(o\) piccolo mostrate con degli esempi:

\[\begin{align*} o(x) \pm o(x) &= o(x),~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c \\[1ex] o(a \; x) &= o(x),~~~~~ \forall a \in \R,~ a \neq 0,~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c\\[1ex] a\;o(x) &= o(x),~~~~~ \forall a \in \R,~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c\\[1ex] o(x) + o\big(x^2\big) &= o(x),~~~ {\rm ~~per~~} x \rr 0\\[1ex] o(x) + o\big(x^2\big) &= o\big(x^2\big),~ {\rm ~~per~~} x \rr \infty \end{align*}\]

Definizione 2: di \(o(1)\)

Una funzione \(f\) si dice infinitesima per \(x \rr c\) e si scrive

\[ f(x) = o(1) {\rm ~~per~~} x \rr c {\rm ~~se~~} f(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr c \]

Esempio 3: \(o(1)\)

Ad esempio:

\[ \sqrt{x} = o(1) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0^+ {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{\sqrt{x}}{1} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0^+ \]

\[ x^{-2} = o(1) {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{x^{-2}}{1} \rr 0 {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip \]

• Abbiamo:

  \[ \lim_{ x \rr c} f(x) = \ell \Longleftrightarrow \lim_{ x \rr c} (f(x) - \ell)=0 \Longleftrightarrow \lim_{ x \rr c} |f(x) - \ell|=0 \]

  quindi

  \[ \lim_{ x \rr c} f(x) = \ell \Longleftrightarrow f(x) = \ell + o(1) {\rm ~~~per~~~} x \rr c \]

  l'ultima espressione si legge “\(f(x)\) è somma di \(\ell\) e di una funzione infinitesima per \(x \rr c\)”

Esempio 4: \(o(1)\)

Ad esempio:

\[ x^2 = x \big(1 + o(1)\big) {\rm ~~~per~~~} x \rr 1 {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{x^2}{x} = x \rr 1 {\rm ~~~per~~~} x \rr 1 \]

\[ x^2 + 3\:x = x \big(3 + o(1)\big) {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{x^2 + 3\:x}{x} = x + 3\rr 3 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0 \]

\[ x^2 + 3\:x = x^2 \big(1 + o(1)\big) {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{x^2 + 3\:x}{x^2} = 1 + \frac{3}{x}\rr 1 {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip \]

\[ \sqrt{x+5} = \sqrt{x} \big(1 + o(1)\big) {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}} =\sqrt{1 + \frac{5}{x}} \rr 1 {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip \]

Alcune proprietà del simbolo \(o(1)\):

\[\begin{align*} o(1) \pm o(1) &= o(1),~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c\\[1ex] o(1) \cdot o(1) &= o(1),~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c\\[1ex] c \cdot o(1) &= o(1),~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c,~~ c \neq 0\\[1ex] \big(1+o(1)\big) \cdot \big(1+o(1)\big) &= 1+o(1),~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c\\[1ex] \frac{1}{1+o(1)} &= 1+o(1),~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c\\[1ex] \frac{c}{1+o(1)} - c &= o(1),~~~ {\rm ~~per~~} x \rr c,~~ c \neq 0 \end{align*}\]

Dato che

\[ \frac{c}{1+o(1)} - c = c \; \left( \frac{1}{1+o(1)} -1\right)= c \; \big(1+o(1)-1 \big)= o(1) \]

Esempio 5: \(o(1)\)

Abbiamo

\[ \big(x + o(1)\big)^2 = x^2 \big(1 + o(1)\big) {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip {\rm ~~~dato~~che~~~} \frac{\big(x + o(1)\big)^2}{x^2} \rr 1 {\rm ~~~per~~~} x \rr \ip \]

