Massimi, minimi, estremi superiori e inferiori

Esercizi · Numeri e logica · con le soluzioni svolte · PDF

Esercizio 1

Determinare se l'insieme

\[ A=[0,\sqrt{2}]\cap \Q \]

ammette massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore e, in caso affermativo, determinare tali elementi.

Soluzione

Il minimo di \(A\) è \(0\). \(A\) non ammette massimo, il suo estremo superiore è \(\sqrt{2}\).

Esercizio 2

Determinare se l'insieme

\[ A=[\sqrt{2},\sqrt{3}]\cap \Q \]

ammette massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore e, in caso affermativo, determinare tali elementi.

Soluzione

\(A\) non ammette né minimo né massimo. L'estremo inferiore vale \(\sqrt{2}\), l'estremo superiore vale \(\sqrt{3}\).

Esercizio 3

Determinare se l'insieme

\[ A=[0,\sqrt{2}]\cap(\R- \Q) \]

ammette massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore e, in caso affermativo, determinare tali elementi.

Soluzione

\(A\) non ammette minimo, l'estremo inferiore vale \(0\). Il massimo di \(A\) vale \(\sqrt{2}\).

Esercizio 4

In ciascuno dei seguenti casi dire se l'insieme

\[ A=(-\infty,\sqrt{2}]\cap \Q \]

ammette massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore e, in caso affermativo, determinare tali elementi.

Soluzione

\(A\) non è inferiormente limitato quindi non ha estremo inferiore in \(\R\). \(A\) non ammette massimo, l'estremo superiore vale \(\sqrt{2}\).

Esercizio 5

Dire se il seguente insieme \(A \subset\R\) ammette massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore e se è limitato:

\[ A=\left\{\frac{2n+1}{n}: \ n\in \N \setminus \{0\} \right\} \]

Soluzione

Da \((2n+1)/n=2+(1/n)\) abbiamo che il massimo di \(A\) si ottiene per \(n=1\) e vale \(3\). \(A\) non ammette minimo, l'estremo inferiore vale \(2\). In particolare \(A\) è limitato.

Esercizio 6

Dire se il seguente insieme \(A \subset\R\) ammette massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore e se è limitato:

\[ A=\left\{\frac{n-1}{n}: \ n\in \N \setminus \{0\} \right\} \]

Soluzione

Da \((n-1)/n=1-(1/n)\) abbiamo che il minimo di \(A\) si ottiene per \(n=1\) e vale \(0\). \(A\) non ammette massimo, l'estremo superiore vale \(1\). In particolare \(A\) è limitato.

Esercizio 7

Dire se il seguente insieme \(A \subset\R\) ammette massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore e se è limitato:

\[ A=\left\{\frac{3n^{2}+1}{n^{2}}: \ n\in \N \setminus \{0\} \right\} \]

Soluzione

Da \((3n^{2}+1)/n^{2}=3+(1/n^{2})\) abbiamo che il massimo di \(A\) si ottiene per \(n=1\) e vale \(4\). \(A\) non ammette minimo, l'estremo inferiore vale \(3\). In particolare \(A\) è limitato.

Esercizio 8

Dire se il seguente insieme \(A \subset\R\) ammette massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore e se è limitato:

\[ A=\left\{\frac{1}{n^{2}+1}: \ n\in \N \setminus \{0\} \right\} \]

Soluzione

Il valore massimo di \(A\) si ottiene per \(n=1\) e vale \(1/2\). \(A\) non ammette minimo, l'estremo inferiore vale \(0\). In particolare \(A\) è limitato.

Esercizio 9

Sia

\[ A=\left\{\left|\frac{3x}{x+1}\right| :\ -\frac{1}{2}<x\leq2\right\}. \]

Scegliere le affermazioni corrette tra le seguenti:

\[ (a)~~ \sup A\notin A ~~~~~~~~~~~~~~(b)~~ \inf A=\min A=2 \]

\[ (c)~~ \max A=3 ~~~~~~~~~~~~~~(d)~~ {\rm ~~nessuna~delle~altre~risposte~\`e~corretta} \]

Soluzione

\(A\) è l'insieme dei valori di \(|f(x)|\) nell'intervallo \((-1/2,2]\) con \(f(x)=\frac{3x}{x+1}\). Da

\[ \frac{3x}{x+1}=3-\frac{3}{x+1} \]

abbiamo che la funzione \(f\) è strettamente crescente nell'intervallo indicato \((-1/2,2]\), negativa su \((-1/2,0)\), nulla per \(x=0\), positiva su \((0,2]\). Ne segue che

\[ |f(x)|=\left|\frac{3x}{x+1}\right| \]

è strettamente decrescente in \((-1/2,0]\), dove assume tutti i valori in \([0,3)\), strettamente crescente su \([0,2]\) dove assume tutti i valori in \([0,2]\). Il valore minimo è quindi assunto per \(x=0\) e vale \(0\). L'estremo superiore vale \(3\), non c'è valore massimo. La risposta corretta è la (a).

