Successioni e limiti di successioni

Parte 3 · Limiti di successioni · Capitolo 1 · dalle dispense di Fabio Furini · PDF del capitolo

1. Definizione di successione e proprietà

• Consideriamo l'insieme \(\mathbb{N}\) degli interi non negativi ordinato secondo l'ordine naturale

  \[ \mathbb{N}: 0,1,2,3,\dots,n,\dots \]

Definizione 1: di successione

Una successione è una relazione che associa a ogni numero naturale \(n \in \mathbb{N}\) (o da un certo numero naturale \(n_0\) in poi) un numero reale \(a_n \in \R\).

• Una successione è quindi una funzione:

  \[ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \]
  \[ f: n \mapsto a_n \]

  o eventualmente

  \[ f: \{n \in \mathbb{N}: n \ge n_0\} \rightarrow \mathbb{R} \]

  per un certo intero \(n_0 \in \N\) fissato.

  La successione associa alla variabile di input \(n\) il valore in output \(a_n\).

• Il fatto che il dominio della funzione \(f\) sia l'insieme dei naturali, rende possibile scrivere la successione enumerando i suoi valori, nell'ordine in cui essi si succedono al crescere di \(n\):

  \[ a_0,~~a_1,~~a_2,~~ \dots,~~ a_n,~~ \dots \]

• I puntini di sospensione dopo \(a_n\) indicano che non stiamo considerando soltanto i primi \(n\) termini della successione (cioè un insieme finito di numeri), ma l'intera successione di infiniti termini (cioè un insieme infinito di numeri).

Esempio 1: Successioni

\[\begin{align*} & n \in \N & n &\mapsto n^2 && 0,1,4,9,16, \dots \\[2ex] & n \in \N & n &\mapsto (-1)^n && 1,-1,1,-1,1, \dots \\[2ex] & n \in \N & n &\mapsto a \in \R && a,a,a,a,a, \dots \end{align*}\]

L'ultima successione si chiama successione costante.

Esempio 2: Successioni

\[\begin{align*} & n\in \N,n \ge 1 & n &\mapsto \frac{1}{n} && 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}, \frac{1}{4},\frac{1}{5}, \dots \\[2ex] & n\in \N,n \ge 2 & n &\mapsto \frac{n+1}{n-1} && 3,2,\frac{5}{3},\frac{6}{4},\frac{7}{5}, \dots \end{align*}\]

Possiamo rappresentare graficamente le successioni con i punti del piano cartesiano di coordinate \((n, a_n)\).

Esempio 3: Grafico di successione

Il grafico della successione \(n \mapsto n^2\) con \(n\in\{0,1,2,3,4\}\) è:

Per indicare una successione useremo la notazione:

\[ \{a_n\} {\rm~~~~oppure~~~~} n \mapsto a_n \]

eventualmente precisando l'insieme in cui varia la variabile di input \(n\) (tutto l'insieme \(\mathbb{N}\) o da un certo valore \(n_0 \in \N\) in poi).

Una successione \(\{a_n\}\) è limitata se esistono due numeri \(m \in \R\) e \(M \in \R\) tali che:

\[ m \le a_n \le M, ~~~\forall n \in \N \]

È limitata inferiormente se esiste \(m\). È limitata superiormente se esiste \(M\).

Esempio 4: Successioni limitate

• la successione \(\left\{ (-1)^n \right\}\) è limitata

• la successione \(\left\{ n^2 \right\}\) è limitata solo inferiormente

• la successione \(\left\{( -2)^n \right\}\) non è limitata (né inferiormente, né superiormente).

Definizione 2: di proprietà posseduta definitivamente

Diciamo che una successione \(\{a_n\}\) possiede (o acquista) definitivamente una certa proprietà se esiste \(\tilde{n} \in \mathbb{N}\) tale che \(a_n\) soddisfa quella proprietà per ogni \(n \ge \tilde{n}\).

