Rette tangenti

Esercizi · Derivate · con le soluzioni svolte · PDF

Esercizio 1

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \(\big( x_0, f(x_0)\big)\) per

\[ f(x) = 3\:x^2 + 2\:x +1, ~~x_0=2 \]

Soluzione

Calcoliamo l'equazione della retta tangente al grafico della funzione

\[ f(x) = 3\:x^2 + 2\:x +1 {\rm ~~nel~punto~di~ascissa~~} x_0 = 2, {\rm ~~abbiamo:} \]

\[ f(2)=17,~ f'(x)=6\:x+2,~ f'(2)=14; \]

la retta tangente è

\[ y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 17 + 14\: (x - 2) \]

Esercizio 2

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \(\big( x_0, f(x_0)\big)\) per

\[ f(x) = \sin x, ~~x_0=\frac{\pi}{3} \]

Soluzione

Calcoliamo l'equazione della retta tangente al grafico della funzione

\[ f(x) = \sin x {\rm ~~nel~punto~di~ascissa~~} x_0 = \frac{\pi}{3}, {\rm ~~abbiamo:} \]

\[ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},~ f'(x)=\cos x,~ f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}; \]

la retta tangente è

\[ y = f\left(\frac{\pi}{3}\right) + f'\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\: \left(x - \frac{\pi}{3}\right) \]

Esercizio 3

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \(\big( x_0, f(x_0)\big)\) per

\[ f(x) = \log x, ~~x_0=1 \]

Soluzione

Calcoliamo l'equazione della retta tangente al grafico della funzione

\[ f(x) = \log x {\rm ~~nel~punto~di~ascissa~~} x_0 = 1, {\rm ~~abbiamo:} \]

\[ f(1)=0,~ f'(x_0)=\lim_{h \rr 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\lim_{h \rr 0}\frac{\log (1+h)}{h} = 1 \]

la retta tangente è

\[ y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 0 + (x - 1) \]

Esercizio 4

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \(\big( x_0, f(x_0)\big)\) per

\[ f(x) = a^x, ~~x_0=2 \]

Esercizio 5

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \(\big( x_0, f(x_0)\big)\) per

\[ f(x) = (x \: \log |x|)^3, ~~x_0=-1 \]

Esercizio 6

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \(\big( x_0, f(x_0)\big)\) per

\[ f(x) = \cos (\log x), ~~x_0=e^{\frac{\pi}{2}} \]

Esercizio 7

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \(\big( x_0, f(x_0)\big)\) per

\[ f(x) = e^{x^2}, ~~x_0=\log 2 \]

Esercizio 8

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \(\big( x_0, f(x_0)\big)\) per

\[ f(x) = e^{-|x|}, ~~x_0=-1 \]