Insiemi numerici e intervalli

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1. I cinque principali insiemi numerici

1.1 I numeri naturali

\(\N\) è l'insieme dei numeri naturali, ossia i numeri che si usano per contare:

\[ \N = \{0,~ 1,~ 2,~ 3,~ 4,~ \dots\} \]

• Ricordiamo la convenzione adottata in queste note: lo zero è un numero naturale, ovvero \(0 \in \N\). Altri testi escludono lo zero da \(\N\): è solo una convenzione, ma va dichiarata una volta per tutte.

• Indichiamo con \(\N_{>0}\) l'insieme dei numeri naturali positivi:

  \[ \N_{>0} = \N \setminus \{0\} = \{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ \dots\} \]

Nel capitolo Insiemi abbiamo già introdotto, per i numeri naturali:

• le definizioni di numero pari (\(n = 2\,m\)) e di numero dispari (\(n = 2\,m+1\)), con \(m \in \N\), e il fatto che ogni numero naturale è pari oppure dispari, ma mai entrambe le cose;

• l'assioma del buon ordinamento, secondo cui ogni sottoinsieme non vuoto di \(\N\) possiede il minimo.

1.2 I numeri interi

\(\Z\) è l'insieme dei numeri interi (detti anche numeri relativi), ossia:

\[ 0,~ 1,~ - 1,~ 2,~ -2,~ \dots \]

1.3 I numeri razionali

\(\Q\) è l'insieme dei numeri razionali, ossia delle frazioni:

\[ \frac{n}{m},~~ {\rm~dove~~} n, m \in \Z , {\rm ~~e~~} m \neq 0. \]

I numeri razionali possono essere scritti anche in forma decimale. Ad esempio:

\[\begin{align*} \frac{3}{4} = 0, 75, {\rm ~~~mentre~~~} \frac{1}{3} = 0,333 \dots {\rm }= 0,\overline{3}. \end{align*}\]

Un numero razionale, scritto in forma decimale, ha un'espansione decimale finita o infinita periodica: dopo la virgola compare un numero finito di cifre, oppure un numero infinito di cifre che da un certo punto in poi si ripetono periodicamente.

Uno stesso numero razionale può avere due espansioni decimali diverse. L'esempio classico è l'uguaglianza

\[ 0,\overline{9}=1 \]

di cui abbiamo dato quattro dimostrazioni diverse nel capitolo Insiemi, e che quindi qui non ripetiamo.

1.4 I numeri reali

\(\R\) è l'insieme dei numeri reali, ossia quelli che si identificano con espansioni decimali finite o infinite, periodiche o non periodiche: dopo la virgola può comparire un allineamento qualsiasi di cifre, eventualmente anche infinito e non periodico.

Che esistano numeri di quest'ultimo tipo (ossia reali ma non razionali), si capisce riflettendo su esempi come:

\[ 0,10110111011110 \dots \]

Il numero precedente dopo la virgola ha: una cifra uguale a \(1\), poi \(0\), poi due cifre uguali a \(1\), poi \(0\), poi tre cifre uguali a \(1\) … e così via. È chiaro che questo criterio definisce con precisione un numero decimale. D'altro canto, l'allineamento delle cifre dopo la virgola non è né finito né periodico: questo numero perciò è irrazionale.

1.5 I numeri complessi

\(\C\) è l'insieme dei numeri complessi, ossia del tipo \(a + i\:b\), dove \(a\), \(b\) sono numeri reali, e \(i\) è l'unità immaginaria, ossia un numero il cui quadrato è \(-1\).

Tra gli insiemi numerici introdotti, valgono le inclusioni:

\[ \N ~\subsetneqq~ \Z ~\subsetneqq~ \Q ~\subsetneqq~ \R ~\subsetneqq~ \C. \]

Come indicato dai simboli, tutte le inclusioni sono strette:

• esistono numeri interi non naturali (i numeri negativi),

• esistono numeri razionali non interi (le frazioni proprie),

• esistono numeri reali non razionali (i numeri irrazionali),

• esistono numeri complessi non reali (i numeri immaginari).