Esempio 5: Proprietà possedute definitivamente

Consideriamo la successione \(\left\{ n - 2 \: \sqrt{n} \right\}\). Il grafico della successione con \(n\in\{0,1,2,\dots,10\}\) è:

Questa successione è definitivamente positiva. Con \(n=4\) abbiamo \(a_n=0\), quindi prendendo \(\tilde{n}=5\), si ha \(a_n > 0\) con \(n \ge \tilde{n}\).

Esempio 6: Proprietà possedute definitivamente

Consideriamo ora la successione \(\left \{ \frac{1}{n} \right \}\). Il grafico della successione con \(n\in\{1,2,\dots,4\}\) è:

Questa successione è definitivamente minore di \(10^{-100}\). Con \(n=10^{100}\) abbiamo \(a_n =10^{-100}\), quindi prendendo ad esempio \(\tilde{n} = 10^{100} +1\) si ha \(a_n < 10^{-100}\) con \(n \ge \tilde{n}\).

1.1 Successioni convergenti e definizione di limite di successioni

Definizione 3: di successione convergente

Una successione \(\{ a_n\}\) si dice convergente se esiste un numero \(\ell \in \mathbb{R}\) tale che:

\[\begin{equation} |a_n - \ell| < \varepsilon, \qquad {\rm definitivamente} \label{limite_successione} \end{equation}\]

per ogni \(\varepsilon > 0\).

Una successione \(\{ a_n\}\) si dice quindi convergente se per ogni \(\varepsilon > 0\) (piccolo a piacere) esiste un numero \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che:

\[ |a_n - \ell| < \varepsilon {\rm~~~~per~ogni~~~~} n \ge n(\varepsilon) \]

Il numero \(n(\varepsilon)\) dipende (in generale) dal valore di \(\varepsilon\). Se la successione \(\{a_n\}\) è convergente, ad essa è quindi associato il numero \(\ell \in \R\).

Definizione 4: di limite della successione

Il numero \(\ell \in \R\) che compare nella disuguaglianza \(\eqref{limite_successione}\) si chiama limite della successione \(\{a_n\}\), e si scrive della successione che:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = \ell {\rm ~~~~~~o,~equivalentemente~~~~~~} a_n \rightarrow \ell {\rm~~~per~~~} n \rightarrow +\infty \]

• si legge, rispettivamente:

  • **** il limite di \(a_n\), per \(n\) che tende all'infinito, è \(\ell\)

  • **** \(a_n\) tende a \(\ell\) per \(n\) che tende all'infinito

La disuguaglianza \(\eqref{limite_successione}\) corrisponde alle seguenti due:

\[\begin{equation} \ell - \varepsilon ~<~ a_n ~<~ \ell + \varepsilon \label{limite_successione_bi} \end{equation}\]

• Rappresentando graficamente i punti di una successione abbiamo:

  

  La condizione di convergenza significa che, fissata una striscia orizzontale “stretta a piacere”:

  \[ [\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon] \]

  da un certo valore di \(n\) in poi, chiamato \(n(\varepsilon)\), i punti \(a_n\) della successione non escono più da questa striscia. Nel grafico di prima, fissata la larghezza della striscia, abbiamo i valori \(a_n\) all'interno della striscia per \(n \ge n(\varepsilon)\).

Teorema 1: di unicità del limite della successione

Se una successione \(\{a_n\}\) converge al limite \(\ell \in \R\) allora tale limite è unico.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che esistano due limiti differenti, \(\ell_1\) e \(\ell_2\), associati alla medesima successione \(\{a_n\}\). Allora risulterebbe, definitivamente, per ogni \(\varepsilon >0\):

\[\begin{equation} |\ell_1 - \ell_2| ~~=~~ |\ell_1 - a_n + a_n - \ell_2| ~~\le~~ \underbrace{|\ell_1 - a_n|}_{=|a_n -\ell_1|<\varepsilon} + \underbrace{|a_n -\ell_2|}_{<\varepsilon} ~~<~~ 2\: \varepsilon \label{MMM} \end{equation}\]

Abbiamo utilizzato la diseguaglianza triangolare. La \(\eqref{MMM}\), potendo scegliere \(\varepsilon >0\) piccolo in maniera arbitraria, può essere soddisfatta se e solo se:

\[ \ell_1 = \ell_2 \]

