Limiti notevoli e stime asintotiche

Parte 3 · Limiti di funzioni e continuità · Capitolo 6 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Limiti notevoli

• Vediamo ora alcune comuni tecniche di calcolo dei limiti che combinano i teoremi generali sui limiti con l'uso di alcuni limiti notevoli di certe funzioni elementari.

1.1 Limiti notevoli di seno e coseno

• Vogliamo calcolare

  \[ \lim_{x \rr 0} \frac{\sin x}{x} = \left[\frac{0}{0}\right] {\rm ~~e~~} \lim_{x \rr 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \left[\frac{0}{0}\right] \]

  che si presentano in forma indeterminata.

Lemma 1

\[\begin{equation} \label{LN_1} \lim_{x \rr 0} \frac{\sin x}{x} =1 \end{equation}\]

Dimostrazione

Le funzioni \(\sin x\) e \(x\) sono funzioni dispari, allora \(\frac{\sin x}{x}\) è una funzione pari. Quindi è sufficiente calcolare

\[ \lim_{x \rr 0^+} \frac{\sin x}{x} \]

Abbiamo:

\[ HP=\sin x \quad AT = \tan x \quad \stackrel{\LARGE\frown}{AP} = x \]

L'area del triangolo \(OPA\) è minore di quella del settore circolare \(OPA\), a sua volta minore di quella del triangolo \(OTA\). Ne segue

\[ \underbrace{\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x}_{{\rm area~ triang.~} OPA} \le \underbrace{\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x}_{{\rm area~ sett.~circ.~} OPA} \le \underbrace{\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x}_{{\rm area~triang.~} OTA} \]

ossia per \(x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)\):

\[ \sin x < x < \tan x \]

Dividendo per \(\sin x\), che è positivo perché \(x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)\), si ha

\[ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}, \quad \forall x \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right) {\rm ~~~~ovvero~~~~} \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1, \quad \forall x \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right) \]

Dal teorema del confronto, essendo \(\lim_{x \rr 0} \cos x= 1\), si deduce il lemma. □

Lemma 2

\[\begin{equation} \label{LN_2} \lim_{x \rr 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \end{equation}\]

Dimostrazione

Consideriamo

\[ \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1-\cos^2 x}{x^2 \:(1+\cos x)}= \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \: \frac{1}{1 + \cos x} \]

quindi, dato che \(\frac{\sin x}{x} \rr 1 {\rm ~~e~~} (1 + \cos x) \rr 2 {\rm ~~per~~} x \rr 0\), abbiamo la tesi. □

1.2 Prolungamento per continuità di una funzione

• In base al limite \(\eqref{LN_1}\) dimostrato, le funzioni \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\), e \(g(x) = \frac{1-\cos x}{x^2}\) inizialmente non definite per \(x = 0\) possono essere prolungate per continuità anche in \(x = 0\), ponendo

  \[ f(x)= \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & {\rm se~~} x \neq 0\\ 1 & {\rm se~~} x = 0 \end{cases} \qquad g(x)= \begin{cases} \frac{1- \cos x}{x^2} & {\rm se~~} x \neq 0\\ \frac{1}{2} & {\rm se~~} x = 0 \end{cases} \]

  Le funzioni \(f\) e \(g\) così definite risultano continue anche in \(x = 0\).

• se una funzione \(f(x)\) non è definita in \(x_0\) ma esiste finito

  \[ \lim_{x \rr x_0} f(x) = \ell \]

  la funzione può essere prolungata per continuità anche in \(x_0\), ponendo per definizione

  \[ f(x_0) = \ell \]

• Se invece la funzione \(f\) possiede in \(x_0\) una discontinuità a salto, un asintoto verticale, o comunque non ammette limite finito, non è possibile renderla continua in \(x_0\) alterandone la definizione in un punto solo.

1.3 Altri limiti notevoli

• Sappiamo che per ogni successione \(\{a_n\}\) divergente a \(\ip\) o \(\im\) si ha

  \[ \lim_{n \rr \ip} \left(1 + \frac{1}{a_n}\right)^{a_n} = e \]

• Questo fatto, per la definizione successionale di limite di funzione, implica immediatamente il prossimo limite notevole

Lemma 3

\[\begin{equation} \label{LN_3} \lim_{x \rr \pm \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \end{equation}\]

Se \(\eta(x)\) è una funzione che tende a infinito¹ (cioè è un infinito: \(\eta(x) \rr \pm\infty\)), abbiamo:

\[\begin{align} \left( 1 + \frac{1}{\eta(x)} \right)^{\eta(x)} \rr e \end{align}\]

Esempio 1: Limiti di funzioni che tendono a \(e\)

1.

