Verifica di limiti di successioni

Esercizi · Limiti di successioni · con le soluzioni svolte · PDF

Esercizio 1

Utilizzando la definizione di limite, verificare che:

\[ \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{2n+5}=\frac{1}{2} \]

Soluzione

Abbiamo

\[ a_{n}=\frac{n}{2n+5} \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow \frac{1}{2}-\varepsilon<a_{n}<\frac{1}{2}+\varepsilon \]

Abbiamo

\[ a_{n}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{4n+10}, \]

quindi si deve verificare che

\[ n>n(\varepsilon)\Rightarrow -\varepsilon<-\frac{5}{4n+10}<\varepsilon \]

La seconda diseguaglianza è sempre vera mentre la prima equivale a

\[ 4n+10>\frac{5}{\varepsilon} {\rm ~~~quindi~è~soddisfatta~per~~} n>\frac{5}{4\varepsilon}-\frac{5}{2} \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basterà scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \frac{5}{4\varepsilon}-\frac{5}{2} \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Esercizio 2

Utilizzando la definizione di limite, verificare che:

\[ \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}=0 \]

Soluzione

Abbiamo

\[ a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}} \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow -\varepsilon<a_{n}< \varepsilon \]

La prima diseguaglianza è sempre vera mentre la seconda equivale a

\[ \sqrt{n+1}>\frac{1}{\varepsilon} {\rm ~~~quindi~è~soddisfatta~per~~} n>\frac{1}{\varepsilon^{2}}-1 \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basterà scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \frac{1}{\varepsilon^{2}}-1 \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Esercizio 3

Utilizzando la definizione di limite, verificare che:

\[ \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\log{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=0 \]

Soluzione

Abbiamo

\[ a_{n}=\log{\left(1+\frac{1}{n}\right)} \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow -\varepsilon<a_{n}< \varepsilon \]

La prima diseguaglianza è sempre vera mentre la seconda equivale a

\[ 1+\frac{1}{n}<e^{\varepsilon} {\rm ~~~quindi~è~soddisfatta~per~~} n>\frac{1}{e^{\varepsilon}-1} \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basterà scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \frac{1}{e^{\varepsilon}-1} \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Esercizio 4

Utilizzando la definizione di limite, verificare che:

\[ \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\sqrt{4+\frac{1}{n}}=2 \]

Soluzione

Abbiamo

\[ a_{n}=\sqrt{4+\frac{1}{n}} \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n(\varepsilon) \in \N\) tale che

\[ n>n(\varepsilon) \Rightarrow 2-\varepsilon<a_{n}<2+\varepsilon \]

La prima diseguaglianza è sempre vera dato che \(a_n > 2\) per ogni \(n\), mentre la seconda equivale a

\[ 4+\frac{1}{n}<4+\varepsilon^{2}+4\varepsilon {\rm ~~~quindi~è~soddisfatta~per~~} n>\frac{1}{\varepsilon^{2}+4\varepsilon} \]

Fissato \(\varepsilon > 0\), basterà scegliere il primo intero

\[ n(\varepsilon) > \frac{1}{\varepsilon^{2}+4\varepsilon} \]

per soddisfare la condizione richiesta dalla definizione di limite.

Esercizio 5

Utilizzando la definizione di limite, verificare che:

\[ \displaystyle \lim_{n\to+\infty}(n^{2}-1)=+\infty \]

Soluzione

Abbiamo

\[ a_{n}=n^{2}-1 \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(M>0\) esiste \(n(M) \in \N\) tale che

\[ n> n(M) \Rightarrow a_{n}>M \]

La disuguaglianza

\[ n^{2}-1>M {\rm ~~~è~soddisfatta~per~~} n>\sqrt{M+1} \]

Fissato \(M > 0\), quindi basterà scegliere il primo intero

\[ n(M) > \sqrt{M+1} \]

per soddisfare la condizione richiesta di divergenza.

Esercizio 6

Utilizzando la definizione di limite, verificare che:

\[ \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\log{(\sqrt{n}+1)}=+\infty \]

Soluzione

Abbiamo

\[ a_{n}=\log{(\sqrt{n}+1)} \]

Dobbiamo verificare che per ogni \(M>0\) esiste \(n(M) \in \N\) tale che

\[ n>n(M)\Rightarrow a_{n}>M \]

La disuguaglianza

\[ \log{(\sqrt{n}+1)}>M {\rm ~~~è~soddisfatta~per~~} n>(e^{M}-1)^2 \]

Fissato \(M > 0\), quindi basterà scegliere il primo intero

\[ n(M) > (e^{M}-1)^2 \]

per soddisfare la condizione richiesta di divergenza.