Quindi non possono esistere due valori differenti \(\ell_1\) e \(\ell_2\) e di conseguenza il limite (se esiste) è unico. □

Esempio 7: Verifica del limite di successione

Il grafico della successione \(n \mapsto \frac{(-1)^n}{n}\), ad esempio a partire da \(n=9\), è compreso nella striscia orizzontale:

\[ \left[-\frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right] \]

data da \(\ell=0\) e \(\varepsilon = \frac{1}{8}\). Con \(n=8\) abbiamo \(a_n=\frac{1}{8}\), con \(n=9\) abbiamo \(a_n=-\frac{1}{9}\), quindi

\[ |a_n | < \frac{1}{8} {\rm~~~~per~ogni~~~~} n \ge 9 \]

Per dimostrare che:

\[ a_n \rr 0 {\rm ~~~per~~~} n \rr \ip \]

dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow |a_{n}|< \varepsilon \]

La diseguaglianza equivale a

\[ \left| \frac{(-1)^n}{n} \right| < \varepsilon {\rm ~~~che~è~soddisfatta~per~~} n> \frac{1}{\varepsilon} \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basterà scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) >\frac{1}{\varepsilon} \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Le successioni convergenti sono (definitivamente) limitate.

Esempio 8: Verifica del limite di successione

Consideriamo la successione:

\[ n \mapsto \frac{n+1}{n-1} \qquad \left(\frac{n+1}{n-1} = \frac{n-1+1+1}{n-1}=1 +\frac{2}{n-1} \right) \]

Questo è il grafico della successione con \(n\in\{2,3,\dots,20\}\):

Vediamo che i valori \(a_n\) si avvicinano a \(1\), quindi cerchiamo di dimostrare, usando la definizione di limite, che:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n+1}{n-1} =1 \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che:

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow 1 -\varepsilon < \frac{n+1}{n-1} < 1 + \varepsilon \]

La disuguaglianza di sinistra è sempre soddisfatta (il numeratore della frazione è sempre più grande del denominatore). Prendiamo quella di destra:

\[ \frac{n+1}{n-1} - 1 < \varepsilon, \qquad \frac{ n+1 - (n-1) }{n-1} < \varepsilon, \qquad \frac{ 2}{n-1} < \varepsilon, \qquad n-1 > \frac{2}{\varepsilon} \]

\[ {\rm ~~quindi~è~soddisfatta~se~~~}\qquad n > \frac{2 + \varepsilon}{\varepsilon} \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basterà scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \frac{2 + \varepsilon}{\varepsilon} \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Esempio 9: Verifica del limite di successione

Per l'esempio precedente, abbiamo dimostrato che il limite vale \(1\). Verifichiamo ora cosa succede fissando \(\varepsilon=\frac{1}{2}\). In questo caso \(n\left(\frac{1}{2}\right)> \frac{2+1/2}{1/2}=5\).

Fissando invece \(\varepsilon=\frac{1}{4}\), in questo caso abbiamo \(n\left(\frac{1}{4}\right)> \frac{2+1/4}{1/4}=9\).

Esempio 10: Verifica del limite di successione

Consideriamo la successione:

\[ n \mapsto 2^{\frac{1}{n}} \]

Questo è il grafico della successione con \(n\in\{1,2,\dots,20\}\):

Vediamo che i valori \(a_n\) si avvicinano a \(1\), quindi cerchiamo di dimostrare, usando la definizione di limite, che:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} 2^{\frac{1}{n}} =1 \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che:

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow 1 -\varepsilon < 2^{\frac{1}{n}} < 1 + \varepsilon. \]

La disuguaglianza di sinistra è sempre soddisfatta (2 elevato a un numero razionale positivo), mentre quella di destra, prendendo il logaritmo in base \(2\), otteniamo:

\[ \frac{1}{n} < \log_2 (1 + \varepsilon) \]