$$
\lim_{x \rr \ip} \left( 1 + \frac{1}{2\:x^2-10} \right)^{2\:x^2-10} = e
$$

dato che con $\eta(x) = 2\:x^2-10$ abbiamo

$$
\eta(x) \rr \ip {\rm~~per~~} x \rr \ip.
$$

2.

$$
\lim_{x \rr 0^+} \left( 1 + \frac{1}{1/x} \right)^{1/x} = e
$$

dato che con $\eta(x) = \frac{1}{x}$ abbiamo

$$
\eta(x) \rr \ip {\rm~~per~~} x \rr 0^+.
$$

Dal limite notevole \(\eqref{LN_3}\) se ne possono dedurre altri tre

Corollario 1

\[\begin{equation} \label{LN_4} \lim_{y \rr 0} \frac{\log(1 + y)}{y} =1 \end{equation}\]

Dimostrazione

Passando ai logaritmi nella \(\eqref{LN_3}\), si ottiene

\[ \log \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = x \: \log \left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

quindi

\[ \lim_{x \rr \pm \infty} x \: \log \left(1 + \frac{1}{x}\right) = \log e = 1. \]

Ora se si pone \(y=\frac{1}{x}\), \(x \rr \pm \infty\) equivale a \(y \rr 0^{\pm}\), e l'ultimo limite si può quindi riscrivere nella forma seguente:

\[\begin{equation*} \frac{\log(1 + y)}{y} \rr 1 {\rm ~~per~~} y \rr 0. \end{equation*}\]

□

Corollario 2

\[\begin{equation} \label{LN_5} \lim_{x \rr 0} \frac{e^x -1}{x} =1 \end{equation}\]

Dimostrazione

Se nella \(\eqref{LN_4}\), poniamo invece \(y= e^x -1\), \(y \rr 0\) equivale a \(x \rr 0\), e sostituendo si ricava

\[ \frac{\log e^x}{e^x-1} = \frac{x}{e^x-1} \rr 1 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0. \]

Passando al reciproco otteniamo il limite notevole. □

Esempio 2: Limite notevole

Calcoliamo:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{e^{-x}-1}{x} \]

Poniamo \(z= -x\), \(x \rr 0\) equivale a \(z \rr 0\), e sostituendo si ricava:

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{e^{-x}-1}{x} = \lim_{z \rr 0} \frac{e^{z}-1}{-z}=-\lim_{z \rr 0} ~~~\underbrace{\frac{e^{z}-1}{z}}_{\rr 1}=-1 \]

Corollario 3

\[\begin{equation} \label{LN_5__2} \lim_{x \rr 0} \frac{ (1 + x)^{\alpha} -1}{x} = \alpha {\rm ~~~~~~~~con~~~} \alpha \in \R \end{equation}\]

Dimostrazione

Se nella \(\eqref{LN_4}\), poniamo invece \(y= (1+x)^{\alpha} -1\), con \(\alpha\) esponente reale qualsiasi, allora \(x \rr 0\) equivale a \(y \rr 0\) e si ha:

\[\begin{align*} \frac{\log(1 + y)}{y} &= \frac{\log[1 + (1+x)^{\alpha} -1]}{(1+x)^{\alpha} -1} = \frac{\alpha \log (1+x)}{(1+x)^{\alpha} -1}\\[2ex] & = \frac{\alpha \: x}{(1+x)^{\alpha} -1} \cdot \frac{\log(1+x)}{x} \rr 1 {\rm ~~per~~} x \rr 0. \end{align*}\]

Ma poiché anche

\[ \frac{\log(1+x)}{x} \rr 1 {\rm ~~per~~} x \rr 0, \]

allora

\[ \frac{\alpha \: x}{(1+x)^{\alpha} -1} \rr 1 {\rm ~~~per~~~} x \rr 0. \]

Passando al reciproco e poi moltiplicando per \(\alpha\) otteniamo il limite notevole. □

2. Stime asintotiche

Definizione 1: di funzioni asintotiche

Si dice che due funzioni \(f\) , \(g\) sono asintotiche per \(x \rr c\) se

\[ \lim_{x \rr c} \frac{f(x)}{g(x)}=1 \]

e si scrive \(f \thicksim g\) per \(x \rr c\).

• Il simbolo di asintotico per funzioni gode di tutte le proprietà enunciate per le successioni

Per \(x \rr 0\) abbiamo (dai limiti notevoli):

\[\begin{align} \sin x &\thicksim x\\[2ex] \log(1+x) &\thicksim x\\[2ex] \cos x & \thicksim 1- \frac{1}{2} x^2\\[2ex] e^x &\thicksim 1+ x\\[2ex] (1+x)^{\alpha} &\thicksim 1 + \alpha \: x {\rm ~~~~~~~~con~~~} \alpha \in \R \end{align}\]

• Le funzioni \(\thicksim x\) si comportano, in prima approssimazione o al primo ordine, come \(x\) per \(x \rr 0\).