Esercizio 10

Per \(I=[1/3,+\infty)\) si consideri la funzione

\[ f:I\rightarrow\R,\ f(x)=\exp \left(\left|\frac{2x-1}{x}\right|\right). \]

Determinare, tra i seguenti intervalli, l'insieme \(J=f(I)\) dei valori assunti da \(f\).

\[ (a)~~ [e,e^{2}) ~~~~~~~~~~~~~~(b)~~ (e^{-2},e] ~~~~~~~~~~~~~~(c)~~ [1,e^{2}) \]

\[ ~~~~~~~~~~~~~~(d)~~ (e,+\infty) ~~~~~~~~~~~~~~(e)~~ (0,e^{2}) ~~~~~~~~~~~~~~(f)~~ {\rm ~~un~altro~intervallo} \]

Soluzione

La funzione \(f\) ha lo stesso andamento di monotonìa di

\[ |g(x)|=\left|\frac{2x-1}{x}\right| \]

con

\[ g(x)=\frac{2x-1}{x}=2-\frac{1}{x}. \]

Soluzione

La funzione \(g\) è strettamente crescente nell'intervallo \(I=[1/3,+\infty)\), negativa su \([1/3,1/2)\), nulla per \(x=1/2\), positiva su \((1/2,+\infty)\). Ne segue che \(|g(x)|\) è strettamente decrescente in \([1/3,1/2]\), dove assume tutti i valori in \([0,1]\), strettamente crescente su \([1/2,+\infty)\) dove assume tutti i valori in \([0,2)\). L'insieme dei valori \(|g|(I)\) è \([0,2)\), quindi per \(f(x)=e^{|g(x)|}\) si ha

\[ f(I)=[1,e^{2}). \]

La risposta corretta è (c).

Possiamo precisare dicendo che \(f\) è strettamente decrescente in \([1/3,1/2]\), dove assume tutti i valori in \([1,e]\), strettamente crescente su \([1/2,+\infty)\) dove assume tutti i valori in \([1,e^{2})\).

Esercizio 11

Sia \(A=A_{+}\cup A_{-}\) con

\[ A_{+}=\left\{x+\frac{2}{x}:x>0\right\},~~~\ A_{-}=\left\{x+\frac{2}{x}:x<0\right\}. \]

Scegliere le affermazioni corrette tra le seguenti:

\[ (a)~~ \sup A=+\infty ~~~~~~~~~~~~~~(b)~~ \inf A_{+}=2\sqrt{2} ~~~~~~~~~~~~~~(c)~~ A_{+} {\rm~non~ha~minimo} \]

\[ ~~~~~~~~~~~~~~(d)~~ A_{-} {\rm~non~ha~massimo} ~~~~~~~~~~~~~~(e)~~ {\rm nessuna~delle~altre~risposte~\`e~ corretta} \]

Soluzione

In maniera evidente \(A_{+}\) non è superiormente limitato quindi la affermazione (a) è corretta (e l'affermazione (e) è errata). Per \(x\neq0\), consideriamo l'equazione

\[ x+\frac{2}{x}=y, \]

\[ x^{2}-yx+2=0. \]

Ci sono soluzioni \(x\in\R\) se e solo se \(y\in(-\infty,-2\sqrt{2}]\cup[2\sqrt{2},+\infty)\). Inoltre per ogni \(y\in(-\infty,-2\sqrt{2}]\) le soluzioni \(x\) sono negative mentre per ogni \(y\in[2\sqrt{2},+\infty)\) le soluzioni \(x\) sono positive. Questo significa

\[ A_{+}=[2\sqrt{2},+\infty),\ A_{-}=(-\infty,-2\sqrt{2}]. \]

Dunque (b) è vera, (c) falsa, (d) falsa.