Quindi è soddisfatta se:

\[ n > \frac{1}{\log_2 (1 + \varepsilon)} \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basta scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \frac{1}{\log_2 (1 + \varepsilon)} \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Esempio 11: Limite di successioni

Consideriamo la successione:

\[ n \mapsto \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right). \]

Questo è il grafico della successione con \(n\in\{1,2,\dots,50\}\):

Vediamo che i valori \(a_n\) si avvicinano a \(0\), quindi cerchiamo di dimostrare, usando la definizione di limite, che :

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \log \left(1 +\frac{1}{n} \right) =0 \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che:

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow -\varepsilon < \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < \varepsilon \]

La disuguaglianza di sinistra è sempre soddisfatta (il logaritmo in base \(e\) di un numero più grande di 1), mentre quella di destra, elevando a potenza, otteniamo:

\[ \frac{1}{n}+1 < e^{\varepsilon} \qquad {\rm ~~quindi~è~soddisfatta~se~~~~~} n > \frac{1}{e^{\varepsilon}-1} \qquad (e^{\varepsilon}-1 > 0 {\rm~~con~~} \varepsilon>0) \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basta scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \frac{1}{e^{\varepsilon}-1} \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Prova tu — il grafico interattivo qui sotto ti fa vedere quello che hai appena letto: muovi i cursori.

1.2 Successioni divergenti e successioni irregolari

Definizione 5: di successione divergente a \(+\infty\)

Una successione \(\{ a_n\}\) si dice divergente a \(+\infty\) se per ogni \(M>0\) esiste un numero \(n(M) \in \N\) tale che:

\[ a_n > M {\rm~~per~ogni~~} n \ge n(M) \]

Definizione 6: di successione divergente a \(-\infty\)

Una successione \(\{ a_n\}\) si dice divergente a \(-\infty\) se per ogni \(M>0\) esiste un numero \(n(M) \in \N\) tale che:

\[ a_n < -M {\rm~~per~ogni~~} n \ge n(M) \]

Il numero \(n(M)\) dipende (in generale) dal valore di \(M\).

• Diremo nei due casi, rispettivamente, che \(+\infty\) e \(-\infty\) sono i limiti della successione e scriveremo, rispettivamente:

  \[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = +\infty {\rm ~~~~~oppure~~~~~} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = -\infty \]

  I valori di una successione divergente a \(\ip\) superano, definitivamente, qualunque numero reale fissato. I valori di una successione divergente a \(\im\) scendono al di sotto, definitivamente, di qualunque numero reale fissato.

I simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non sono numeri.

• Se rappresentiamo i numeri reali sulla retta euclidea, ogni numero corrisponde a un punto e ogni punto a un numero.

• Con i simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) conveniamo di indicare due “punti”:

  1. \(+\infty\) sta alla destra di ogni punto di \(\mathbb{R}\)

  2. \(-\infty\) sta alla sinistra di ogni punto di \(\mathbb{R}\)

  a questi due punti non corrisponde però alcun numero.

• Sui simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) le operazioni di somma e prodotto con le proprietà indicate in \(R_1\) e \(R_2\) non sono definite, anche se potremo fare “parzialmente” queste operazioni (come vedremo in seguito).

Definizione 7: dell'insieme \(\mathbb{R}^*\)

L'insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) con l'aggiunta dei due elementi \(+\infty\) e \(-\infty\) sarà indicato:

\[ \mathbb{R}^* =\mathbb{R} \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\} \]

• Possiamo rappresentare “visivamente” l'insieme \(\mathbb{R}^*\) mettendo in corrispondenza biunivoca i punti della retta con quelli di una semicirconferenza (proiettandoli dal centro della semicirconferenza sulla retta \(\mathbb{R}\)):

• Ai punti \(A\) e \(B\) non corrisponde su \(\mathbb{R}\) alcun punto; diremo che \(-\infty\) è il “corrispondente” del punto \(A\) e \(+\infty\) il “corrispondente” di \(B\).

• L'operazione di limite risulta completamente significativa se ambientata in \(\mathbb{R}^*\) invece che in \(\mathbb{R}\), cioè il limite di una successione può essere un numero reale \(\ell\) oppure \(+\infty\) oppure \(-\infty\).