Come per \(\N_{>0}\), indichiamo con

\[ \Z_{>0}, \qquad \Q_{>0}, \qquad \R_{>0} \]

gli insiemi dei numeri interi, razionali e reali positivi, e con

\[ \Z_{\ge 0}, \qquad \Q_{\ge 0}, \qquad \R_{\ge 0} \]

gli insiemi dei numeri interi, razionali e reali non negativi (cioè positivi o nulli). Ad esempio:

\[ \R_{>0} = \{x \in \R : x > 0\} \qquad {\rm ~~e~~} \qquad \Z_{\ge 0} = \{x \in \Z : x \ge 0\} = \N \]

2. Intervalli

Definizione 1: di intervallo limitato

Dati due numeri reali \(a\), \(b\), si chiama intervallo limitato di estremi \(a\) e \(b\) uno dei seguenti insiemi:

\[\begin{align*} [a,b] = \big\{ x \in \mathbb{R}: a \le x \le b \big\}, & \qquad [a,b) = \big\{ x \in \mathbb{R}: a \le x < b \big\} \\[2ex] (a,b] = \big\{ x \in \mathbb{R}: a < x \le b \big\}, &\qquad (a,b) = \big\{ x \in \mathbb{R}: a < x < b \big\} \end{align*}\]

• Come si può notare la parentesi quadra (tonda) in corrispondenza di uno dei due estremi indica che quest'ultimo è incluso (escluso) nell'intervallo.

• Gli intervalli \([a, b]\) si dicono chiusi; quelli \((a, b)\) si dicono aperti.

Definizione 2: di intervallo illimitato

Dato un numero reale \(a\), si chiama intervallo illimitato (o semiretta) di estremo \(a\) uno dei seguenti insiemi:

\[\begin{align*} [a,+\infty) = \big\{ x \in \mathbb{R}: x \ge a \big\}, & \qquad (a,+\infty) = \big\{ x \in \mathbb{R}: x > a \big\} \\[2ex] (-\infty,a] = \big\{ x \in \mathbb{R}: x \le a \big\}, &\qquad (-\infty,a) = \big\{ x \in \mathbb{R}: x < a \big\} \end{align*}\]

• I simboli \(-\infty\) e \(+\infty\) non sono numeri reali: non sono estremi che possano appartenere all'insieme, e perciò accanto a essi si scrive sempre la parentesi tonda.

• Anche l'intera retta è un intervallo illimitato:

  \[ \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) \]

  

Esempio 1: di intervalli

La rappresentazione grafica dell'intervallo limitato chiuso \([-3,-2]\) e dell'intervallo illimitato aperto \((2,+\infty)\) è la seguente:

Il primo contiene i suoi due estremi, il secondo non contiene il suo estremo \(2\) e non è limitato superiormente.

Si può dimostrare che gli intervalli, limitati o illimitati, sono tutti e soli i sottoinsiemi \(I\) di \(\mathbb{R}\) che soddisfano la seguente proprietà (detta connessione):

\[ \forall x_1, x_2, x_3 \in \R {\rm ~~tali~che~~} x_1 < x_2 < x_3, {\rm ~~se~~} x_1,x_3 \in I, {\rm ~~allora~~} x_2 \in I \]

• Nel seguito ci capiterà di considerare il prodotto cartesiano di due (o più) intervalli, cui si può dare il significato geometrico di rettangolo (in due dimensioni) o parallelepipedo (in tre dimensioni).

Esempio 2: Prodotto cartesiano di intervalli

Sia \(A = [0, 1]\), \(B = [1, 2]\); la figura

illustra gli insiemi \(A \times B\) , \(B \times A\) , \(A \times A\) indicato anche con \(A^2\). In generale, \(A \times B\) è diverso da \(B \times A\).