Se \(\varepsilon(x)\) è una funzione che tende a zero² (cioè è un infinitesimo: \(\varepsilon(x) \rr 0\)), abbiamo:

\[\begin{align} \sin \big( \varepsilon(x) \big) &\thicksim \varepsilon(x)\\[2ex] \log \big(1+\varepsilon(x)\big) &\thicksim \varepsilon(x)\\[2ex] \cos \big( \varepsilon(x) \big) &\thicksim 1 - \frac{1}{2} \;\varepsilon^2(x)\\[2ex] e^{\varepsilon(x)} &\thicksim 1 +\varepsilon(x)\\[2ex] \big(1+\varepsilon(x)\big)^{\alpha} & \thicksim 1+ \alpha \; \varepsilon(x) {\rm ~~~~~~~~con~~~} \alpha \in \R \end{align}\]

• Le formule \(\eqref{LIM_NOT_C__2}\) si deducono dalle formule \(\eqref{LIMMMM}\) semplicemente con un cambio di variabile

  \[ x = \varepsilon(x) \]

Esempio 3: Limiti con funzioni asintotiche

\[ \lim_{x \rr 1} \frac{(x-1)^2}{e^{3\: (x-1)^2}-1} = \left[\frac{0}{0} \right] \]

Utilizziamo la stima

\[ e^{\varepsilon(x)} -1 \thicksim \varepsilon(x) \]

con

\[ \varepsilon(x) = 3 \: (x-1)^2 {\rm ~~e~~} \varepsilon(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr 1 \]

E allora, per \(x \rr 1\), abbiamo

\[ e^{3\: (x-1)^2}-1 \thicksim 3\: (x-1)^2. \]

e

\[ \lim_{x \rr 1} \frac{(x-1)^2}{e^{3\: (x-1)^2}-1} = \lim_{x \rr 1} \frac{(x-1)^2}{3\: (x-1)^2} = \frac{1}{3} \]

Esempio 4: Limiti con funzioni asintotiche

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{\log(1+2\:x)}{\sin 3\:x} = \left[\frac{0}{0} \right] \]

Utilizziamo la stima

\[ \log(1 + \varepsilon(x)) \thicksim \varepsilon(x) \]

con

\[ \varepsilon(x) = 2 \: x {\rm ~~e~~} \varepsilon(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr 0. \]

Quindi, per \(x \rr 0\) abbiamo

\[ \log(1 + 2\:x) \thicksim 2 x \]

Utilizziamo ora anche la stima

\[ \sin{\varepsilon(x)} \thicksim \varepsilon(x) \]

con

\[ \varepsilon(x) = 3 \: x {\rm ~~e~~} \varepsilon(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr 0 \]

Quindi, per \(x \rr 0\) abbiamo

\[ \sin 3\: x \thicksim 3 x \]

E allora, per \(x \rr 0\), abbiamo

\[ \frac{\log(1+2\:x)}{\sin 3\:x} \thicksim \frac{2\:x}{3\:x} \]

e

\[ \lim_{x \rr 0} \frac{\log(1+2\:x)}{\sin 3\:x} = \lim_{x \rr 0} \frac{2\:x}{3\:x} = \frac{2}{3} \]

Esempio 5: Limiti con funzioni asintotiche

\[ \lim_{x \rr \ip} \sqrt[3]{x^3 + 2\: x^2 +1} - x= \left[\ip \im \right] \]

Riscriviamo,

\[ \sqrt[3]{x^3 + 2\: x^2 +1} - x = x \: \left( \sqrt[3]{1 + \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3} \right)} - 1 \right) \]

Utilizziamo la stima

\[ \sqrt[3]{1 +\varepsilon(x)} -1 \thicksim \frac{1}{3} \varepsilon(x) \]

con

\[ \varepsilon(x) = \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3} \right) {\rm ~~e~~} \varepsilon(x) \rr 0 {\rm ~~per~~} x \rr \ip. \]

E allora, per \(x \rr \ip\), abbiamo

\[ \sqrt[3]{x^3 + 2\: x^2 +1} - x \thicksim x \left[ \frac{1}{3} \: \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3} \right) \right] \]

e

\[ \lim_{x \rr \ip} \sqrt[3]{x^3 + 2\: x^2 +1} - x = \lim_{x \rr \ip} x \left[ \frac{1}{3} \: \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3} \right) \right] = \frac{2}{3} \]

3. Stime asintotiche e grafici

• Le stime asintotiche non servono solo per calcolare limiti, ma anche per tracciare il grafico qualitativo di una funzione nell'intorno di un certo punto, oppure per \(x \rr \pm \infty\).