Le successioni il cui limite è un numero reale sono convergenti, quelle il cui limite è \(+\infty\) oppure \(-\infty\) sono divergenti.

Esempio 12: Successioni convergenti e divergenti

• la successione canonica \(\{ n \}\) è divergente a \(+\infty\);

• la successione \(\{ 2^n \}\) è divergente a \(+\infty\);

• la successione \(\{ -2^n \}\) è divergente a \(-\infty\);

• la successione \(\{ 2^{\frac{1}{n}} \}\) è convergente a \(1\).

Osservazione 1

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{\alpha} = \begin{cases} +\infty & {\rm se~} \alpha >0\\ 1 & {\rm se~} \alpha = 0\\ 0 & {\rm se~} \alpha < 0 \end{cases} \]

Dimostrazione

Se \(\alpha>0\), dobbiamo dimostrare che la successione diverge a \(\ip\). Dobbiamo quindi verificare che per ogni \(M>0\) esiste \(n(M) \in \N\) tale che

\[ n>n(M)\Rightarrow a_{n}>M \]

La disuguaglianza

\[ n^{\alpha}>M {\rm ~~~è~soddisfatta~per~~} n>{M^{\frac{1}{\alpha}}} \]

Fissato \(M > 0\), quindi basterà scegliere il primo intero

\[ n(M) > {M^{\frac{1}{\alpha}}} \]

per soddisfare la condizione richiesta di divergenza.

Quindi non esiste nessun \(M>0\) tale per cui \(n^{\alpha} \le M\) con \(n \in \N\) e la successione non è limitata. Quindi \(n^{\alpha} \rr \ip\) per \(n \rr \ip\).

Se \(\alpha<0\), dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow -\varepsilon < n^{\alpha} < \varepsilon \]

La disuguaglianza di sinistra è sempre soddisfatta. La disuguaglianza di destra, dato che \(n^{\alpha}=\frac{1}{n^{|\alpha|}}\), otteniamo

\[ \frac{1}{n^{|\alpha|}} < \varepsilon \]

che è soddisfatta se

\[ n^{|\alpha|} > \frac{1}{\varepsilon} {\rm ~~~ossia~per~~~} n > \frac{1}{\varepsilon^{1/|\alpha|}} \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basterà scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \frac{1}{\varepsilon^{1/|\alpha|}} \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite. □

• Infine osserviamo che ci sono successioni che non sono né convergenti né divergenti

Definizione 8: di successione irregolare o indeterminata

Una successione che non è né convergente né divergente si dice irregolare o indeterminata.

Esempio 13: Successioni irregolari

• la successione \(\{ (-1)^n \}\) non è né convergente né divergente (ma è limitata)

• la successione \(\{ (-2)^n \}\) non è né convergente né divergente (e nemmeno limitata).

• Per le successioni irregolari, l'operazione di limite non è definita, ovvero il loro limite non esiste.

Riassumendo, l'operazione di calcolare il limite consente di rispondere in forma rigorosa alla domanda: come si comportano i numeri \(a_n\) quando \(n\) diventa sempre più grande?

2. Insiemi non limitati e loro estremi superiori/inferiori

• È comodo adottare la convenzione introdotta per i limiti anche per il \(\sup\) e per l'\(\inf\), estendendo la definizione di queste quantità nel modo seguente

Definizione 9: di estremo superiore e inferiore \(\sup\) e \(\inf\) (insiemi non limitati)

Se un insieme \(E \subseteq \mathbb{R}\) non è limitato superiormente (inferiormente) diremo che

\[ \sup E = + \infty ~~~(\inf E = - \infty) \]

• In questo modo la proprietà \(R_4\) dei numeri reali può essere enunciata così:

  • \(R_4 \rightarrow\) ogni insieme \(E \subseteq \mathbb{R}\) non vuoto è dotato di estremo superiore e inferiore; \(\sup E\) (\(\inf E\)) è un numero se \(E\) è limitato superiormente (inferiormente) altrimenti è \(+\infty\) (\(-\infty\)).