2. Sviluppi asintotici derivanti dai limiti notevoli

Abbiamo visto che valgono i seguenti limiti notevoli:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{\sin x}{x} =1,~~\lim_{x \rr 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2},~~ \lim_{x \rr 0} \frac{\log(1 + x)}{x} =1,~~\lim_{x \rr 0} \frac{e^x -1}{x} =1,~~\lim_{x \rr 0} \frac{ (1 + x)^{\alpha} -1}{x} = \alpha \]

e di conseguenza valgono le seguenti equivalenze asintotiche per \(x \rr 0\):

\[ \sin x \thicksim x,~~ 1 - \cos x \thicksim \frac{1}{2} x^2,~~ e^x -1 \thicksim x,~~ \log(1+x) \thicksim x,~~ (1+x)^{\alpha} -1 \thicksim \alpha \: x \]

Vediamo ora come ottenere gli sviluppi asintotici a partire dai limiti notevoli:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{\sin x}{x} =1 \]

Quindi per \(x \rr 0\):

\[ \frac{\sin x}{x} - 1 \rr 0, \qquad \frac{\sin x - x}{x} \rr 0 {\rm ~~quindi~~} \sin x - x = o(x) \]

che fornisce lo sviluppo asintotico:

\[ \sin x = x + o(x) \]

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]

Quindi per \(x \rr 0\):

\[ \frac{1 - \cos x}{x^2} - \frac{1}{2} \rr 0, \qquad \frac{2\:(1 - \cos x) - x^2}{2\:x^2} \rr 0 {\rm ~~quindi~~} 2\:(1 - \cos x) - x^2 = o\big(\:2\:x^2\big) \]

che fornisce lo sviluppo asintotico:

\[ \cos x = 1 - \frac{1}{2} \: x^2 + o\big(x^2\big) \]

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{\log(1 + x)}{x} =1 \]

Quindi per \(x \rr 0\):

\[ \frac{\log(1 + x)}{x} - 1 \rr 0, \qquad \frac{\log(1 + x) - x}{x} \rr 0 {\rm ~~quindi~~} \log(1 + x) - x = o(x) \]

che fornisce lo sviluppo asintotico:

\[ \log(1 + x) = x + o(x) \]

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{e^x -1}{x} =1 \]

Quindi per \(x \rr 0\):

\[ \frac{e^x -1}{x} - 1 \rr 0, \qquad \frac{e^x -1- x}{x} \rr 0 {\rm ~~quindi~~} e^x-1 - x = o(x) \]

che fornisce lo sviluppo asintotico:

\[ e^x =1+ x + o(x) \]

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{ (1 + x)^{\alpha} -1}{x} = \alpha {\rm ~~~~~~~~con~~~} \alpha \in \R \]

Quindi per \(x \rr 0\):

\[ \frac{ (1 + x)^{\alpha} -1}{x} - \alpha \rr 0 \qquad \frac{(1 + x)^{\alpha} -1 - \alpha \: x}{x} \rr 0 {\rm ~~quindi~~} (1 + x)^{\alpha} -1 - \alpha \: x = o(x) \]

che fornisce lo sviluppo asintotico:

\[ (1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha \: x + o(x) \]

• Questi sviluppi asintotici si possono generalizzare

Se \(\varepsilon(x)\) è una funzione che tende a zero, cioè è un infinitesimo (non ha importanza a che cosa tenda \(x\)), abbiamo i seguenti sviluppi asintotici derivanti dai limiti notevoli.

Per \(\varepsilon(x) \rr 0\), abbiamo:

\[\begin{align} \sin{ \big( \varepsilon(x) \big)} &= \varepsilon(x) + o\big( \varepsilon(x)\big) \\[2ex] \cos{\big( \varepsilon(x) \big)} &= 1 - \frac{1}{2} \; \varepsilon^2(x) + o{\big(\varepsilon^2(x)\big)} \\[2ex] \log{\big(1+\varepsilon(x)\big)} &= \varepsilon(x) + o\big(\varepsilon(x)\big) \\[2ex] e^{\varepsilon(x)} &= 1 + \varepsilon(x) + o\big(\varepsilon(x)\big) \\[2ex] \big(1+\varepsilon(x)\big)^\alpha &= 1 + \alpha \; \varepsilon(x) + o\big(\varepsilon(x)\big) {\rm ~~~~~~~~con~~~} \alpha \in \R \end{align}\]