Esempio 6: Grafici noti

Esempio 7: Grafico qualitativo

Vogliamo ora studiare il grafico qualitativo della funzione (la somma delle precedenti due):

\[ f(x) = \sqrt[3]{x} + x^2= x^{\frac{1}{3}} + x^2 \]

• la funzione è definita e continua su tutto \(\R\);

• per \(x \rr \pm \infty\), \(f(x) \thicksim x^2\), in quanto

  \[ \lim_{x \rr \pm \infty} \frac{x^{\frac{1}{3}} + x^2}{x^2} =1 \]

  Dunque \(f(x) \rr \ip\) per \(x \rr \pm \infty\); inoltre il suo grafico sarà simile, per \(x\) grande in valore assoluto, a quello di \(x^2\).

• La funzione inoltre si annulla in \(x = 0\) e, per \(x \rr 0\), \(f(x) \thicksim x^{\frac{1}{3}}\), in quanto

  \[ \lim_{x \rr 0} \frac{x^{\frac{1}{3}} + x^2}{x^{\frac{1}{3}}} =1 \]

  dunque il suo grafico sarà simile, in un intorno di \(x = 0\), a quello di \(x^{\frac{1}{3}}\) in particolare, avrà tangente verticale nell'origine.

Esempio 8: Grafico reale

\[ f(x) = \sqrt[3]{x} + x^2= x^{\frac{1}{3}} + x^2 \]

• Spesso l'andamento di una funzione nell'intorno di un punto (ad esempio il fatto che abbia tangente verticale o orizzontale) è prevedibile in base a un'opportuna stima asintotica.

• La stima asintotica consente di tracciare il grafico qualitativo di \(f\) (nell'intorno del punto) per confronto con quello di una funzione nota (ad esempio, una potenza a esponente razionale).

• Analoghe stime sono utili per \(x \rr \pm \infty\).

Crescita di una funzione all'infinito

• Supponiamo di voler tracciare il grafico di una funzione \(f\) che, per \(x \rr \ip\) (o \(\im\)) tende a \(\ip\) (o \(\im\)).

• Per descrivere la velocità con cui la funzione tende all'infinito, sono utili le seguenti nozioni: diremo che, per \(x \rr \ip\),

  \[ f {\rm~~ha~crescita} \begin{cases} {\rm sopralineare}\\ {\rm lineare}\\ {\rm sottolineare}\\ \end{cases} \quad {\rm se} \quad \lim_{x \rr \ip} \frac{f(x)}{x}= \begin{cases} \pm \infty\\ m ~~~~({\rm ~finito~e~diverso~da~} 0)\\ 0\\ \end{cases} \]

• Analoghe definizioni si danno per \(x \rr \im\).

• Solo nel caso in cui una funzione ha crescita lineare, è possibile che ammetta asintoto obliquo

Esempio 9: Crescita di una funzione all'infinito

Per esempio, con \(x \rr \ip\)

• Crescita sopralineare:\(~~~\) esponenziali \(a^x\) e le potenze \(x^a\) con \(a > 1\).

• Crescita sottolineare:\(~~~\) logaritmi \(\log_a x\) e potenze \(x^a\) con \(0 < a < 1\).

Esempio 10: Crescita di una funzione all'infinito

La funzione

\[ f(x) = 2\:x + e^x + e^{\frac{1}{x}} \]

• per \(x \rr \ip\) è asintotica a \(e^x\); pertanto tende a \(\ip\) con crescita sopralineare;

• per \(x \rr \im\) è asintotica a \(2\:x\); pertanto tende a \(\im\) linearmente

• poiché

  \[ \lim_{x \rr \im}[f(x) - 2\:x] = 1 \]

  la funzione ha asintoto obliquo

  \[ y = 2\:x + 1 {\rm ~~per~~} x \rr \im \]

Esempio 11: Grafici

\[ f(x) = e^x, ~~~ \lim_{x \to \ip} e^x = \ip, ~~~ \lim_{x \to \im} e^x = 0, ~~~ \lim_{x \to 0} e^x = 1 \]

\[ f(x) = e^{\frac{1}{x}}, ~~~ \lim_{x \to \ip} e^{\frac{1}{x}} = 1, ~~~ \lim_{x \to \im} e^{\frac{1}{x}} = 1, ~~~ \lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0, ~~~ \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = \ip \]

Esempio 12: Grafico reale

\[ f(x) = 2\:x + e^x + e^{\frac{1}{x}},~~~~ f(x) \thicksim e^x {\rm ~~per~~} x \to \ip,~~~~ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \ip \]

\[ f(x) = 2\:x + e^x + e^{\frac{1}{x}},~~~~ f(x) \thicksim 2\;x {\rm ~~per~~} x \to \im,~~~~ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \]

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1. non ha importanza a che cosa tenda \(x\) ↩

2. non ha importanza a che cosa tenda \(x\) ↩