3. Successioni infinitesime e infinite

Definizione 10: di successione infinitesima

Una successione \(\{a_n\}\) tendente a zero si dice infinitesima

Esempio 14: Successioni infinitesime

• la successione \(\left\{ \frac{1}{n} \right\}\) è infinitesima

• la successione \(\left\{ \frac{1}{n^2} \right\}\) è infinitesima

• Il concetto di infinitesimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale anche per avere un'immagine intuitiva corretta ed efficace dei concetti del calcolo infinitesimale.

“infinitesimo” non è un “numero infinitamente piccolo” (concetto privo di senso) ma una quantità variabile (successione o, come vedremo, funzione), che diviene indefinitamente piccola.

Definizione 11: di successione infinita

Una successione \(\{a_n\}\) tendente a \(\pm \infty\) si dice infinita

Esempio 15: Successioni infinite

• la successione \(\left\{ n^2 \right\}\) è infinita

• la successione \(\left\{ n! \right\}\) è infinita

• Talvolta è possibile precisare se una successione convergente si avvicina al suo limite per eccesso o per difetto

Definizione 12: di limite per eccesso

Si dice che la successione \(\{a_n\}\) tende a \(\ell \in \mathbb{R}\) per eccesso e si scrive

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = \ell^+ \]

se per ogni \(\varepsilon > 0\) si ha che

\[ 0 \le a_n - \ell < \varepsilon, {\rm ~~~~definitivamente}. \]

Definizione 13: di limite per difetto

Si dice che la successione \(\{a_n\}\) tende a \(\ell \in \mathbb{R}\) per difetto e si scrive

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = \ell^- \]

se per ogni \(\varepsilon > 0\) si ha che

\[ 0 \le \ell - a_n < \varepsilon, {\rm ~~~~definitivamente}. \]

• Dire che \(a_n \rightarrow \ell^+\) per \(n \rr \ip\) significa affermare che \(a_n \rightarrow \ell\) e inoltre \(a_n \ge \ell\) definitivamente; dunque \(a_n\) si avvicina ad \(\ell\) da sopra, ossia approssima \(\ell\) per eccesso.

• Dire che \(a_n \rightarrow \ell^-\) per \(n \rr \ip\) significa affermare che \(a_n \rightarrow \ell\) e inoltre \(a_n \le \ell\) definitivamente; dunque \(a_n\) si avvicina ad \(\ell\) da sotto, ossia approssima \(\ell\) per difetto.

Esempio 16: Successione con limite per eccesso

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} = 0^+ \]

Esempio 17: Successione con limite per difetto

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{n+1} = 1^- \qquad \left( \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1}= 1 - \frac{1}{n+1} \right) \]

Esempio 18: Successione con limite ma né per difetto né per eccesso

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0 \]

In questo caso non si può affermare né che \(a_n \rightarrow 0^+\) né \(a_n \rightarrow 0^-\) per \(n \rr \ip\).

4. Successioni monotone

Definizione 14: di successioni monotone

Una successione \(\{a_n\}\) si dice monotona crescente se:

\[ ~a_n \le a_{n+1},~ \forall n \]

Una successione \(\{a_n\}\) si dice monotona strettamente crescente se:

\[ ~a_n < a_{n+1},~ \forall n \]

Una successione \(\{a_n\}\) si dice monotona decrescente se:

\[ ~a_n \ge a_{n+1},~ \forall n \]

Una successione \(\{a_n\}\) si dice monotona strettamente decrescente se:

\[ ~a_n > a_{n+1},~ \forall n \]

Esempio 19: Successioni monotone crescenti/decrescenti

• La successione \(\{ n^2\}\) è monotona strettamente crescente

• La successione \(\left\{ \frac{1}{n} \right\}\) è monotona strettamente decrescente

• La successione \(\left\{ (-1)^n \right\}\) non è monotona

• ogni successione costante è monotona (crescente o decrescente, non strettamente)

• Riguardo all'operazione di limite, queste successioni hanno una importanza particolare; infatti esse non sono mai irregolari, ma sono convergenti oppure divergenti a seconda che siano limitate oppure no.

Teorema 2: di monotonia delle successioni

• Sia \(\{a_n\}\) una successione monotona crescente e superiormente limitata. Allora \(\{a_n\}\) è convergente, e il suo limite è uguale a

  \[ \sup \{a_n: n \in \N\}. \]

• Sia \(\{a_n\}\) una successione monotona decrescente e inferiormente limitata. Allora \(\{a_n\}\) è convergente, e il suo limite è uguale a

  \[ \inf \{a_n: n \in \N\}. \]

Dimostrazione

Consideriamo il caso delle successioni monotone crescenti e superiormente limitate.

Poiché la successione è limitata superiormente, l'insieme dei valori assunti dalla successione \(\{a_n : n \in \N\}\) è limitato superiormente.

Per la proprietà dell'estremo superiore di cui gode \(\R\), esiste quindi l'estremo superiore a valore finito, che denotiamo \(\ell\):

\[ \ell = \sup \{ a_n : n \in \N \} {\rm ~~~~e~~~~} \ell \in \R. \]

Occorre ora dimostrare che

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n= \ell \]

e quindi che per ogni \(\varepsilon > 0\) si ha

\[ \ell -\varepsilon < a_n < \ell +\varepsilon, ~~~{\rm definitivamente}. \]

La seconda disuguaglianza è ovvia. Per ogni \(n \in \N\) abbiamo

\[ a_n \le \ell ~~~~({\rm e~quindi~~} a_n < \ell + \varepsilon) \]

dato che \(\ell\) è l'estremo superiore di \(\{a_n : n \in \N\}\) e un maggiorante.

Per definizione di estremo superiore, \(\ell\) è il minimo dei maggioranti dell'insieme \(\{ a_n: n \in \N\}\). Perciò, essendo

\[ \ell - \varepsilon < \ell, \]

certamente \(\ell - \varepsilon\) non è un maggiorante dell'insieme \(\{ a_n: n \in \N\}\). Questo significa che esiste un \(n(\varepsilon) \in \N\) per cui

\[ a_{n(\varepsilon)} > \ell - \varepsilon. \]

D'altro canto la successione è monotona crescente, perciò per ogni \(n \ge n(\varepsilon)\) risulta \(a_n \ge a_{n(\varepsilon)}\). Abbiamo quindi provato che

\[ a_n \ge a_{n(\varepsilon)} > \ell - \varepsilon {\rm ~~per~ogni~~} n \ge n(\varepsilon) \]

Abbiamo di conseguenza la tesi:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = \ell \]

In maniera analoga si dimostra il caso delle successioni monotone decrescenti e inferiormente limitate. □

• L'idea della prova è resa dalla seguente figura:

  

• Per esprimere anche simbolicamente che il limite è il \(\sup\) (o l'\(\inf\)) di una successione crescente (o decrescente) si usa la notazione

  \[ a_n \uparrow \ell {\rm ~~~oppure~~~} a_n \downarrow \ell \]

  Questo in particolare implica che \(a_n \rightarrow \ell^-\) (rispettivamente, \(\ell^+\) ), ma contiene una ulteriore informazione: la monotonia della successione.

• Questo teorema è una conseguenza dell'assioma di continuità \(R_4\) dei numeri reali e pertanto vale se l'ambiente che consideriamo è \(\R\). Ad esempio non è vero che una successione crescente e limitata di numeri razionali ammette sempre limite razionale, cioè in \(\Q\).

  Esempio 20: Successione crescente e limitata di \(\Q\)

  Sia \(\{a_n\}\) la successione così definita:

  \[ a_0 = 0, a_1 = 0,1, a_2= 0,1011, a_3= 0,10110111, a_4= 0,1011011101111 \dots \]

  Al passo \(n\) si aggiunge al numero decimale ottenuto al passo precedente una cifra zero seguita da \(n\) cifre uguali a \(1\). La successione \(\{a_n\}\) è evidentemente crescente, e superiormente limitata (ad esempio, \(a_n \le 1\)).

  • In \(\R\) la successione converge al numero \(\sup \{a_n : n \in \N\}\), che dopo la virgola presenta un allineamento decimale illimitato e non periodico di cifre (una cifra 1, una cifra 0, due cifre 1, una cifra 0, tre cifre 1, una cifra 0, e così via all'infinito)

  • Quindi il limite della successione è un numero irrazionale. Quest'esempio mostra che nell'insieme \(\Q\) il teorema di monotonia è falso.

• Il teorema di monotonia delle successioni si può completare con il prossimo corollario, che considera successioni limitate o illimitate.

Corollario 1: del teorema di monotonia delle successioni

Sia \(\{a_n\}\) una successione monotona crescente. Allora esiste

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = \sup\{a_n: n \in \N\}. \]

Dimostrazione

Se \(\{a_n\}\) è superiormente limitata, l'enunciato è contenuto nel teorema Teorema 2 di monotonia delle successioni.

Se invece \(\{a_n\}\) è superiormente illimitata, questo significa che fissato \(M > 0\) esiste un \(n(M) \in \N\) tale che

\[ a_{n(M)} > M \]

D'altro canto la successione è crescente, perciò per ogni \(n \ge n(M)\) si ha

\[ a_n \ge a_{n(M)} > M \]

Abbiamo quindi provato che per ogni \(M>0\) abbiamo \(a_n > M\), definitivamente. Questo significa che \(a_n \rightarrow +\infty\) per \(n \rr \ip\). □

Riassumendo abbiamo:

• se \(\{a_n\}\) è superiormente limitata, allora converge (e il suo limite è uguale all'estremo superiore dei suoi valori, che in questo caso è un numero reale)

• se invece \(\{a_n\}\) è superiormente illimitata, allora \(a_n\) tende a \(+\infty\) (che in questo caso è pari all'estremo superiore dei suoi valori).

Una successione monotona, converge o diverge (non può essere irregolare).

5. Limiti delle progressioni geometriche

• Consideriamo la progressione geometrica di ragione \(a \in \R\):

  \[ 1,~~a,~~a^2,~~a^3,~~ \dots,~~ a^n,~~ \dots \]

  equivale alla successione \(\{a^n\}\):

  \[ n \mapsto a^n \]

• Se \(a > 1\), la successione è monotona crescente e illimitata superiormente.

• Se \(a = 1\), la successione è costante.

• Se \(0 < a < 1\), la successione è monotona decrescente e tende a zero.

• Se \(a\) è negativo, la successione non è monotona.

Osservazione 2

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a^n = \begin{cases} +\infty & {\rm se~} a >1\\ 1 & {\rm se~} a = 1\\ 0 & {\rm se~} |a| < 1\\ {\rm non~esiste~} & {\rm se~} a \le -1\\ \end{cases} \]

Dimostrazione

Se \(|a| <1\), dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow -\varepsilon<a_{n}<+\varepsilon \]

Quindi si deve verificare che

\[ n>n(\varepsilon)\Rightarrow -\varepsilon<|a|^n<\varepsilon \]

La prima diseguaglianza è sempre vera mentre la seconda è soddisfatta se

\[ n > \log_{|a|} \varepsilon \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basterà scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \log_{|a|} \varepsilon \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Se \(a > 1\), dobbiamo verificare che per ogni \(M>0\) esiste \(n(M) \in \N\) tale che

\[ n> n(M) \Rightarrow a_{n}>M \]

La disuguaglianza

\[ a^n>M {\rm ~~~è~soddisfatta~per~~} n>\log_a{M} \]

Fissato \(M > 0\), quindi basterà scegliere il primo intero

\[ n(M) > \log_a{M} \]

per soddisfare la condizione richiesta di divergenza. □

Esempio 21: Progressione geometrica infinitesima e monotona decrescente

Esempio 22: Progressione geometrica infinitesima (ma non monotona)

Esempio 23: Progressione geometrica divergente

Esempio 24: Progressione geometrica né convergente né divergente